Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa III

Egzamin składa się z dwóch części: pisemnej i ustnej.

Część pisemna polega na samodzielnym rozwiązaniu sześciu spośród podanych poniżej zadań, w tym przynajmniej 2 spośród zadań 1-5 i przynajmniej 3 spośród zadań 6-11. Rozwiązania należy do mnie dostarczyć do dnia 30.06.2007 (drogą elektroniczną, osobiście lub np. włożyć do skrytki).

1. Mówimy, że zmienna X ma rozkład subgaussowski ze stałą β, jeśli EX = 0 oraz istnieje β < ∞ takie, że dla k = 1, 2, …, ∥X∥_{2k} β∥g∥_{2k}, gdzie g ∼ N (0, 1).

a) Wykaż, że każdy z następujących warunków jest równoważny subgaussowskości X dla zmiennej o średniej zero

i) Istnieje c < ∞ takie, że Ee^{λX} e^{cλ^{2}} dla λ ∈ ℝ, ii) Ee^{c|X|^{2}} < ∞ dla pewnego c > 0.

b) Wykaż, że jeśli niezależne zmienne X_{i} są subgaussowskie ze stałą β oraz ∑ _{i=1}^{∞} a_{i}^{2} < ∞, to ∑ _{i=1}^{∞} a_{i}X_{i} też jest subgaussowski. Jak można oszacować jego stałą subgaussowskości?

2. Niezależne wektory losowe X_{1}, X_{2}, … o wartościach w ℝ^{d} mają jednakowy rozkład z gęstością 2^{−d} exp(− ∑ _{i=1}^{d} |x_{i}|). Czy istnieje granica

lim_{n→∞} \frac{1}{n} logP( | \frac{X_{1} + … + X_{n}}{n} | 1)?

Jeśli tak, to ile ona wynosi? (Tu i w następnym zadaniu |x| oznacza długość euklidesową wektora x).

3. Niezależne wektory losowe X_{1}, X_{2}, … mają rozkład jednostajny na zbiorze

K = {x ∈ ℝ^{d}: ∑_{i=1}^{d} i|x_{i}| 1}

oraz S_{n} = X_{1} + … + X_{n}.

a) Znajdź lim sup_{n→∞} \frac{|S_{n} |}{\sqrt{2n log log n}} ,

b) Co można powiedzieć o zbiorze punktów skupienia ciągu \frac{S_{n}}{\sqrt{2n log log n}} ?

4. Ciąg zmiennych losowych X_{1}, X_{2}, X_{3}, … jest 1-symetryczny, tzn. dla dowolnych liczb η_{n} ∈ {−1, 1} rozkłady ciągów (X_{n})_{n} i (η_{n}X_{n})_{n} są jednakowe. Wykaż, że

a) P(max_{1 k n} | ∑ _{i=1}^{k} X_{i}| t) 2P(| ∑ _{i=1}^{k} X_{i}| t).

b) Szereg ∑ _{n=1}^{∞} X_{n} zbiega prawie na pewno wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

5. Udowodnij, że dla dowolnych liczb a_{i},

P(| ∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i}| (∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2})^{1/2} ) \frac{1}{10000},

gdzie (ε_{i}) jest ciągiem Bernoulliego.

6. Wykaż, że jeśli zmienne X_{n} zbiegają do X według rozkładu, to funkcje charakteryczne φ_{X_{n}} zbiegają do φ_{X} niemal jednostajnie (tzn. jednostajnie na zbiorach zwartych).

7. Załóżmy, że X, X_{1}, X_{2}, … są niezależne o jednakowym rozkładzie. Wykaż, że jeśli ciąg \frac{1}{n^{1/p}} (X_{1} + … + X_{n}) jest ciasny, to

a) EX^{2} < ∞, jeśli p = 2

b) lim sup_{t→∞} t^{p}P(|X| t) < ∞ jeśli 0 < p < 2

c) X = 0 p.n. jeśli p > 2.

8. Czy z tego, że niezdegenerowana zmienna nieskończenie podzielna przyjmuje tylko wartości całkowite wynika, że ma złożony rozkład Poissona?

9. Zmienna losowa X ma rozkład nieskończenie podzielny π_{a,σ^{2} ,ν} . Jakie warunki musi spełniać układ Levy’ego (a, σ^{2}, ν), żeby E exp(λX) < ∞ dla wszystkich λ ∈ ℝ.

10. Czy z tego, że X ma rozkład stabliny wynika, że dla dowolnych c_{1}, …, c_{n} istnieją liczby a iu b takie, że

c_{1}X_{1} + C_{2}X_{2} + … + c_{n}X_{n} ∼ aX + b?

Jeśli nie to scharakteryzuj wszystkie rozkłady stabilne dla których powyższy warunek jest spełniony.

11. Scharakteryzuj wszystkie rozkłady stabilne w węższym sensie tzn. takie, że dla n = 1, 2, … istnieją a_{n} > 0 X_{1} + … + X_{n} ∼ a_{n}X.

Część ustna będzie oparta na rozmowie o przedstawionych rozwiązaniach oraz o wybranych tematach spośród następujących:

• Wielkie odchylenia

• Nierówności wykładnicze

• Nierówności maksymalne

• Mocne prawa wielkich liczb

• Prawo iterowanego logarytmu

• Rozkłady nieskończenie podzielne

• Rozkłady stabilne

• Nierówność Berry-Essena

Można wybrać 2 tematy z których nie chce się odpowiadać.

Na egzamin ustny można się umówić w tygodniu 11-15 czerwca, w piątek 22 czerwca, w poniedziałek 2 lipca lub w terminie póżniejszym.