Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 (zadania gwiazdkowe do oddania 16.10)

1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(ℝ); C_{ogr} (ℝ) – przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C_{zw} (ℝ) – przestrzeń funkcji ciągłych o nośniku zwartym; C_{0}(ℝ) – przestrzeń funkcji ciągłych takich, że lim_{|x|→∞} f(x) = 0?

2. Na przestrzeni X = C^{1}[0, 1] rozpatrzmy następujące normy:

i) ∥f∥_{∞} ii) ∥f∥_{∞} + ∥f′∥_{∞} iii) |f(0)| + ∥f′∥_{∞} iii) ∥f∥_{∞} + sup_{x∈(0,1)} |xf′(x)| Które z tych norm wprowadzają na X strukturę przestrzeni Banacha?

3. Wykaż, że Lip[0, 1] - przestrzeń funkcji lipschitzowskich na [0, 1] z normą ∥f∥ = |f(0)| + sup_{x≠y} \frac{|f(x)−f(y)|}{|x−y|} jest przestrzenią Banacha.

4* Niech φ: [0, ∞) → [0, ∞) będzie funkcją wypukłą taką, że φ(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Określamy

l_{φ} := \{x = (x_{n})_{n=1}^{∞} : ∃t > 0 ∑_{n} φ( \frac{|x_{n}|}{t}) < ∞\}

oraz

∥x∥_{φ} := inf \{t > 0: ∑_{n} φ( \frac{|x_{n}|}{t}) 1\} dla x ∈ l_{φ} .

Wykaż, że l_{φ} z normą ∥x∥_{φ} jest przestrzenią Banacha.

5. Powiemy, że dwie metryki ρ_{1} i ρ_{2} są równoważne, jeśli definiują takie same topologie (czyli ciągi mają w obu metrykach te same granice). Wykaż, że jeśli istnieją stałe 0 < c < C < ∞ takie, że

∀_{x,y} cρ_{1}(x, y) ρ_{2}(x, y) Cρ_{1}(x, y),  (1)

to metryki są równoważne.

6. Wskaż dwie równoważne metryki, które nie spełniają (1).

7. Mówimy, że dwie normy są równoważne, jeśli metryki przez nie wyznaczone są równoważne. Wykaż, że normy ∥ · ∥_{1} i ∥ · ∥_{2} są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe 0 < c < C < ∞ takie, że c∥x∥_{1} ∥x∥_{2} C∥x∥_{1} dla wszystkich x.

8. Wskaż dwie nierównoważne normy na przestrzeni ciągów ograniczonych.

9. Wykaż, że wszystkie normy na ℝ^{n} są równoważne.

10* Czy istnieje przestrzeń X i dwie nierównoważne normy wprowadzające na X strukturę przestrzeni Banacha?

11* Czy na c_{00} – przestrzeni ciągów o skończenie wielu wyrazach niezerowych da się wprowadzić strukturę przestrzeni Banacha?

12. Naszkicuj kulę jednostkową w następujących przestrzeniach: l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, l_{∞}^{2} , l_{p}^{2}, l_{1}^{3}, l_{2}^{3}, l_{∞}^{3} .

13. Niech x = (x_{k})_{k=1}^{n} . Wykaż, że a) ∥x∥_{q} ∥x∥_{p} n^{1/p−1/q} ∥x∥_{q} dla 1 p < q,

b) lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} .

c) Czy stałe w a) są optymalne? Jakie zawierania dla kul jednostkowych w l_{p}^{n} wynikają z a)?

14. Niech x = (x_{k})_{k=1}^{∞} oraz 1 p < q.

a) Wykaż, że ∥x∥_{q} ∥x∥_{p}.

b) Znajdź wektor x taki, że ∥x∥_{p} = ∞ oraz ∥x∥_{q} < ∞.

c) Czy zawsze lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} ? Jeśli nie, to kiedy tak jest?

15* Wykaż, że {x = (x_{k})_{k=1}^{∞} : ∑ _{i=1}^{∞} |x_{i}| 1} jest domkniętym wypukłym podzbiorem l_{2} o pustym wnętrzu. Czy jest to zbiór zwarty?

16. Niech (X, F, μ) będzie przestrzenią z miarą skończoną μ oraz f będzie funkcją mierzalną na X. Udowodnij, że dla 1 p < q,

a) ∥f∥_{p} μ(X)^{1/p−1/q} ∥f∥_{q}, w szczególności ∥f∥_{p} ∥f∥_{q} gdy μ(X) = 1. Kiedy zachodzi równość?

b) Wykaż, że lim_{p→∞} ∥f∥_{p} = ∥f∥_{∞} .

c) Znajdź funkcję f ∈ L_{p}[0, 1] taką, że ∥f∥_{q} = ∞.

d) Znajdź funkcję f ∈ L_{q}[0, ∞) taką, że ∥f∥_{p} = ∞.

1. Niech (X, ∥ ∥) będzie przestrzenią unormowaną. Wykaż ciągłość następujących przekształceń:

(i) x ↦ ∥x∥, x ∈ X, (ii) (λ, x) ↦ λx, λ ∈ F, x ∈ X, (iii) (x, y) ↦ x + y, x, y ∈ X.

2. Znajdź |μ| i oblicz ∥μ∥ dla następujących miar ze znakiem na [0, 1]: (i) ∑ _{n=1}^{∞} a_{n}δ_{1/n} , (ii) μ(A) = ∫_{A} f(x)dx, f ∈ L_{1}([0, 1]).

3* Wykaż, że jeśli ν jest miarą skończoną, zaś μ miarą zespoloną taką, że μ(A) = ∫_{A} fdν, to |μ|(A) = ∫_{A} |f|dν.

4. Oblicz normę id: l_{p}^{n} → l_{q}^{n} dla 1 p, q ∞.

5. Określamy T: l_{1} → c_{0} wzorem T (x)_{n} = ∑ _{i=n}^{∞} x_{i}. Wykaż, że T jest ciągłe i oblicz jego normę.

6. Znajdź normę przekształcenia f(x) → xf(x) z L_{p}[−1, 1] w L_{1}[−1, 1], 1 p ∞.

7. Niech g ∈ L_{∞} (X, μ) wykaż, że przekształcenie T dane wzorem T f(x) := g(x)f(x) jest ciągłym operatorem na L_{p}(X, μ). Ile wynosi jego norma?

8* Niech T f(x) := ∫_{0}^{x} f(y)dy, wykaż, że T jest ciągłym przekształceniem z L_{p}[0, 1] w L_{q}[0, 1] dla dowolnych 1 p, q ∞.

9. Wykaż, że φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(x)dx − ∫_{1/2}^{1} f(x)dx jest ciągłym funcjonałem na C[0, 1] i policz jego normę.

10. Niech X := {f ∈ C[0, 1]: f(t) = 2f(1 − t), t ∈ [0, 1/2]}. Czy X z normą supremum jest przestrzenią Banacha? Udowodnij, że następujące funcjonały są ciągłe na X i policz ich normy:

a) φ(f) := f(\frac{1}{4}),

b) φ(f) := f(\frac{3}{4}),

c) φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(x)dx.

11. Zbadaj ciągłość i oblicz normę przekształcenia T: L_{p}[0, 1] → L_{p}[0, 1] danego wzorem T f(x) = f(\sqrt{x}).

12. Oblicz normę przekształcenia x ↦ [x] z X w X/X_{0}.

13. Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami Banacha. Wykaż, że X × Y z normą (x, y) = ∥x∥_{X} + ∥y∥_{Y} jest przestrzenią Banacha, przestrzeń tą oznaczamy wzorem X ⊕ Y. Niech i: X → X ⊕ Y będzie dane wzorem i(x) = (x, 0). Wykaż, że i jest izometrią oraz X ⊕ Y/i(X) jest izometryczne z Y.

14* Wykaż, że dla liczb zespolonych z_{1}, z_{2}, …, z_{n} istnieje taki zbiór I ⊂ {1, 2, …, n}, że

| ∑_{i∈I} z_{i} | \frac{1}{π} ∑_{i=1}^{n} |z_{i}|.

1* Wykaż, że norma ∥ ∥ jest zadana przez iloczyn skalarny wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek równoległoboku ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2} dla wszystkich x, y.

2. Niech M := {f ∈ C[0, 1]: ∫_{0}^{1/2} f(t)dt = ∫_{1/2}^{1} f(t)dt}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią C[0, 1]. Niech g(t) = t, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥?

3. M := {f ∈ L_{1}[0, 1]: ∫_{0}^{1} f(t)dt = 0}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią L_{1}[0, 1]. Niech g ≡ 1, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥? Ile jest takich funkcji?

4* Niech M będzie domkniętą podprzestrzenią l_{p}, 1 < p < ∞. Czy dla dowolnej funkcji f ∈ l_{p} istnieje funkcja g ∈ M taka, że dist(f, M) = ∥f −g∥? Czy może być więcej niż jedna taka funcja?

5. Niech M := {f ∈ L_{2}[−1, 1]: f(x) = f(−x)} ⊂ L_{2}[−1, 1]. Znajdź M^{⊥} i rzut ortogonalny na M.

6. Niech V_{n} będzie podprzestrzenią L_{2}[0, 1] składającą się z funkcji stałych na [k/n, (k + 1)/n), k = 1, …, n.

a) Znajdź V_{n}^{⊥}

b) Znajdź rzut ortogonalny f na V_{n}.

c) Znajdź odległość f(t) = t w L_{2}[0, 1] od V_{n}.

7. Załóżmy że G ⊂ F są dwoma σ-ciałami podzbiorów X, a μ miarą na (X, F). Wykaż, że

i) M = L_{2}(X, G, μ) jest domkniętą podprzestrzenią L_{2}(X, F, μ). ii) ∫_{A} P_{M} fdμ = ∫_{A} fdμ dla dowolnego A ∈ G takiego, że μ(A) < ∞ oraz f ∈ L_{2}(X, F, μ). iii) P_{M} jest nieujemny, tzn. P_{M} f 0 μ-p.w., jeśli f 0 μ-p.w..

8. Wykaż, że dla dowolnego zbioru A w przestrzeni unitarnej H, (A^{⊥} )^{⊥} = \overline{Lin(A)}.

1. Niech M będzie domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta, a (u_{α})_{α∈A} bazą o.n. M. Wykaż, że rzut ortogonalny na M ma postać

P_{M} x = ∑_{α∈A} ⟨x, u_{α} ⟩u_{α} .

2. Znajdź ortogonalizację ciągu wektorów 1, t, t^{2} w L^{2}[−1, 1].

3. Znajdź wielomian stopnia 2 taki, że ∫_{−1}^{1} |t^{4} − w(t)|^{2}dt jest najmniejszy.

4. Wykaż, że układ Rademachera f_{n} := sgn(sin(2^{n}πx)), n = 1, 2, … jest układem ortogonalnym w L^{2}[0, 1]. Czy jest to układ zupełny?

5. Niech P_{n} będzie układem wielomianów Legendre’a

P_{n}(t) := \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}, t ∈ [−1, 1], n 0.

a) Wykaż, że P_{n} jest układem ortogonalnym w L^{2}[−1, 1]. Jak go trzeba znormalizować by był ortonormalny?

b) Czy jest to układ zupełny?

6. Niech μ będzie miarą skończoną na [0, 1], która nie jest skupiona na zbiorze skończonym. Wykaż, że istnieje baza o.n. (f_{n})_{n 0} przestrzeni L^{2}([0, 1], μ) taka, że f_{n} jest wielomianem stopnia n.

7* Niech L_{n} będzie układem wielomianów Laguerre’a

L_{n}(t) = \frac{1}{n!}e^{t} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{n}e^{−t} ), t 0, n 0.

a) Wykaż, że L_{n} jest układem ortogonalnym w L^{2}(ℝ_{+} , e^{−t} dt). Czy jest on ortonormalny?

b) Czy jest to układ zupełny?

8* Niech H_{n} będzie układem wielomianów Hermite’a

H_{n}(t) = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n!}} e^{t^{2} /2} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (e^{−t^{2} /2} ).

a) Wykaż, że (H_{n})_{n 0} jest układem ortonormalnym w L^{2}(ℝ, \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−t^{2} /2} dt).

b) Czy jest to układ zupełny?

9* Niech (f_{i}(x))_{i} i (g_{j} (y))_{j} będą układami ortonormalnymi w L^{2}(X, μ_{1}) i L^{2}(Y, μ_{2}) odpowiednio. Wykaż, że

a) układ (f_{i}(x)g_{j} (y))_{i,j} jest układem ortonormalnym w L^{2}(X × Y, μ_{1}μ_{2}).

b) jeśli układy (f_{i})_{i}, (g_{j})_{j} są zupełne, to układ (f_{i}g_{j})_{ij} też jest zupełny.

10* Wykaż, że dla 1 p < ∞ przestrzeń l_{2} można izometrycznie włożyć w L_{p}([0, 1]).

1. Wykaż, że przestrzeń L_{2}(ℝ^{n}) jest ośrodkowa i wywnioskuj stąd ośrodkowość przestrzeni L_{2}(A) dla dowolnego zbioru borelowskiego A ⊂ ℝ^{n}.

2. Wyznacz p dla których L_{p}[0, 1] jest ośrodkowa.

3. Wykaż, że jeśli μ jest miarą borelowską na Ω - otwartym podzbiorze ℝ^{n} taką, że μ(K) < ∞ dla K zwartych podzbiorów Ω, to C_{zw}^{∞}(Ω) jest gęste w L_{p}(μ) dla 1 p < ∞.

4. Które z następujących przestrzeni są ośrodkowe: M([0, 1]) - przestrzeń zespolonych miar borelowskich na [0, 1], Lip[0, 1], C^{k}[0, 1]?

5. Wykaż, że przestrzeń X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przeliczalny podzbiór liniowo gęsty w X.

6. Niech r_{n} := sgn(sin(2^{n}πx)), n = 1, 2, … będzie układem Rademachera. oraz S oznacza rodzinę wszystkich skończonych podzbiorów {1, 2, …}. Zdefiniujmy układ Walsha wzorem w_{∅} ≡ 1 oraz W_{A} = ∏ _{n∈A} r_{n} dla A ≠ ∅. Udowodnij, że (w_{A})_{A∈S} jest bazą o.n. L_{2}[0, 1].

7. Rozwiń funkcje t na przedziale [−π, π] w szereg Fouriera i wykorzystaj uzyskane rozwinięcie do obliczenia ∑ _{n=1}^{∞} n^{−2} .

8. Wykaż, że każdą funkcję parzystą f w L^{2}[−π, π] da się przedstawić w postaci f(t) = ∑ _{n=0}^{∞} a_{n} cosnt, przy czym ciąg jest zbieżny w L^{2}. Ile wynosi ∑ _{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2}?

9. Jak wygląda odpowiednie rozwinięcie w szereg Fouriera dla funkcji nieparzystych?

10* Wykaż, że przestrzeń Banacha X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciągłe liniowe przekształcenie przeprowadzające l_{1} na X.

11. Wykaż, że jeśli X_{0} jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni unormowanej X oraz x ∈ X \ X_{0} to istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} zerujący się na X_{0} taki, że φ(x) = 1.

12. Niech F będzie podprzestrzenią przestrzeni Banacha X. Wykaż, że dla dowolnego x ∈ X,

dist(x, F) = sup{|φ(x)|: φ ∈ X^{∗}, ∥φ∥ 1, φ_{|F} = 0}

13* Udowodnij, że ośrodkowość przestrzeni X^{∗} implikuje ośrodkowość przestrzeni X. Czy odwrotna implikacja jest prawdziwa?

14* Załóżmy, że (G, +) jest półgrupą abelową. Wykaż, że na l_{∞} (G) istnieje funkcjonał φ o normie 1 taki, że φ(1) = 1 oraz φ(τ_{h}(x)) = φ(x) dla wszystkich x ∈ l_{∞} (G) oraz h ∈ G, gdzie τ_{h}(x)(g) = x(g + h).

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 6 (zadania gwiazdkowe do oddania 4.12)

1. Niech A i B będą rozłącznymi niepustymi wypukłymi podzbiorami przestrzeni Banacha X takimi, że A jest domknięty, a B jest zwarty. Wykaż, że istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} taki, że sup_{x∈A} Re(φ(x)) < inf_{x∈B} Re(φ(x)).

2. Znajdź przestrzeń dualną do c – przestrzeni ciągów zbieżnych z normą supremum.

3* Wykaż, że L_{p}(μ)^{∗} = L_{q}(μ) dla 1 < p < ∞, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 oraz dowolnej (niekoniecznie σ-skończonej) miary μ.

4. a) Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz x ∈ X będzie wektorem o normie 1. Udowodnij, że Δ(x) := {x^{∗} ∈ X^{∗}: x^{∗}(x) = 1 = ∥x^{∗}∥} jest niepustym, domkniętym zbiorem wypukłym.

b) Podaj przykłady x ∈ l_{1} takie, że Δ(x) jest jednopunktowe, n-wymiarowe, nieskończenie wymiarowe.

c) Opisz wszystkie x ∈ c_{0} takie, że Δ(x) jest jednopunktowe.

5. Przestrzeń C[0, 1] można traktować jako domkniętą podprzestrzeń L_{∞} [0, 1]. Funkcjonał δ_{x}(f) := f(x) jest ciągłym funkcjonałem o normie 1 na C[0, 1], zatem z twierdzenia Hahna-Banacha można go rozszerzyć do funkcjonału φ_{x} na L_{∞} [0, 1] o normie 1. Wykaż, że nie istnieje funkcja g ∈ L_{1}[0, 1] taka, że φ_{x}(f) = ∫_{0}^{1} f(s)g(s)ds. Udowodnij, że jeśli f ∈ L_{∞} [0, 1] jest taka, że f = 0 na zbiorze (x − ε, x + ε), to φ_{x}(f) = 0.

6. Wykaż, że przestrzeń X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy gdy X^{∗} jest refleksywna.

7. Które z następujących przestrzeni są refleksywne: l_{p}, L_{p}[0, 1], c_{0}, C[0, 1], M[0, 1]?

8. Wykaż, że c_{0} wkłada się izometrycznie w C[0, 1], a l_{∞} w C_{ogr}(0, 1).

9. Wykaż, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha wkłada się izometrycznie w l_{∞} .

10* Wykaż, że każda miara skończona na przestrzeni polskiej jest regularna.

11. Załóżmy, że x = (x_{n})_{n 1} jest takim ciągiem, że dla każdego y ∈ l_{p} szereg ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny. Wykaż, że x ∈ l_{q} dla 1/p + 1/q = 1.

12. Wykaż, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny dla każdego ciągu y_{n} zbieżnego do zera wtedy i tylko wtedy gdy ∑ _{n=1}^{∞} |x_{n}| < ∞.

13. Załóżmy, że f_{n} ∈ L_{2}[0, 1] są takie, że lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(t)g(t)dt = 0 dla wszystkich funkcji g ∈ L_{2}[0, 1]. Wykaż, że sup_{n} ∥f_{n}∥_{2} < ∞. Czy musi zachodzić lim_{n→∞} ∥f_{n}∥_{2} = 0?

14* Czy w każdej przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru istnieje ciąg słabo zbieżny do zera, który nie zbiega do zera w normie?

1* Wykaż, że jeśli ciąg wektorów x_{n} zbiega słabo do zera, to istnieje ciąg kombinacji wypukłych wektorów x_{n} zbieżny do zera w normie.

2. Wykaż, że ciąg wektorów x_{n} = (x_{n}(k))_{k=1}^{∞} zbiega do słabo do zera w l_{p}, 1 < p < ∞ wtedy i tylko wtedy gdy sup_{n} ∥x_{n}∥_{p} < ∞ oraz lim_{n→∞} x_{n}(k) = 0 dla wszystkich k. Czy charakteryzacja ta jest prawdziwa dla l_{1}? A dla c_{0}?

3. Kiedy ciąg wektorów x_{n} = (x_{n}(k))_{k=1}^{∞} zbiega do słabo z gwiazdką do zera w l_{1} = c_{0}^{∗}?

4. Wykaż, że jeśli 1 < p < ∞ oraz f_{n} ∈ L_{p}[0, 1] są takie, że ∥f_{n}∥_{p} 1 i λ_{1}({x: f_{n}(x) ≠ 0}) → 0, to f_{n} zbiegają słabo do zera. Czy jest to prawdą dla p = 1?

5. Wykaż, że ciąg funkcji Rademachera r_{k} := sgn(sin2^{k}πx) jest słabo zbieżny do zera w L_{p}[0, 1] dla 1 p < ∞.

6* Czy r_{k} zbiega słabo do zera w L_{∞} ?

7* Niech X będzie przestrzenią liniową, a Y pewną podprzestrzenią funkcjonałów liniowych na X. Oznaczmy przez σ(X, Y) najsłabszą topologię na X dla której wszystkie funkcjonały z Y są ciągłe. Wykaż, że jeśli jakiś funkcjonał φ na X jest ciągły w topologii σ(X, Y), to φ ∈ Y. Wywnioskuj stąd, że słaba i słaba* topologie na X^{∗} się pokrywają wtedy i tylko wtedy, gdy X jest refleksywna.

8* Mówimy, że dwie przestrzenia Banacha X i Y są izomorficzne jeśli istnieje ciągły odwracalny operator liniowy T: X → Y. Wykaż, że l_{p} i l_{q} dla p ≠ q nie są izomorficzne.

9. Załóżmy, że X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną, zaś B_{X} = {x ∈ X: ∥x∥ < 1} jest domkniętą kulą jednostkową w X.

i) Pokaż, że dla ε > 0 istnieją wektory x_{1}, x_{2}, … takie, że ∥x_{j} −x_{k}∥ 1−ε dla j ≠ k. ii) Wywnioskuj stąd, że B_{X} nie jest zwarte. iii) Czy i) zachodzi dla ε = 0?

1. Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha X i Y. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego φ ∈ Y^{∗}, φ(T) jest ciąglym funkcjonałem na X.

2. Niech Y i Z będą dwoma domkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni Banacha X takimi, że dla dowolnego x ∈ X istnieje dokładnie jedna para wektorów (y, z) =: (P_{1}x, P_{2}x) ∈ Y × Z taka, że x = y + z. Wykaż, że P_{1} jest ciągłym rzutem X na Y.

3. Załóżmy, że X, Y i Z są przestrzeniami Banacha, zaś B: X → Z oraz C: Y → Z są ciagłymi operatorami liniowymi. Wykaż, że jeśli dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y = Ax taki, że Bx = Cy, to A jest ciągłym operatorem z X w Y.

4* Wykaż, że na ośrodkowej przestrzeni Banacha σ-ciało zbiorów borelowskich w topologii normowej pokrywa się z σ-ciałem zbiorów borelowskich w słabej topologii. Czy założenie ośrodkowości jest konieczne?

5* Czy słaba topologia na przestrzeni l_{p}, 1 p < ∞ jest metryzowalna (tzn. czy istnieje metryka taka, że zbiory otwarte w tej metryce i w słabej topologii są takie same)?

6* Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami Banacha, a T: X → Y jest ciągłym operatorem na. Czy musi wówczas istnieć ε > 0 takie, że każdy operator liniowy ciągły S: X → Y spełniający ∥S − T ∥ ε jest na?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 9

1. Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami Banacha oraz T jest przekształceniem X na Y. Wykaż, że istnieje izomorfizm S: X/ker(T) → Y taki, że T = Sq, gdzie q jest kanonicznym rzutem X na X/ ker(T). Wywnioskuj stąd, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha jest izomorficzna z ilorazem przestrzeni l_{1}.

2. Niech (e_{n})_{n 0} będzie kanoniczną bazą l_{p}. Wykaż, że operator liniowy T: l_{p} → l_{p} taki, że T e_{n} = a_{n}e_{n} jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy lim_{n→∞} a_{n} = 0.

3. Czy operator �przesunięcia w prawo” na l_{p} jest zwarty?

4. Niech T: L_{2}[0, 1] → L_{2}[0, 1] będzie dany wzorem T f(x) = ∫_{0}^{x} f(s)ds. Czy jest to operator zwarty?

5. Określmy T: L_{2}(ℝ) → L_{2}(ℝ) jako T f(x) = ∫_{x}^{x+1} f(y)dy. Wykaż, że T jest ciągły. Czy T jest zwarty?

6. Wykaż, że T ∈ B(X, Y) jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ε > 0, T (B_{X}) da się pokryć skończoną liczbą kulek w Y o promieniu ε.

7. Wykaż, że operator T jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε > 0 istnieje przestrzeń skończenie wymiarowa Y_{ε} ⊂ Y taka, że oraz sup_{x∈T (B_{X} )} dist(x, Y_{ε}) ε.

8. Wykaż, że jeśli X jest przestrzenią Banacha 1 p < ∞ oraz T ∈ B(X, l_{p}) jest zwarty, to istnieje ciąg skończenie wymiarowych operatorów T_{n} taki, że ∥T_{n} − T ∥ → 0.

9. Niech T: l_{p} → l_{p} będzie dany wzorem T (x_{1}, x_{2}, …) = (\frac{1}{2}x_{2}, \frac{1}{3}x_{3}, \frac{1}{4}x_{4} …). Jak wygląda T^{∗}?

10. Niech T: L_{2}[0, 1] → L_{2}[0, 1] będzie określony jako T f(x) := ∫_{0}^{x} f(y)dy. Znajdź T^{∗}.

11. Określmy T: l_{1} → c_{0} jako

T ((x_{n})_{n 1} ) := ( \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} x_{i})_{n 1} .

Znajdź T^{∗}.

12. Operator T : L^{2}[0, 1] → l^{1} jest dany wzorem

T f = ( ∫_{2^{−n}}^{2^{−n+1}} f(x)dx)_{n=1,2,...}

Znajdż T^{∗}.

1* a) Wykaż, że każdy operator zwarty przekształca ciągi słabo zbieżne na ciągi zbieżne w normie.

b) Wykaż, że istnieje operator niezwarty przekształcający ciągi słabo zbieżne na ciągi zbieżne w normie.

c) Załóżmy, że przestrzeń X jest refleksywna i ośrodkowa, zaś T jest operatorem ciągłym na T przekształcającym ciągi słabo zbieżne na ciągi zbieżne w normie. Wykaż, że T jest zwarty.

2. Wykaż, że σ(T^{∗}) = σ(T) i R_{λ}(T^{∗}) = R_{λ}(T)^{∗} dla λ ∉ σ(T).

3. Niech T x = (0, x_{1}, x_{2}/2, x_{3}/3, …). Wykaż, że T jest zwartym operatorem na l_{2} nie posiadającym wartości własnych. Wyznacz operator T^{∗} i znajdź jego wartości własne.

4. Niech T: L_{2}[0, 1] → L_{2}[0, 1] będzie dany wzorem T f(x) = ∫_{0}^{x} f(y)dy, znajdź wartości własne T.

5. Niech T na l_{2} będzie zadany wzorem T x = (a_{n}x_{n})_{n} dla pewnego ciągu ograniczonego a_{n}. Znajdź wszystkie wartości własne i spektrum operatora T.

6. Niech T: L_{2}(X, μ) → L_{2}(X, μ) będzie postaci T f = gf dla pewnego g ∈ L_{∞} (X, μ). Znajdź wartości własne i spektrum operatora T.

7. Wyznacz spektrum i rezolwentę operatora przesunięcia w lewo i w prawo na l_{2}.

8. Niech P będzie rzutem ortogonalnym na domkniętą podprzestrzeń M przestrzeni Hilberta H. Wyznacz spektrum T.

9. Wykaż, że dla dowolnego niepustego, zwartego podzbioru K płaszczyzny zespolonej istnieje operator T na pewnej przestrzeni Hilberta, którego spektrum jest równe K.

10. Wykaż, że jeśli λ ∈ σ(T), to λ^{n} ∈ σ(T^{n}) dla n = 1, 2, . . ..

11* Załóżmy, że S = Id+T, gdzie T jest operatorem zwartym z B(X). Wykaż, że następujące warunki są równoważne:

i) S jest różnowartościowy, ii) S jest na, iii) S^{∗} jest różnowartościowy, iv) S^{∗} jest na.

1. Operator T: L^{2}(ℝ) → L^{2}(ℝ) jest dany wzorem T f(x) = sgn(x)f(x + 1). Znajdź sprzężenie Hilbertowskie T^{∗}. Czy T jest samosprzężony, unitarny, normalny?

2. Podaj przykład izometrii na L_{2}(ℝ), która nie jest operatorem unitarnym.

3* Niech T: l_{2} → l_{2} będzie dany wzorem T (x_{1}, x_{2}, …) = (0, x_{1}, x_{2}, …) oraz S = T + T^{∗}. Oblicz ⟨S^{n}e_{1}, e_{1}⟩.

4* Wykaż, że jeśli T jest operatorem na zespolonej przestrzeni Hilberta oraz ⟨T x, x⟩ ∈ ℝ dla wszystkich x, to T jest samosprzężony.

5. Wykaż, że jeśli operator T jest samosprzężony, to ∥T ∥ lub −∥T ∥ należą do spektrum T.

6. Załóżmy, że k ∈ L_{2}([0, 1]^{2}) i k(x, y) = \overline{k(y, x)}. Określmy

Kf(x) = ∫_{0}^{1} f(y)k(x, y)f(y)dy.

Wykaż, że i) K jest zwartym operatorem samosprzężonym; ii) istnieje baza o.n. (φ_{n})_{n 1} przestrzeni L_{2}[0, 1] oraz liczby rzeczywiste λ_{n} → 0 takie, że Kφ_{n} = λ_{n}φ_{n}; iii) k(x, y) = ∑ _{n=1}^{∞} λ_{n}φ_{n}(x)\overline{φ_{n}(y)}, przy czym szereg jest zbieżny w L_{2}([0, 1]^{2}).

7. Niech T będzie operatorem samosprzężonym. Wykaż, że i) λ ∉ T wtedy i tylko wtedy gdy istnieje c > 0 takie, że ∥T x−λx∥ c∥x∥ dla wszystkich x. ii) σ(T) ⊂ ℝ. iii) σ(T) ⊂ [m, M] dla m = inf_{∥x∥=1} ⟨T x, x⟩ i M = sup_{∥x∥=1} ⟨T x, x⟩ oraz m i M należą do σ(T).

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 12

1. Wykaż, że dla f ∈ L_{1}(ℝ^{n}) i z ∈ ℝ^{n} i) jeśli g(x) = f(x)e^{i⟨x,z⟩} , to ĝ(y) = f̂(y − z); ii) jeśli g(x) = f(x − z), to ĝ(y) = f̂(y)e^{−i⟨x,z⟩} ; iii) jeśli g(x) = f(ax), a > 0, to ĝ(y) = a^{−n} f̂(y/a); iv) jeśli g(x) = \overline{f(x)} , to ĝ(y) = \overline{f̂(−y)} .

2. Podaj przykład funkcji z L_{2} takiej, że f ∉ L_{1} , ale f̂ ∈ L_{1}.

3. Oblicz transformatę Fouriera funkcji e^{−ax^{2}} sin(bx) dla a > 0.

4. Wykaż, że iloczyn i splot funkcji z klasy Schwartza jest w klasie Schwartza.

5. Udowodnij, że każdy ciągły homomorfizm z ℝ^{n} w S^{1} = {z ∈ ℂ: |z| = 1} jest postaci x ↦ e^{i⟨x,y⟩} dla pewngo y ∈ ℝ^{n}.

6. Wykaż, że F^{4}f = f dla f ∈ L_{2}(ℝ^{n}).