Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1

1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

a) X = ℝ, d(x, y) = arctg|x − y|;

b) X = ℝ^{n}, d(x, y) = |x_{1} − y_{1}| + |x_{2} − y_{2}| + max_{i 3} |x_{i} − y_{i}|;

c) X = C[0, 1], d(f, g) = sup_{x∈[0,1]} |f(x) − g(x)|;

d) X = C[0, 1], d(f, g) = |f(0) − g(0)|;

e) X = C[0, 1], d(f, g) = ∫_{0}^{1} |f(x) − g(x)|dx;

f) X = C^{1}[0, 1], d(f, g) = |f(0) − g(0)| + sup_{x} |f′(x) − g′(x)|.

2. Które z przestrzeni z poprzedniego zadania są zupełne?

3. Naszkicuj kulę jednostkową w następujących przestrzeniach: l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, l_{∞}^{2} , l_{p}^{2}, l_{1}^{3}, l_{2}^{3}, l_{∞}^{3} .

4. Powiemy, że dwie metryki ρ_{1} i ρ_{2} są równoważne, jeśli definiują takie same topologie (czyli ciągi mają w obu metrykach te same granice). Wykaż, że jeśli istnieją stałe 0 < c < C < ∞ takie, że

∀_{x,y} cρ_{1}(x, y) ρ_{2}(x, y) Cρ_{1}(x, y),  (1)

to metryki są równoważne.

5. Wskaż dwie równoważne metryki, które nie spełniają (1).

6. Mówimy, że dwie normy są równoważne, jeśli metryki przez nie wyznaczone są równoważne. Wykaż, że normy ∥ · ∥_{1} i ∥ · ∥_{2} są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe 0 < c < C < ∞ takie, że c∥x∥_{1} ∥x∥_{2} C∥x∥_{1} dla wszystkich x.

7. Wskaż dwie nierównoważne normy na przestrzeni ciągów ograniczonych.

8* Wykaż, że wszystkie normy na ℝ^{n} są równoważne.

9* Czy istnieje przestrzeń X i dwie nierównoważne normy wprowadzające na X strukturę przestrzeni Banacha?

1. Wykaż, że każda kula w przestrzeni unormowanej jest wypukła.

2. Niech A będzie gwiaździstym względem zera, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X, którego przecięcia z każdą prostą są domknięte. Określmy p_{A}(x) := inf{t > 0: x/t ∈ A}. Kiedy p_{A} jest normą na X?

3. Niech (X, ∥ · ∥) będzie przestrzenią unormowaną, wykaż, że f(x) = ∥x∥ jest funkcją ciągłą na X.

4. Wykaż, że jeśli zbiór A jest wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej, to zbiory cl(A) = Ā i int(A) też są wypukłe.

5. Dla zbioru A w przestrzeni liniowej X określamy

conv(A) := ⋂ {B: B wypukłe, A ⊂ B}.

Wykaż, że

a) conv(A) jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym A.

b) conv(A) := {x = ∑ _{j=1}^{n} λ_{j} a_{j} : a_{j} ∈ A, λ_{j} 0, ∑ _{j=1}^{n} λ_{j} = 1, n = 1, 2, …}.

6. Niech φ: [0, ∞) → [0, ∞) będzie funkcją wypukłą taką, że φ(x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = 0. Określamy

l_{φ} := {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} : ∃t > 0 ∑_{n} φ(|x_{n}|/t) < ∞}

oraz

∥x∥_{φ} := inf{t > 0: ∑_{n} φ(|x_{n}|/t) 1} dla x ∈ l_{φ} .

Wykaż, że l_{φ} z normą ∥x∥_{φ} jest przestrzenią Banacha.

7. Niech x = (x_{k})_{k=1}^{n} . Wykaż, że a) ∥x∥_{q} ∥x∥_{p} n^{1/p−1/q} ∥x∥_{q} dla 1 p < q.

b) lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} .

c) Czy stałe w a) są optymalne? Jakie zawierania dla kul jednostkowych w l_{p}^{n} wynikają z a)?

8. Niech x = (x_{k})_{k=1}^{∞} oraz 1 p < q.

a) Wykaż, że ∥x∥_{q} ∥x∥_{p}

b) Znajdź wektor x taki, że ∥x∥_{p} = ∞ oraz ∥x∥_{q} < ∞.

c) Czy zawsze lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} ? Jeśli nie, to kiedy tak jest?

9. Wykaż, że {x = (x_{k})_{k=1}^{∞} : ∑ _{i=1}^{∞} |x_{i}| 1} jest domkniętym wypukłym podzbiorem l_{2} o pustym wnętrzu. Czy jest to zbiór zwarty?

10. Niech (X, F, μ) będzie przestrzenią z miarą skończoną μ oraz f będzie funkcją mierzalną na X. Udowodnij, że dla 1 p < q,

a) ∥f∥_{p} μ(X)^{1/p−1/q} ∥f∥_{q}, w szczególności ∥f∥_{p} ∥f∥_{q} gdy μ(X) = 1. Kiedy zachodzi równość?

b) Znajdź funkcję f ∈ L_{p}[0, 1] taką, że ∥f∥_{q} = ∞.

c) Znajdź funkcję f ∈ L_{q}[0, ∞) taką, że ∥f∥_{p} = ∞.

1. Oblicz normę id: l_{p}^{n} → l_{q}^{n} dla 1 p, q ∞.

2. Określamy T: l_{1} → c_{0} wzorem T (x)_{n} = ∑ _{i=n}^{∞} x_{i}. Wykaż, że T jest ciągłe i oblicz jego normę.

3. Znajdź normę przekształcenia f(x) → xf(x) z L_{p}[−1, 1] w L_{1}[−1, 1], 1 p ∞.

4. Niech g ∈ L_{∞} (X, μ) wykaż, że przekształcenie T dane wzorem T f(x) := g(x)f(x) jest ciągłym operatorem na L_{p}(X, μ). Ile wynosi jego norma?

5. Niech T f(x) := ∫_{0}^{x} f(y)dy, wykaż, że T jest ciągłym przekształceniem z L_{p}[0, 1] w L_{q}[0, 1] dla dowolnych 1 p, q ∞.

6. Wykaż, że φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(x)dx − ∫_{1/2}^{1} f(x)dx jest ciągłym funcjonałem na C[0, 1] i policz jego normę.

7. Niech X := {f ∈ C[0, 1]: f(t) = 2f(1 − t), t ∈ [0, 1/2]}. Czy X z normą supremum jest przestrzenią Banacha? Udowodnij, że następujące funcjonały są ciągłe na X i policz ich normy:

a) φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(x)dx,

b) φ(f) := f(\frac{1}{4}),

c) φ(f) := f(\frac{3}{4}).

1. Zbadaj ciągłość i oblicz normę przekształcenia T: L_{p}[0, 1] → L_{p}[0, 1] danego wzorem T f(x) = f(\sqrt{x}).

2. Na przestrzeni C^{k}[0, 1], k 1 definiujemy normę max_{0 i k} sup_{t∈[0,1]} |f^{(i)} (t)|. Udowodnij ciągłość i oblicz normę następujących funkcjonałów na C^{k}[0, 1]:

a) φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(t)dt,

b) φ(f) := f′(1/2),

c) φ(f) = f(1) − f(0).

3. Niech M := {f ∈ C[0, 1]: ∫_{0}^{1/2} f(t)dt = ∫_{1/2}^{1} f(t)dt}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią C[0, 1]. Niech g(t) = t, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥?

4. M := {f ∈ L_{1}[0, 1]: ∫_{0}^{1} f(t)dt = 0}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią L_{1}[0, 1]. Niech g ≡ 1, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥? Ile jest takich funkcji?

5. Niech M := {f ∈ L_{2}[−1, 1]: f(x) = f(−x)} ⊂ L_{2}[−1, 1] Znajdź M^{⊥} i rzut ortogonalny na M..

6. Niech V_{n} będzie podprzestrzenią L_{2}[0, 1] składającą się z funkcji stałych na [k/n, (k + 1)/n), k = 1, …, n.

a) Znajdź V_{n}^{⊥}

b) Znajdź rzut ortogonalny f na V_{n}.

c) Znajdź odległość f(t) = t w L_{2}[0, 1] od V_{n}.

7* Wykaż, że norma ∥ · ∥ jest zadana przez iloczyn skalarny wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek równoległoboku ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2} dla wszystkich x, y.

1. Wykaż, że każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest domknięta.

2. Załóżmy że G ⊂ F są dwoma σ-ciałami podzbiorów X, a μ miarą na (X, F). Wykaż, że

i) M = L_{2}(X, G, μ) jest domkniętą podprzestrzenią L_{2}(X, F, μ). ii) ∫_{A} P_{M} fdμ = ∫_{A} fdμ dla dowolnego A ∈ G takiego, że μ(A) < ∞ oraz f ∈ L_{2}(X, F, μ). iii) P_{M} jest nieujemny tzn. P_{M} f 0 μ-p.n., jeśli f 0 μ-p.n..

3. Znajdź ortogonalizację ciągu wektorów 1, t, t^{2} w L^{2}[−1, 1].

4. Znajdź wielomian stopnia 2 taki, że ∫_{−1}^{1} |t^{4} − w(t)|^{2}dt jest najmniejszy.

5. Wykaż, że układ Rademachera f_{n} := sgn(sin(2^{n}πx)), n = 1, 2, … jest układem ortogonalnym w L^{2}[0, 1]. Czy jest to układ zupełny?

6. Niech P_{n} będzie układem wielomianów Legendre’a

P_{n}(t) := \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}, t ∈ [−1, 1], n 0.

a) Wykaż, że P_{n} jest układem ortogonalnym w L^{2}[−1, 1]. Jak go trzeba znormalnizować by był ortonormalny?

b) Czy jest to układ zupełny?

7. Niech L_{n} będzie układem wielomianów Laguerre’a

L_{n}(t) = \frac{1}{n!}e^{t} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{n}e^{−t} ), t 0, n 0.

a) Wykaż, że L_{n} jest układem ortogonalnym w L^{2}(ℝ_{+} , e^{−t} dt). Czy jest on ortonormalny? b*) Czy jest to układ zupełny?

8. Niech H_{n} będzie układem wielomianów Hermite’a

H_{n}(t) = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n!}} e^{t^{2} /2} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (e^{−t^{2} /2} ).

a) Wykaż, że (H_{n})_{n 0} jest układem ortonormalnym w L^{2}(ℝ, \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−t^{2} /2} dt). b*) Czy jest to układ zupełny?

1. Wykaż, że każdą funkcję parzystą f w L^{2}[−π, π] da się przedstawić w postaci f(t) = ∑ _{n=0}^{∞} a_{n} cosnt, przy czym ciąg jest zbieżny w L^{2}. Ile wynosi ∑ _{n=0}^{∞} a_{n}^{2}?

2. Jak wygląda odpowiednie rozwinięcie w szereg Fouriera dla funkcji nieparzystych?

3. Niech r_{k} := sgn(sin2^{k}πx), k = 1, 2, … będzie układem Rademachera (zob. zad. 5 z poprzedniej serii). Dla skónnczonych niepustych zbiorów A ⊂ {1, 2, …} określamy w_{A} := ∏ _{k∈A} r_{k} oraz kładziemy w_{∅} := 1. Wykaż, że (w_{A})_{A} jest bazą o.n. L^{2}[0, 1].

4. Niech μ będzie miarą skończoną na [0, 1], która nie jest skupiona na zbiorze skończonym. Wykaż, że istnieje baza o.n. (f_{n})_{n 0} przestrzeni L^{2}([0, 1], μ) taka, że f_{n} jest wielomianem stopnia n.

5. Niech (f_{i}(x))_{i} i (g_{j} (y))_{j} będą układami ortonormalnymi w L^{2}(X, μ_{1}) i L^{2}(Y, μ_{2}) odpowiednio. Wykaż, że

a) układ (f_{i}(x)g_{j} (y))_{i,j} jest układem ortonormalnym w L^{2}(X × Y, μ_{1}μ_{2}).

b) jeśli układy (f_{i})_{i}, (g_{j})_{j} są zupełne, to układ (f_{i}g_{j})_{ij} też jest zupełny.

6. Niech M będzie domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta H. Wykaż, że

a) każdą bazę o.n. M da się rozszerzyć do bazy o.n. H,

b) jeśli (u_{i})_{i∈I} jest bazą M, to rzut ortogonalny na M ma postać

P_{M} x = ∑_{i∈I} ⟨x, u_{i}⟩u_{i}.

7. Wykaż, że przestrzeń L_{2}(ℝ^{n}) jest ośrodkowa i wywnioskuj stąd ośrodkowość przestrzeni L_{2}(A) dla dowolnego zbioru borelowskiego A ⊂ ℝ^{n}. Czy przestrzenie L_{2}(A) i L_{2}(B) są izometryczne?

8. Dla jakich p przestrzenie l_{p} są ośrodkowe?

9. Wyznacz p dla których L_{p}[0, 1] jest ośrodkowa.

10. Czy przestrzeń C[0, 1] jest ośrodkowa? A przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych na (0, 1) z normą supremum?

1. Wykaż, że przestrzeń unormowana X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy ma przeliczalny podzbiór liniowo gęsty.

2. Wykaż, że jeśli X_{0} jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni unormowanej X oraz x ∈ X \ X_{0} to istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} zerujący się na X_{0} taki, że φ(x) = 1.

3. Niech F będzie podprzestrzenią przestrzeni Banacha X. Wykaż, że dla dowolnego x ∈ X,

dist(x, F) = sup{|x^{∗}(x)|: x^{∗} ∈ X^{∗}, ∥x^{∗}∥ 1, x^{∗}|F = 0}

4. Wykaż, że ośrodkowość przestrzeni X^{∗} implikuje ośrodkowość przestrzeni X. Czy odwrotna implikacja jest prawdziwa?

5. Niech A i B będą rozłącznymi niepustymi wypukłymi podzbiorami rzeczywistej przestrzeni Banacha X takimi, że A jest domknięty, a B jest zwarty. Wykaż, że istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} taki, że sup_{x∈A} φ(x) < inf_{x∈B} φ(x)

6. Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz x ∈ X będzie wektorem o normie 1. Udowodnij, że Δ(x) := {x^{∗} ∈ X^{∗}: x^{∗}(x) = 1 = ∥x^{∗}∥} jest niepustym, domkniętym zbiorem wypukłym.

7. Podaj przykłady x ∈ l_{1} takie, że Δ(x) jest jednopunktowe, n-wymiarowe, nieskończenie wymiarowe.

8. Opisz wszystkie x ∈ c_{0} takie, że Δ(x) jest jednopunktowe.

9. Przestrzeń C[0, 1] można traktować jako domkniętą podprzestrzeń L_{∞} [0, 1]. Funkcjonał δ_{x}(f) := f(x) jest ciągłym funkcjonałem o normie 1 na C[0, 1], zatem z twierdzenia Hahna-Banacha można go rozszerzyć do funkcjonału φ_{x} na L_{∞} [0, 1] o normie 1. Wykaż, że nie istnieje funkcja g ∈ L_{1}[0, 1] taka, że φ_{x}(f) = ∫_{0}^{1} f(s)g(s)ds. Udowodnij, że jeśli f ∈ L_{∞} [0, 1] jest taka, że f = 0 na zbiorze (x − ε, x + ε), to φ_{x}(f) = 0.

10. Jaka jest norma funkcjonału φ(f) := ∫_{0}^{1} e^{x}f(x)dx na L_{p}(0, 2), 1 p ∞?

11. Dla jakich p z przedziału [1, ∞] wzór φ(x) := ∑ _{n=1}^{∞} n^{−1/3} x_{n} zadaje ciągły funkcjonał na l_{p}?

1. Niech μ będzie skończoną nieujemną miarą borelowską na [0, 1]. Wykaż, że funkcjonał dany wzorem φ(f) = ∫_{0}^{1} f(x)dμ(x) jest ciągły na C[0, 1] i policz jego normę.

2. Dla x ∈ [0, 1], niech δ_{x}(f) = f(x). Udowodnij, że a) δ_{x} jest ciągłym liniowym funkcjonałem na C[0, 1] o normie 1.

b) Jeśli (x_{n})_{n=1}^{N} jest skończonym ciągiem różnych punktów z [0, 1], to dla dowolnych liczb a_{n},

∥ ∑_{n=1}^{N} a_{n}δ_{x_{n}} ∥_{C[0,1]^{∗}} = ∑_{n=1}^{N} |a_{n}|.

c) Wykaż, że b) zachodzi dla N = ∞ (przy założeniu ∑ _{n} |a_{n}| < ∞).

3. Wykaż, że dla f ∈ L^{1}[0, 1] funkcjonał φ_{f} na C[0, 1] zadany wzorem φ_{f} (g) := ∫_{0}^{1} f(t)g(t) jest ciągły oraz ∥φ_{f} ∥ = ∥f∥_{1}.

4. Załóżmy, że x = (x_{n})_{n 1} jest takim ciągiem, że dla każdego y ∈ l_{p} szereg ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny. Wykaż, że x ∈ l_{q} dla 1/p + 1/q = 1.

5. Wykaż, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny dla każdego ciągu y_{n} zbieżnego do zera wted515294956y i tylko wtedy gdy ∑ _{n=1}^{∞} |x_{n}| < ∞.

6. Załóżmy, że f_{n} ∈ L_{2}[0, 1] są takie, że lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(t)g(t)dt = 0 dla wszystkich funkcji g ∈ L_{2}[0, 1]. Wykaż, że sup_{n} ∥f_{n}∥_{2} < ∞. Czy musi zachodzić lim_{n→∞} ∥f_{n}∥_{2} = 0?

1. Wykaż, że w przestrzeni skończonego wymiaru zbieżność w normie i słaba są równoważne.

2. Wykaż, że ciąg wektorów x_{n} = (x_{n,k} )_{k=1}^{∞} zbiega do słabo do zera w l_{p}, 1 < p < ∞ wtedy i tylko wtedy gdy sup_{n} ∥x_{n}∥_{p} < ∞ oraz lim_{n→∞} x_{n,k} = 0 dla wszystkich k. Czy charakteryzacja ta jest prawdziwa dla l_{1}? A dla c_{0}?

3. Wykaż, że jeśli 1 < p < ∞ oraz f_{n} ∈ L_{p}[0, 1] są takie, że ∥f_{n}∥_{p} 1 i λ_{1}({x: f_{n}(x) ≠ 0}) → 0, to f_{n} zbiegają słabo do zera. Czy jest to prawdą dla p = 1?

4. Wykaż, że ciąg funkcji Rademachera r_{k} := sgn(sin2^{k}πx) jest słabo zbieżny do zera w L_{p}[0, 1] dla 1 p < ∞.

5* Czy r_{k} zbiega słabo do zera w L_{∞} ?

6* Czy w każdej przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru istnieje ciąg słabo zbieżny do zera, który nie zbiega do zera w normie?

7. Wykaż, że jeśli ciąg wektorów x_{n} zbiega słabo do zera, to istnieje ciąg kombinacji wypukłych wektorów x_{n} zbieżny do zera w normie.

8. Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha X i Y. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego y^{∗} ∈ Y^{∗}, y^{∗}(T) jest ciąglym funkcjonałem na X.

9. Niech X będzie przestrzenią Banacha. Wykaż, że przekształcenie liniowe T: X → C[0, 1] jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego t ∈ [0, 1], x → T x(t) jest ciągłym funkcjonałem na X.

10. Niech Y i Z będą dwoma domkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni Banacha X takimi, że dla dowolnego x ∈ X istnieje dokładnie jedna para wektorów (y, z) =: (P_{1}x, P_{2}y) ∈ Y × Z taka, że x = y + z. Wykaż, że P_{1} jest ciągłym rzutem X na Y.

11. Załóżmy, że X, Y i Z są przestrzeniami Banacha, zaś B: X → Z oraz C: Y → Z są ciagłymi operatorami liniowymi. Wykaż, że jeśli dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y = Ax taki, że Bx = Cy, to A jest ciągłym operatorem z X w Y.

1. Niech (e_{n})_{n 0} będzie kanoniczną bazą l_{p}. Wykaż, że operator liniowy T: l_{p} → l_{p} taki, że T e_{n} = a_{n}e_{n} jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy lim_{n→∞} a_{n} = 0.

2. Czy operator �przesunięcia w prawo” na l_{p} jest zwarty?

3. Niech T: L_{2}[0, 1] → L_{2}[0, 1] będzie dany wzorem T f(x) = ∫_{0}^{x} f(s)ds. Czy jest to operator zwarty?

4. Określmy T: L_{2}(ℝ) → L_{2}(ℝ) jako T f(x) = ∫_{x}^{x+1} f(y)dy. Wykaż, że T jest ciągły. Czy T jest zwarty?

5. Wykaż, że T ∈ B(X, Y) jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ε > 0, T (B_{X}) da się pokryć skończoną liczbą kulek w Y o promieniu ε.

6. Wykaż, że operator T jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε > 0 istnieje przestrzeń Y_{ε} ⊂ Y taka, że dimY_{ε} < ∞ oraz dist(T (B_{X}), Y_{ε}) ε.

7. Wykaż, że jeśli X jest przestrzenią Banacha 1 p < ∞ oraz T ∈ B(X, l_{p}) jest zwarty, to istnieje ciąg skończenie wymiarowych operatorów T_{n} taki, że ∥T_{n} − T ∥ → 0.

1. Niech T: l_{p} → l_{p} będzie dany wzorem T (x_{1}, x_{2}, …) = (x_{2}, x_{3}, …). Jak wygląda T^{∗}?

2. Niech T: L_{2}[0, 1] → L_{2}[0, 1] będzie określony jako T f(x) := ∫_{0}^{x} f(y)dy. Znajdź T^{∗}.

3. Określmy T: l_{1} → c_{0} jako

T ((x_{n})_{n 1} ) := ( \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} x_{i})_{n 1} .

Znajdź T^{∗}.

4. Wykaż, że operator T na L_{2}[0, 1] dany wzorem T f(x) = xf(x) jest samosprzężony i nie ma wartości własnych.

5. Niech T x = (0, x_{1}, x_{2}/2, x_{3}/3, …). Wykaż, że T jest zwartym operatorem na l_{2} nie posiadającym wartości własnych. Jak wygląda T^{∗}?

6. Niech T: L_{2}(ℝ) → L_{2}(ℝ) będzie postaci T f = gf dla pewnego g ∈ L_{∞} (ℝ). Dla jakich g

a) T jest samosprzężony,

b) T jest unitarny,

c) λ jest wartością własną T?

1. Znajdź spektrum operatora T zadanego wzorem T f = fg na L_{2}(ℝ). Jak wygląda rezolwenta tego operatora?

2. Wyznacz spektrum i rezolwentę operatora przesunięcia w lewo i w prawo na l_{2}.

3. Niech T na l_{2} będzie zadany wzorem T x = (a_{n}x_{n})_{n} dla pewnego ciągu ograniczonego a_{n}. Jak wygląda spektrum T?

4. Niech P będzie rzutem ortogonalnym na domkniętą podprzestrzeń M przestrzeni Hilberta H. Wyznacz spektrum T.

5. Wykaż, że dla dowolnego niepustego, zwartego podzbioru K płaszczyzny zespolonej istnieje operator T na pewnej przestrzeni Hilberta, którego spektrum jest równe K.

6. Niech T będzie operatorem zwartym na przestrzeni Hilberta H. Wykaż, że istnieją układy ortonormalne (x_{n})_{n=0}^{N} i (y_{n})_{n=0}^{N} oraz liczby dodatnie λ_{n} takie, że T x = ∑ _{n=1}^{N} λ_{n}⟨x, x_{n}⟩y_{n}. Ponadto λ_{n} → 0 jeśli N = ∞.

7. Wykaż, że jeśli T jest samosprzężony, to a) σ(T) ⊂ ℝ

b) do σ(T) należy ∥T ∥ lub −∥T ∥.