Egzamin domowy z Miar i Procesów Gaussowskich

25 stycznia - 8 lutego 2005

Do zaliczenia egzaminu należy wybrać i rozwiązać 9 zadań, przy czym podpunkty/zadania oznaczone symbolem * liczą się jak dwa dodatkowe zadania. W rozwiązaniach można korzystać z wszystkich faktów udowodnionych na wykładzie lub ćwiczeniach. Rozwiązania zadań należy oddać do 8 lutego 2005 (wtorek) godzina 18.00.

W zadaniach poniższych g_{n} oznaczają niezależne zmienne losowe o rozkładzie N (0, 1). Ponadto I(x) = φ(Φ^{−1} ) jest gaussowską funkcją izoperymetryczną, a literą K oznaczamy stałe, które nie zależą od żadnych parametrów.

1. Wykaż, że 𝔼 sup_{n 1} \frac{|g_{n} |}{\sqrt{ln(n+1)}} < ∞ oraz jeśli lim_{n→∞} \frac{c_{n}}{\sqrt{ln n}} = 0, to

sup_{n} \frac{|g_{n} |}{c_{n}} = ∞ p.n..

2. Udowodnij, że

I(t) = t\sqrt{2 ln \frac{1}{t} − lnln \frac{1}{t} − ln4π} + o(t(ln \frac{1}{t})^{−1/2} ) przy t → 0+

i wywnioskuj stąd, że dla 0 a < ∞, I(at) = aI(t)+at(log \frac{1}{a})(2 ln \frac{1}{t})^{−1/2} + f_{a}(t), gdzie sup_{0<a A} f_{a}(t) = o(t(ln \frac{1}{t})^{−1/2} ) przy t → 0+.

3. Niech C będzie ustaloną macierzą n × n symetryczną, odwracalną, a μ_{C} miarą gaussowską na ℝ^{n} o macierzy kowariancji C^{−1} . Określmy dla t 0, f: ℝ^{n} → ℝ, T_{t}^{C}f: ℝ^{n} → ℝ wzorem

T_{t}^{C}f(x) := ∫_{ℝ^{n}} f(e^{−tC} x + \sqrt{I − e^{−2tC}} y)dμ_{C}(y).

Wykaż, że

i) T_{t}: L^{p}(μ_{C}) → L^{p}(μ_{C}) oraz ∥T_{t}^{C}f∥_{p} ∥f∥_{p}. Wykaż, że operatory T_{t}^{C} są nieujemne i symetryczne (tzn. ∫(T_{t}^{C}f)gdμ_{C} = ∫ f(T_{t}^{C}g)dμ_{C}). ii) Wykaż, że (T_{t}^{C})_{t 0} jest półgrupą mocno ciągłą (tzn. ∥T_{t}^{C}f − f∥ → 0, jeśli t → 0+) na L^{p}(dμ_{C}). Ponadto dla f ∈ L^{p}(dμ_{C}), ∥T_{t}^{C}f − ∫ fdμ_{C}∥_{p} → 0 przy t → ∞.

4. Przy oznaczeniach poprzedniego zadania niech L_{C} będzie generatorem T_{t}^{C} na L^{2}(dμ_{C}).

i) Niech C_{ogr}^{∞}(ℝ^{n}) oznacza te funkcje f ∈ C^{∞} (ℝ^{n}) dla których wszystkie pochodne są ograniczone (tzn. dla wszystkich α ∈ ℤ_{+}^{n}, ∥D_{α}f∥_{∞} < ∞).

Wykaż, że C_{ogr}^{∞}(ℝ^{n}) ⊂ D(L_{C}) oraz L_{C}f := △f − ⟨Cx, ∇f⟩ dla f ∈ C_{ogr}^{∞}(ℝ^{n}). ii) Wykaż, że jeśli f ∈ L^{∞} (ℝ^{n}), to T_{t}f ∈ C_{ogr}^{∞}(ℝ^{n}) dla t > 0.

5. Dla zbioru wypukłego K ⊂ ℝ^{n} o niepustym wnętrzu określamy γ_{K}(A) := γ_{n}(K ∩A)/γ_{n}(K). Wykaż, że γ_{K} spełnia nierówność Bobkowa i nierówność logarytmiczną Sobolewa ze stałą 1.

6. Niech (g_{ij}) będzie podwójnie indeksowanym ciągiem niezależnych zmiennych losowych N (0, 1). Dla macierzy (a_{ij})_{i,j n} określamy normę operatorową wzorem

∥(a_{ij})_{i,j n} ∥ := sup{ ∑_{i,j n} a_{ij} x_{i}y_{j}: ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} 1, ∑_{j=1}^{n} y_{j}^{2} 1}.

a) Wykaż, że n^{−1/2} ∥(g_{ij})_{i,j n} ∥−n^{−1/2} 𝔼∥(g_{ij})_{i,j n} ∥ → 0 prawie na pewno przy n → ∞. b*) Udowodnij, że n^{−1/2} 𝔼∥(g_{ij})_{i,j n} ∥ → 2 przy n → ∞.

7. Dla 1 p < ∞ oraz macierzy (a_{ij})_{i,j n} określmy

∥(a_{ij})_{i,j n} ∥_{l^{p}→l^{p}} := sup{(∑_{j=1}^{n} | ∑_{i=1}^{n} g_{ij} x_{i}|^{p})^{1/p}: ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} 1}.

Wykaż, że dla 1 p < ∞ istnieje stała K(p) zależna tylko od p taka, że

\frac{1}{K(p)} max(n^{1/p}, n^{1−1/p} ) 𝔼∥(g_{ij})_{i,j n} ∥_{l^{p}→l^{p}} K(p) max(n^{1/p}, n^{1−1/p} ).

8. a) Wykaż, że jeśli T jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, a (X_{t})_{t∈T} jest procesem gaussowskim o średniej zero, to

ℙ(sup_{t∈T}|X_{t}| 1) ∏_{t∈T} ℙ(|X_{t}| 1).

b) Udowodnij, że jeśli A = [−a_{1}, a_{1}] × … × [−a_{n}, a_{n}], to γ_{n}(A ∩ K) γ_{n}(A)γ_{n}(K) dla dowolnego wypukłego symetrycznego zbioru K.

9.* Wykaż, że dla dowolnej scentrowanej miary gaussowskiej μ na ośrodkowej przestrzeni Banacha E oraz zwartych, wypukłych, symetrycznych zbiorów K, L w E zachodzi dla 0 < λ < 1

μ(K ∩ L) μ(K ∩ L)μ(λ^{2}K + (1 − λ^{2})L) μ(λK)μ((1 − λ^{2})^{1/2}L).

10. Wykaż, że jeśli (X_{t})_{t∈T} jest scentrowanym procesem gaussowskim oraz T = ⋃ _{i=1}^{N} T_{i}, to

𝔼 sup_{t∈T}X_{t} max_{i}𝔼 sup_{t∈T_{i}}X_{t} + K\sqrt{logN} sup_{t∈T}(𝔼X_{t}^{2})^{1/2}.

11. Udowodnij, że dla dowolnego scentrowanego procesu gaussowskiego (X_{t})_{t∈T} oraz u > 0

𝔼 sup_{t∈T}X_{t} sup_{s∈T}𝔼 sup_{t∈T:d_{X} (t,s) u} X_{s}+K ∫_{u}^{Δ(T)} \sqrt{logN(T, d_{X}, r)}dr+Ku\sqrt{logN(T, d_{X}, u)},

gdzie d_{X}(s, t) := (𝔼|X_{t} − X_{s}|^{2})^{1/2} oraz Δ(T) := sup{d_{X}(s, t): s, t ∈ T }.

12. a) Skonstruuj scentrowany proces gaussowski (X_{t})_{t∈T} dla którego

𝔼 sup_{t∈T}X_{t} < ∞ oraz ∫_{0}^{∞} \sqrt{logN(T, d_{X}, u)}du = ∞,

konstrukcję uzasadnij. b*) Wykaż, że jeśli (X_{t})_{t∈[0,1]} jest stacjonarnym, scentrowanym procesem gaussowskim to

∫_{0}^{∞} \sqrt{logN([0, 1], d_{X}, u)}du K𝔼 sup_{t∈[0,1]} X_{t}.