Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1

1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? . a) X = ℝ, ∥x∥ = arctg|x|;

b) X = ℝ^{n}, d(x, y) = |x_{1} − y_{1}| + |x_{2} − y_{2}| + max_{i 3} |x_{i} − y_{i}|;

c) X = C[0, 1], d(f, g) = sup_{x∈[0,1]} |f(x) − g(x)|;

d) X = C[0, 1], d(f, g) = |f(0) − g(0)|;

e) X = C[0, 1], d(f, g) = ∫_{0}^{1} |f(x) − g(x)|dx;

2. Które z przestrzeni z poprzedniego zadania są zupełne?

3. Narysuj kulki jednostkowe w następujących przestrzeniach: l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, l_{∞}^{2} , l_{p}^{2}, l_{1}^{3}, l_{2}^{3}, l_{∞}^{3} .

4. Powiemy, że dwie metryki ρ_{1} i ρ_{2} są równoważne, jeśli definiują takie same topologie (czyli ciągi mają w obu metrykach te same granice). Wykaż, że jeśli istnieją stałe 0 < c < C < ∞ takie, że

∀_{x,y} cρ_{1}(x, y) ρ_{2}(x, y) Cρ_{1}(x, y),  (1)

to metryki są równoważne.

5. Wskaż dwie równoważne metryki, które nie spełniają (1).

6. Mówimy, że dwie normy są równoważne, jeśli metryki przez nie wyznaczone są równoważne. Wykaż, że normy ∥ · ∥_{1} i ∥ · ∥_{2} są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe 0 < c < C < ∞ takie, że c∥x∥_{1} ∥x∥_{2} C∥x∥_{1} dla wszystkich x.

7. * Wykaż, że wszystkie metryki na ℝ^{n} są równoważne.

1. Wskaż dwie nierównoważne normy na przestrzeni ciągów ograniczonych.

Dla niepustych zbiorów A, B w przestrzeni liniowej X oraz λ ∈ ℝ definiujemy A + B = {x + y: x ∈ A, y ∈ B} oraz λA = {λx: x ∈ A}.

2. Wykaż, że jeśli zbiór A jest wypukły, to aA+bA = (a+b)A dla dowolnych a, b 0.

3. Wykaż, że zbiór A jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy tA+(1−t)A = A dla dowolnego 0 t 1.

4. Wykaż, że jeśli zbiory A i B są wypukłe, to A + B też. Wskaż przykład niewypukłych zbiorów A i B takich, że A + B jest wypukłe.

5. Wykaż, że jeśli zbiór A jest otwarty, to A + B jest otwarty, a jeśli A i B są zwarte, to A + B jest zwarty.

6. Wykaż, że w przestrzeni unormowanej B(x, r_{1}) + B(y, r_{2}) = B(x + y, r_{1} + r_{2}).

7. Wykaż, że każda kula w przestrzeni unormowanej jest wypukła.

8. Niech (X, ∥ · ∥) będzie przestrzenią unormowaną, wykaż, że f(x) = ∥x∥ jest funkcją ciągłą na X.

9. Niech A będzie gwiaździstym względem zera i pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X. Określmy p_{A}(x) := inf{t > 0: x/t ∈ A}. Kiedy p_{A} jest normą na X?

1. Wykaż, że jeśli zbiór A jest wypukły, to zbiór Ā też jest wypukły.

2. Dla zbioru A w przestrzeni liniowej X określamy

conv(A) := ⋂ {B: B wypukłe, A ⊂ B}.

Wykaż, że

a) conv(A) jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym A.

b) conv(A) := {x = ∑ _{j=1}^{n} λ_{j} a_{j} : a_{j} ∈ A, λ_{j} 0, ∑ _{j=1}^{n} λ_{j} = 1, n = 1, 2, …}.

3. Niech x = (x_{k})_{k=1}^{n} . Wykaż, że a) ∥x∥_{q} ∥x∥_{p} n^{1/p−1/q} ∥x∥_{q} dla 1 p < q.

b) lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} .

c) Czy stałe w a) są optymalne? Jakie zawierania dla kul jednostkowych w l_{p}^{n} wynikają z a)?

4. Niech x = (x_{k})_{k=1}^{∞} oraz 1 p < q.

a) Wykaż, że ∥x∥_{q} ∥x∥_{p}

b) Znajdź wektor x taki, że ∥x∥_{q} = ∞ oraz ∥x∥_{p} < ∞.

c) Czy zawsze lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} ? Jeśli nie, to kiedy tak jest?

5. Wykaż, że {x = (x_{k})_{k=1}^{∞} : ∑ _{i=1}^{∞} |x_{i}| 1} jest domkniętym wypukłym podzbiorem l^{2} o pustym wnętrzu. Czy jest to zbiór zwarty?

6. Niech (X, F, μ) będzie przestrzenią z miarą skończoną μ oraz f będzie funkcją mierzalną na X. Udowodnij, że dla 1 p < q,

a) ∥f∥_{p} μ(X)^{1/p−1/q} ∥f∥_{q}, w szczególności ∥f∥_{p} ∥f∥_{q} gdy μ(X) = 1. Kiedy zachodzi równość?

b) Znajdź funkcję f ∈ L^{p}[0, 1] taką, że ∥f∥_{q} = ∞.

c) Znajdź funkcję f ∈ L^{q}[0, ∞) taką, że ∥f∥_{p} = ∞.

7. Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania określamy

∥f∥_{∞} = esssup|f| = inf{t > 0: μ({x: f(x) > λ}) = 0}.

Wykaż, że jeśli μ(X) < ∞, to lim_{p→∞} ∥f∥_{p} = ∥f∥_{∞} .

8. Wykaż, że przestrzeń L^{q}[0, 1] z normą ∥f∥_{p} nie jest zupełna dla 1 p < q.

9. Wykaż, że jeśli zbiór A jest domknięty oraz \frac{1}{2}A + \frac{1}{2}A ⊂ A, to A jest wypukły.

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 4

1. Dla jakich p przestrzenie l^{p}, L^{p}[0, 1] są ośrodkowe?

2. Czy przestrzeń C[0, 1] jest ośrodkowa?

3. Niech C_{ogr}(ℝ) będzie przestrzenią funkcji ciągłych i ograniczonych na ℝ z normą supremum. Czy jest to przestrzeń ośrodkowa?

4. Przestrzeń Lip[0, 1] określamy jako przestrzeń wszystkich funkcji Lipschitzowskich na [0, 1] z normą

∥f∥ := sup_{t∈[0,1]} |f(t)| + sup_{s,t∈[0,1],s≠t} \frac{|f(s) − f(t)|}{|s − t|} .

Wykaż, że jest to przestrzeń Banacha. Czy jest ona ośrodkowa?

5. Dla jakich 1 p ∞ funkcja F (t) = I_{[0,t]} jest funkcją ciągłą z [0, 1] w L^{p}[0, 1]?

6. Wykaż, że φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(x)dx − ∫_{1/2}^{1} f(x)dx jest ciągłym funcjonałem na C[0, 1] i policz jego normę.

7. Niech X := {f ∈ C[0, 1]: f(t) = 2f(1 − t), t ∈ [0, 1/2]}. Udowodnij, że następujące funcjonały są ciągłe i policz ich normy:

a) φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(x)dx,

b) φ(f) := f(\frac{1}{4}),

c) φ(f) := f(\frac{3}{4}).

8. Wykaż, że każdy zbiór domknięty wypukły jest przecięciem półprzestrzeni domkniętych.

1. Na przestrzeni C^{k}[0, 1], k 1 definiujemy normę max_{0 i k} sup_{t∈[0,1]} |f^{(i)} (t)|. Udowodnij ciągłość i oblicz normę następujących funkcjonałów na C^{k}[0, 1]:

a) φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(t)dt,

b) φ(f) := f′(1/2),

c) φ(f) = f(1) − f(0).

2. Mówimy, że podzbiór A przestrzeni Banacha X jest liniowo gęsty, jeśli kombinacje liniowe punktów z A są gęste w X. Wykaż, że A jest liniowo gęsty w X wtedy i tylko wtedy gdy

a) nie istnieje właściwa domknięta podprzestrzeń F ⊂ X zawierająca A;

b) każdy ciągły funkcjonał zerujący się na A jest równy 0.

3. Wykaż, że kula jednostkowa w przestrzeni Banacha jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy wymiar przestrzeni jest skończony.

4. Niech M := {f ∈ C[0, 1]: ∫_{0}^{1/2} f(t)dt = ∫_{1/2}^{1} f(t)dt}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią C[0, 1]. Niech g(t) = t, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥?

5. M := {f ∈ L^{1}[0, 1]: ∫_{0}^{1} f(t)dt = 0}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią L^{1}[0, 1]. Niech g ≡ 1, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥? Ile jest takich funkcji?

6. Niech K będzie środkowosymetrycznym zwartym wypukłym podzbiorem ℝ^{n} o niepustym wnętrzu. Określamy

K^{o} := {y ∈ ℝ^{n} : sup_{x∈K} |⟨x, y⟩| 1}.

Wykaż, że K^{o} jest środkowosymetryczne, zwarte, wypukłe i ma niepuste wnętrze. Ile wynosi (K^{o})^{o}?

1. Wykaż, że na l_{∞} istnieje funkcjonał ciągły o normie jeden, który każdemu ciągowi zbieżnemu przyporządkowuje jego granicę. Udowodnij, że taki funcjonał jest monotoniczny.

2. Jaka jest norma funkcjonału φ(f) := ∫_{0}^{1} e^{x}f(x)dx na L^{p}(0, 2), 1 p ∞?

3. Dla jakich p z przedziału [1, ∞] wzór φ(x) := ∑ _{n=1}^{∞} n^{−1/3} x_{n} zadaje ciągły funkcjonał na l_{p}?

4. Niech c oznacza przestrzeń ciągów zbieżnych, a c_{0} przestrzeń ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Opisz przestrzenie c_{0}^{∗} i c^{∗}.

5. Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz x ∈ X będzie wektorem o normie 1. Udowodnij, że Δ(x) := {x^{∗} ∈ X^{∗}: x^{∗}(x) = 1 = ∥x^{∗}∥} jest niepustym, domkniętym zbiorem wypukłym.

6. Podaj przykłady x ∈ l_{1} takie, że Δ(x) jest jednopunktowe, n-wymiarowe, nieskończenie wymiarowe.

7. Opisz wszystkie x ∈ c_{0} takie, że Δ(x) jest jednopunktowe.

8. Przestrzeń C[0, 1] można traktować jako domkniętą podprzestrzeń L^{∞} [0, 1]. Funkcjonał δ_{x}(f) := f(x) jest ciągłym funkcjonałem o normie 1 na C[0, 1], zatem z twierdzenia Hahna-Banacha można go rozszerzyć do funkcjonału φ_{x} na L^{∞} [0, 1] o normie 1. Wykaż, że nie istnieje funkcja g ∈ L^{1}[0, 1] taka, że φ_{x}(f) = ∫_{0}^{1} f(s)g(s)ds. Udowodnij, że jeśli f ∈ L^{∞} [0, 1] jest taka, że f = 0 na zbiorze (x − ε, x + ε), to φ_{x}(f) = 0.

1. Niech μ będzie skończoną miarą borelowską na [0, 1]. Wykaż, że funkcjonał dany wzorem φ(f) = ∫_{0}^{1} f(x)dμ(x) jest ciągły na C[0, 1] i policz jego normę.

2. Dla x ∈ [0, 1], niech δ_{x}(f) = f(x). Udowodnij, że a) δ_{x} jest ciągłym liniowym funkcjonałem na C[0, 1] o normie 1.

b) Jeśli (x_{n})_{n=1}^{N} jest skończonym ciągiem różnych punktów z [0, 1], to dla dowolnych liczb a_{n},

∥ ∑_{n=1}^{N} a_{n}δ_{x_{n}} ∥_{C[0,1]^{∗}} = ∑_{n=1}^{N} |a_{n}|.

c) Wykaż, że b) zachodzi dla N = ∞.

3. Wykaż, że dla f ∈ L^{1}[0, 1] funkcjonał φ_{f} na C[0, 1] zadany wzorem φ_{f} (g) := ∫_{0}^{1} f(t)g(t) jest ciągły oraz ∥φ_{f} ∥ = ∥f∥_{1}.

4. Niech T f(x) := ∫_{0}^{x} f(s)ds. Wykaż, że T jest ciągłym operatorem z L^{1} w C[0, 1]. Oblicz ∥T ∥.

5. Wykaż, że T jest ciągły z L^{p} w L^{q} dla 1 p, q ∞.

6. Załóżmy, że x = (x_{n})_{n 1} jest takim ciągiem, że dla każdego y ∈ l_{p} szereg ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny. Wykaż, że x ∈ l_{q} dla 1/p + 1/q = 1.

7. Wykaż, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny dla każdego ciągu y_{n} zbieżnego do zera wtedy i tylko wtedy gdy ∑ _{n=1}^{∞} |x_{n}| < ∞.

8. Załóżmy, że f_{n} ∈ L^{1}[0, 1] są takie, że lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(t)g(t)dt = 0 dla wszystkich funkcji g ∈ C[0, 1]. Wykaż, że sup_{n} ∥f_{n}∥_{1} < ∞. Czy musi zachodzić lim_{n→∞} ∥f_{n}∥_{1} = 0?

1. Niech C(T) oznacza klasę funkcji ciągłych na ℝ o okresie 2π. Wykaż, że jest to przestrzeń Banacha. Ponadto dla dowolnego f ∈ L^{1}[−π, π] przekształcenie φ_{f} : C(T) → ℝ zadane wzorem φ(g) := ∫_{−π}^{π} f(t)g(t)dt definiuje ciągły funkcjonał liniowy oraz ∥φ_{f} ∥ = ∥f∥_{L^{1} [−π,π]} .

2. Dla f ∈ C(T) określamy współczynniki Fouriera f wzorem a_{n}(f) := ∫_{−π}^{π} f(t)e^{int} dt, n = 0, ±1, ±2, . . .. Wykaż, że dla dowolnego x ∈ ℝ istnieje funkcja f ∈ C(T) taka, że jej szereg Fouriera ∑ _{n=−∞}^{∞} a_{n}(f)e^{inx} jest rozbieżny.

3. Załóżmy, że (X, ∥ · ∥_{1}) i (X, ∥ · ∥_{2}) są przestrzeniami Banacha. Wykaż, że jeśli ∥x∥_{1} C∥x∥_{2} dla wszystkich x ∈ X, to te dwie normy są równoważne.

4. Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha X i Y. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego y^{∗} ∈ Y^{∗}, y^{∗}(T) jest ciąglym funkcjonałem na X.

5. Niech Y i Z będą dwoma domkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni Banacha X takimi, że dla dowolnego x ∈ X istnieje dokładnie jedna para wektorów (y, z) =: (P_{1}x, P_{2}y) ∈ Y × Z taka, że x = y + z. Wykaż, że P_{1} jest ciągłym rzutem X na Y.

6. Załóżmy, że X, Y i Z są przestrzeniami Banacha, zaś B: X → Z oraz C: Y → Z są ciagłymi operatorami liniowymi. Wykaż, że jeśli dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y = Ax taki, że Bx = Cy, to A jest ciągłym operatorem z X w Y.

7. Niech T: l_{1} → l_{p} będzie przekształceniem liniowym takim, że T x = (T_{1}x, T_{2}x, …). Wykaż, że jeśli dla każdego i, T_{i} jest ciągłym funkcjonałem na l_{1}, to T jest ciągłe.

1. Niech X := {f ∈ L^{2}[0, 1]: f|[0, 1/2] = 0} ⊂ L^{2}[0, 1] Znajdź X^{⊥} i rzut ortogonalny na X.

2. Niech X := {f ∈ L^{2}[−1, 1]: f(x) = f(−x)} ⊂ L^{2}[−1, 1] Znajdź X^{⊥} i rzut ortogonalny na X..

3. Niech V_{n} będzie podprzestrzenią L^{2}[0, 1] składającą się z funkcji stałych na [k/n, (k + 1)/n), k = 1, …, n.

a) Znajdź rzut ortogonalny f na V_{n}.

b) Znajdź odległość f(t) = t w L^{2}[0, 1] od V_{n}.

c) Udowodnij, że dla dowolnej funkcji f ∈ L^{2}[0, 1], ∥f − P_{n}f∥_{2} → 0 przy n → ∞ (P_{n} oznacza rzut ortogonalny na V_{n}.

4. Wykaż, że norma ∥ · ∥ jest zadana przez iloczyn skalarny wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek równoległoboku ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2} dla wszystkich x, y.

5. Znajdź ortogonalizację ciągu wektorów 1, t, t^{2} w L^{2}[−1, 1].

6. Znajdź wielomian stopnia 2 taki, że ∫_{−1}^{1} |t^{4} − w(t)|^{2}dt jest najmniejszy.

7. Niech P_{n} będzie układem wielomianów Legendre’a

P_{n}(t) := \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}, t ∈ [−1, 1], n 0.

a) Wykaż, że P_{n} jest układem ortogonalnym w L^{2}[−1, 1].

b) Czy jest to układ zupełny?

8. Niech L_{n} będzie układem wielomianów Laguerre’a

L_{n}(t) = e^{t} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{n}e^{−t} ), t 0, n 0

jest układem ortogonalnym w L^{2}(ℝ_{+} , e^{−t} dt). Czy jest to układ zupełny?

1. Niech f(x) = x dla x ∈ (−π, π). Znajdź rozwinięcie f w szereg Fouriera ∑ _{n} a_{n}e^{int} .

2. Wykaż, że każdą funkcję parzystą f w L^{2}[−π, π] da się przedstawić w postaci f(t) = ∑ _{n=0}^{∞} a_{n} cosnt, przy czym ciąg jest zbieżny w L^{2}. Ile wynosi ∑ _{n=0}^{∞} a_{n}^{2}?

3. Jak wygląda odpowiednie rozwinięcie w szereg Fouriera dla funkcji nieparzystych?

4. Niech r_{k} := sgn(sin2^{k}πx), k = 1, 2, . . .. Wykaż, że jest to układ ortonormalny, niezupełny w L^{2}[0, 1]. Dla skónnczonych zbiorów A ⊂ {1, 2, …} określamy w_{A} := ∏ _{k∈A} r_{k} w_{∅} := 1. Wykaż, że (w_{A})_{A} jest bazą o.n. L^{2}[0, 1].

5. Niech μ będzie miarą skończoną na [0, 1], która nie jest skupiona na zbiorze skończonym. Wykaż, że istnieje baza o.n. (f_{n})_{n 0} L^{2}([0, 1], μ) taka, że f_{n} jest wielomianem stopnia n.

6. Niech (f_{i}(x))_{i} i (g_{j} (y))_{j} będą układami ortonormalnymi w L^{2}(X, μ_{1}) i L^{2}(Y, μ_{2}) odpowiednio. Wykaż, że

a) układ (f_{i}(x)g_{j} (y))_{i,j} jest układem ortonormalnym w L^{2}(X × Y, μ_{1}μ_{2}).

b) jeśli układy (f_{i})_{i}, (g_{j})_{j} są zupełne, to układ (f_{i}g_{j})_{ij} też jest zupełny.

1. Znajdź transformatę Fouriera funkcji:

a) e^{−x} I_{[0,∞)} (x)

b) sinxI_{[−π,π]} (x).

2. Niech T: l_{p} → l_{p} będzie dany wzorem T (x_{1}, x_{2}, …) = (x_{2}, x_{3}, …). Jak wygląda T^{∗}?

3. Niech T: L^{2}[0, 1] → L^{2}[0, 1] będzie określony jako T f(x) := ∫_{0}^{x} f(y)dy. Znajdź T^{∗}.

4. Niech T: L^{p}[0, 1] → L^{p}[0, 1] będzie określony wzorem T f(x) := ∫_{0}^{1} k(x, y)f(y)dy dla pewnej funkcji ograniczonej mierzalnej k. Znajdź T^{∗}.

5. Określmy T: l_{1} → c_{0} jako

T ((x_{n})_{n 1} ) := (\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} x_{i})_{n 1} .

Znajdź T^{∗}.

1. Niech (e_{n})_{n 0} będzie kanoniczną bazą l_{p}. Wykaż, że operator liniowy T: l_{p} → l_{p} taki, że T e_{n} = a_{n}e_{n} jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy lima_{n} = 0.

2. Czy operator �przesunięcia w prawo” na l_{p} jest zwarty?

3. Niech T: L^{2}[0, 1] → L^{2}[0, 1] będzie dany wzorem T f(x) = ∫_{0}^{x} f(s)ds. Czy jest to operator zwarty?

4. Określmy T: L^{2}(ℝ) → L^{2}(ℝ) jako T f(x) = ∫_{x}^{x+1} f(y)dy. Wykaż, że T jest ciągły. Czy T jest zwarty?

5. Wykaż, że jeśli T ∈ B(X, Y) jest skończenie wymiarowy (tzn. dimT (X) < ∞), to T jest zwarty.

6. Wykaż, że T ∈ B(X, Y) jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ε > 0 T (B_{X}) da się pokryć skończoną liczbą kulek w Y o promieniu ε.

7. Wykaż, że operator T jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε > 0 istnieje przestrzeń Y_{ε} ⊂ Y taka, że dimY_{ε} < ∞ oraz dist(T (B_{X}), Y_{ε}) ε.

8. Załóżmy, że T_{n} ∈ B(X, Y) są skończenie wymiarowe oraz ∥T_{n} − T ∥ → 0. Wykaż, że T jest zwarty.

9. Wykaż, że jeśli X jest przestrzenią Hilberta, a T ∈ B(X, X) jest zwarty, to istnieje ciąg skończenie wymiarowych operatorów T_{n} taki, że ∥T_{n}−T ∥ → 0.