Analiza Funkcjonalna I*

Rafał Latała

22 stycznia 2012

Skrypt ten zawiera notatki do wykładu z Analizy Funkcjonalnej I* przeprowadzonego na Wydziale Matematyki, Mechaniki i Informatyki Uniwersytetu Warszawskiego w semestrze zimowym 2012/13.

Spis treści

1 Podstawowe definicje i przykłady 3 1.1 Przestrzenie funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Przestrzenie L_{p}, 1 p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Przestrzenie L_{∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Miary zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Przestrzeń operatorów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe . . . . . . . . . . . . 13

2 Przestrzenie Hilberta 14 2.1 Definicje, podstawowe własności i kilka przykładów . . . . . . 14 2.2 Twierdzenia o rzucie ortogonalnym i o postaci funkcjonału . . 17 2.3 Twierdzenie Radona-Nikodyma . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Układy i bazy ortonormalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Przykłady baz ortonormalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.1 Układ trygonometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.2 Układ Haara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.3 Układ Walsha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.4 Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Wielomiany orto-

gonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Twierdzenie Hahna-Banacha 30 4 Przestrzenie dualne 33

4.1 Przestrzeń L_{p}^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Miary regularne i przestrzeń C(K)^{∗} . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Przestrzeń X^{∗∗}, refleksywność . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Twierdzenie Banacha Steinhausa. Słabe topologie 39

5.1 Przykład zastosowania – funkcja ciągła o rozbieżnym szeregu

Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Słaba topologia na X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Słaba* topologia na X^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Twierdzenia Banacha o przekształceniu otwartym i wykresie domkniętym 46

7 Operatory zwarte 49

8 Operator Sprzężony 53

9 Widmo (spektrum) operatora 57

10 Operatory na przestrzeni Hilberta 62 10.1 Sprzężenie Hilbertowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.2 Operatory unitarne i samosprzężone . . . . . . . . . . . . . . 63 10.3 Rozkład spektralny operatorów zwartych . . . . . . . . . . . . 66 10.4 Problem istnienia podprzestrzeni niezmienniczej . . . . . . . . 69

11 Transformata Fouriera 70 11.1 Transformata Fouriera na L_{1}. Podstawowe własności . . . . . 70 11.2 Przedłużenie na L_{2}. Transformata odwrotna . . . . . . . . . . 71 11.3 Związki z różniczkowaniem. Klasa Schwartza funkcji szybko

malejących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1 Podstawowe definicje i przykłady

Definicja 1.1. Przestrzenią unormowaną nad ciałem 𝔽 równym ℝ lub ℂ nazywamy parę (X, ∥ ∥), gdzie X jest przestrzenią liniową nad 𝔽, a ∥ ∥ normą, tzn. funkcją na X o wartościach w [0, ∞) spełniającą warunki:

i) ∥x∥ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0; ii) ∥λx∥ = |λ|∥x∥ dla λ ∈ 𝔽 i x ∈ X; iii) ∥x + y∥ ∥x∥ + ∥y∥ dla x, y ∈ 𝔽.

Przykłady.

i) Przestrzeń 𝔽^{n} z normą euklidesową ∥x∥ = (∑ _{i n} |x_{i}|^{2})^{1/2}. ii) Przestrzeń 𝔽^{n} z normą maksimum ∥x∥ = max_{i n} |x_{i}|. iii) Przestrzeń wielomianów z normą suma modułów współczynników. iv) Przestrzeń C[0, 1] funkcji ciągłych na [0, 1] z normą supremum ∥f∥ = sup_{t} |f(t)|.

v) Przestrzeń C[0, 1] z normą ∥f∥ = ∫_{0}^{1} |f(t)|dt. vi) Przestrzeń C_{ogr}(ℝ) funkcji ciągłych ograniczonych na ℝ z normą supremum. vii) Przestrzeń C_{zw}(ℝ) funkcji ciągłych na ℝ o nośniku zwartym z normą supremum. viii) Przestrzeń C^{1}[0, 1] funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły na [0, 1] (na końcach rozważamy jednostronne pochodne) z normą supremum.

Uwaga 1.2. Każda przestrzeń unormowana jest przestrzenią metryczną względem metryki indukowanej przez normę ρ(x, y) = ∥x − y∥. Oczywiście nie każda metryka na przestrzeni liniowej jest indukowana przez pewną normę.

Okazuje się, że szczególnie istotną rolę wśród przestrzeni unormowanych odgrywają przestrzenie zupełne. Przypomnijmy, że przestrzeń metryczna jest zupełna, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

Definicja 1.3. Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną (X, ∥ ∥), która jest zupełna (w metryce indukowanej przez normę).

Przestrzenie z przykładów i),ii),iv) i vi) są Banacha, z przykładów iii),v), vii) i viii) nie są.

Omówimy teraz kilka ważnych klas przestrzeni Banacha.

1.1 Przestrzenie funkcji ciągłych

Fakt 1.4. Załóżmy, że K jest zbiorem zwartym, wówczas C(K) przestrzeń funkcji ciągłych z K w 𝔽 z normą supremum jest przestrzenią Banacha.

Ogólniej, jeśli X jest przestrzenią Banacha, to C(K, X) przestrzeń funkcji ciągłych z K w X, z normą ∥f∥ = sup_{t∈K} ∥f(t)∥_{X} jest przestrzenią Banacha.

Dowód. Wykażemy zupełność C(K, X). Niech (f_{n}) będzie ciągiem Cauchy’ego z tej przestrzeni. Wówczas, dla dowolnego t ∈ K, f(t) jest ciągiem Cauchy’ego w X (gdyż ∥f_{n}(t) − f_{m}(t)∥_{X} ∥f_{n} − f_{m}∥), stąd z zupełności X wynika jego zbieżność. Zatem ciąg f_{n} jest zbieżny punktowo do pewnej funkcji f: K → X. Zauważmy, że dla t ∈ K,

∥f(t)−f_{n}(t)∥_{X} = lim_{m→∞} ∥f_{m}(t)−f_{n}(t)∥_{X} lim sup_{m→∞}∥f_{m}−f_{n}∥ sup_{m n} ∥f_{m}−f_{n}∥.

Tak więc

sup_{t∈K}∥f(t) − f_{n}(t)∥_{X} sup_{m n} ∥f_{m} − f_{n}∥ → 0 przy n → ∞,

czyli ciąg (f_{n}) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f, co implikuje, że f jest funkcją ciągłą i f_{n} zbiega do f w normie przestrzeni C(K, X).

Podobnie dowodzimy fakt:

Fakt 1.5. Załóżmy, że E jest przestrzenią topologiczną, wówczas C_{ogr}(E) przestrzeń funkcji ciągłych, ograniczonych z E w ciało skalarów 𝔽 z normą supremum jest przestrzenią Banacha.

Przykłady.

i) Rozważmy liczby naturalne ℕ z topologią dyskretną. Wówczas C_{ogr}(ℕ) możemy utożsamiać z przestrzenią ciągów ograniczonych oznaczaną l_{∞} z metryką supremum. ii) Niech K = N^{∗} będzie jednopunktowym uzwarceniem ℕ. Funkcje z C(K) możemy traktować jako ciągi zbieżne. Przestrzeń taką (z metryką supremum) będziemy oznaczać symbolem c.

1.2 Przestrzenie L_{p}, 1 p < ∞

Definicja 1.6. Załóżmy, że μ jest miarą nieujemną na (X, F) oraz 1 p < ∞. Określamy wówczas dla funkcji mierzalnej f: X → 𝔽,

∥f∥_{p} := ( ∫_{X} |f(t)|^{p}dμ(t))^{1/p}

i

L_{p}(X, F, μ) := {f: X → 𝔽 mierzalne takie, że ∫_{X} |f(t)|^{p}dμ(t) < ∞}.  (1)

Uwaga 1.7. Dla uproszczenia oznaczeń będziemy często pisać L_{p}(X, μ), L_{p}(X) lub L_{p}(μ) zamiast L_{p}(X, F, μ).

Twierdzenie 1.8. Przestrzeń L_{p} z normą ∥ ∥_{p} jest przestrzenią Banacha.

Uwaga 1.9. Zauważmy, że ∥f − g∥_{p} = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f = g μ-prawie wszędzie. Zatem formalnie elementy przestrzeni L_{p}(μ) to klasy równoważności funkcji całkowalnych z p-tą potęgą względem relacji równości μ-p.w..

By udowodnić Twierdzenie 1.8 musimy wpierw pokazać, że ∥ ∥_{p} jest normą. Jedyny nieoczywisty warunek to nierówność trójkąta. Jest to tak zwana nierówność Minkowskiego.

Fakt 1.10 (Minkowski). Dla dowolnych funkcji mierzalnych f, g na (X, F, μ)

∥f + g∥_{p} ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p} 1 p < ∞.  (2)

Dla p = 1 nierówność natychmiast wynika z odcałkowania nierówności |f(t)+g(t)| |f(t)|+|g(t)|, dla pozostałych p użyjemy nierówności Höldera.

Fakt 1.11 (Hölder). Dla dowolnych funkcji mierzalnych f, g na (X, F, μ), 1 < p, q < ∞ takich, że \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 zachodzi ∥fg∥_{1} ∥f∥_{p}∥g∥_{q} tzn.

∫_{X} |fg|dμ (( ∫_{X} |f|^{p}dμ)^{1/p}( ∫_{X} |f|^{q}dμ)^{1/q}.  (3)

Dowód. Jeśli któraś z liczb ∥f∥_{p} lub ∥g∥_{q} jest równa 0 lub ∞, to nierówność jest oczywista, z uwagi na jednorodność możemy zatem zakładać, że ∥f∥_{p} = ∥g∥_{q} = 1. Wklęsłość logarytmu implikuje następującą nierówność Younga

|f(t)g(t)| \frac{1}{p}|f(t)|^{p} + \frac{1}{q}|g(t)|^{q},

która po odcałkowaniu po X daje ∥fg∥_{1} \frac{1}{p}∥f∥_{p}^{p} + \frac{1}{q}∥g∥_{q}^{q} = 1 = ∥f∥_{p}∥g∥_{q}.

Dowód nierówności Minkowskiego (2). Oczywiście możemy zakładać, że ∥f∥_{p}, ∥g∥_{p} < ∞, wówczas

∥f + g∥_{p}^{p} = ∫_{X} |f + g|^{p}μ ∫_{X} 2^{p}(|f|^{p} + |g|^{p})μ = 2^{p}(∥f∥_{p}^{p} + ∥g∥_{p}^{p}) < ∞.

Ponadto,

∥f + g∥_{p}^{p} = ∫_{X} |f + g||f + g|^{p−1} dμ ∫_{X} |f||f + g|^{p−1} dμ + ∫_{X} |g||f + g|^{p−1} dμ
∥f∥_{p}^{p}∥f + g∥_{p}^{p−1} + ∥g∥_{p}^{p}∥f + g∥_{p}^{p−1}

gdzie druga nierówność wynika z nierówności Höldera (3) zastosowanej do funkcji |f| i |f + g|^{p−1} oraz |g| i |f + g|^{p−1}

Dzieląc stronami przez ∥f + g∥_{p}^{p−1} dostajemy nierówność (2).

Dowód Twierdzenia 1.8. Wiemy, że ∥ ∥_{p} jest normą, pozostaje więc wykazać zupełność L_{p}. Niech (f_{n}) będzie ciągiem Cauchy’ego w L_{p}, wówczas istnieje taki jego podciąg g_{k} = f_{n_{k}}, że

∥g_{k} − g_{l}∥_{p} 4^{−k} dla l k.

Wystarczy udowodnić zbieżność ciągu g_{k} w L_{p}. Zdefiniujmy następujące zbiory dla k = 1, 2, …,

A_{k} := {t ∈ X: |g_{k}(t) − g_{k+1} (t)| 2^{−k} }.

Mamy

4^{−kp} ∥g_{k} − g_{k+1} ∥_{p}^{p} ∫_{A_{k}} ||g_{k} − g_{k+1} |^{p}dμ 2^{−kp} μ(A_{k}),

więc μ(A_{k}) 2^{−kp} . Połóżmy

A := lim supA_{k} = ⋂_{k=1}^{∞} ⋃_{l=k}^{∞} A_{l},

wtedy μ(A) μ(∪_{l k} A_{l}) ∑ _{k l} μ(A_{l}) ∑ _{k l} 4^{−lp} i z dowolności k wynika, że μ(A) = 0. Zauważmy, że dla t ∉ A, |g_{k}(t)−g_{k+1} (t)| 2^{−k} dla dostatecznie dużych k, co implikuje zbieżność ciągu g_{k}(t). Możemy więc określić

g(t) := \{ \begin{matrix}lim_{k→∞} g_{k}(t) & t ∈ A, \\ 0 & t ∉ A \end{matrix}

i wówczas g_{k} zbiega do g μ-prawie wszędzie. Zauważmy, że na mocy lematu Fatou,

∥g−g_{k}∥_{p}^{p} = ∫_{X} lim_{l→∞} |g_{l}−g_{k}|^{p}dμ lim inf_{l→∞} ∫_{X} |g_{l}−g_{k}|^{p}dμ sup_{l k}∥g_{l}−g_{k}∥_{p}^{p} 4^{−k} .

Stąd g − g_{k} ∈ L_{p}, więc również g = (g − g_{k}) + g_{k} ∈ L_{p} oraz g_{k} zbiega do g w L_{p}.

Uwaga 1.12. Dowód Twierdzenia 1.8 pokazuje, że każdy ciąg zbieżny w L_{p} ma podciąg zbieżny μ-prawie wszędzie.

Przykłady.

i) Niech A ⊂ ℝ^{n} będzie borelowskim zbiorem takim, że λ_{n}(A) > 0, gdzie λ_{n} oznacza miarę Lebesgue’a. Przez L_{p}(A) oznaczamy wówczas przestrzeń L_{p}(A, B(A), λ_{n}). ii) Rozważmy ℕ z miarą liczącą μ. Wówczas przestrzeń L_{p}(ℕ) możemy utożsamiać z przestrzenią ciągów sumowalnych z p-tą potęgą, którą będziemy oznaczać przez l_{p}. Wówczas

∥(x_{n})∥_{p} = ( ∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|^{p})^{1/p}.

iii) Ogólniej, możemy rozważyć dowolny zbiór Γ z miarą liczącą μ otrzymując przestrzeń ciągów (x_{t})_{t∈Γ} sumowalnych z p-tą potęgą oznaczaną przez l_{p}(Γ). Gdy Γ jest zbiorem n-elementowym przestrzeń tą możemy utożsamiać z ℝ^{n}, używamy wtedy oznaczenia l_{p}^{n}.

Uwaga 1.13. Dla 0 < p < 1 przestrzeń L_{p}(X, F, μ) określamy wzorem (1). Nie jest to jednak przestrzeń Banacha, ale zupełna przestrzeń metryczna z metryką

ρ_{p}(f, g) = ∫_{X} |f − g|^{p}dμ.

1.3 Przestrzenie L_{∞}

Definicja 1.14. Załóżmy, że μ jest miarą nieujemną na (X, F) oraz f: X → 𝔽 jest mierzalne, określamy wówczas

∥f∥_{∞} = inf{M 0: μ{t ∈ X: f(t) > M} = 0}

oraz

L_{∞} (X, F, μ) := {f: X → 𝔽 mierzalne takie, że ∥f∥_{∞} < ∞}.

Uwaga 1.15. Tak jak dla przetrzeni L_{p} formalnie elementami L_{∞} (μ) są klasy równoważności funkcji względem relacji równości μ-prawie wszędzie.

Uwaga 1.16. Zauważmy, że μ{t ∈ X: f(t) > ∥f∥_{∞} } = 0 oraz dla dowolnego f ≠ 0 i u < ∥f∥_{∞} , μ{t ∈ X: f(t) > u} > 0.

Twierdzenie 1.17. Przestrzeń L_{∞} z normą ∥ ∥_{∞} jest przestrzenią Banacha.

Dowód. Wykażemy zupełność. Przechodząc ewentualnie do pociągu możemy rozpatrywać ciąg funkcji (f_{n}) taki, że ∥f_{k} − f_{l}∥_{∞} 2^{−k} dla l > k. Określmy

A_{k} := {t ∈ X: |f_{k}(t) − f_{k+1} (t)| > 2^{−k} },

wówczas μ(A_{k}) = 0 więc jeśli A := ⋃ _{k 1} A_{k}, to μ(A) = 0. Zauważmy, że jeśli x ∉ inA, to |f_{k}(x) − −f_{k+1} (t)| 2^{−k} dla wszystkich k, więc istnieje granica f(x) = lim_{k→∞} f_{k}(x) oraz |f(x)−f_{k}(x)| ∑ _{l k} 2^{−l} = 2^{1−k} . Kładąc f(x) = 0 dla x ∈ A widzimy, że ∥f − f_{k}∥_{∞} sup_{x∈A} |f(x) − f_{k}(x)| 2^{1−k} . W szczególności f − f_{k} ∈ L_{∞} , więc f = (f − f_{k}) + f_{k} ∈ L_{∞} oraz f_{k} → f w L_{∞} .

Uwaga 1.18. Nierówność Höldera (Fakt 1.11) zachodzi też dla p = ∞, tzn. ∥fg∥_{1} ∥f∥_{∞} ∥g∥_{1}. Istotnie wystarczy odcałkować nierówność |f(t)g(t)| ∥f∥_{∞} |g(t)|, która zachodzi dla μ-prawie wszystkich t ∈ X. Przykłady.

i) Tak jak dla p < ∞, dla borelowskiego zbioru A ⊂ ℝ^{n} o dodatniej mierze Lebesgue’a określamy L_{∞} (A) jako L_{∞} (A, B(A), λ_{n}). ii) Zauważmy, że dla miary liczącej μ na zbiorze Γ jedyne zbiory miary zero to zbiory puste zatem l_{∞} (Γ) := L_{∞} (Γ, μ) to przestrzeń wszystkich ciągów ograniczonych (x_{t})_{t∈Γ} z normą supremum. W szczególności dla Γ = ℕ otrzymujemy już wcześniej rozważaną przestrzeń l_{∞} . Dla Γ = {1, 2, …, n} l_{∞} (Γ) możemy utożsamić z ℝ^{n} z normą maksimum, przetrzeń tą oznaczamy l_{∞}^{n} .

1.4 Miary zespolone

Definicja 1.19. Miarą ze znakiem (odp. miarą zespoloną) na przestrzeni mierzalnej (X, F) nazywamy sigma-addytywną funkcję μ na F o wartościach rzeczywistych (odp. zespolonych) tzn. funkcję spełniającą warunek

μ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) dla parami rozłącznych zbiorówA_{1}, A_{2}, … ∈ F.

(4)

Uwaga 1.20. Warunek (4) implikuje w szczególności zbieżność szeregu ∑ _{n=1}^{∞} μ(A_{n}). Ponieważ suma zbiorów się nie zmienia przy permutacji indeksów, więc ten szereg jest zbieżny bezwarunkowo, czyli ∑ _{n=1}^{∞} |μ(A_{n})| < ∞.

Definicja 1.21. Załóżmy, że μ jest miarą ze znakiem lub miarą zespoloną na (X, F). Określamy wówczas dla A ∈ F

|μ|(A) := sup{ ∑_{n=1}^{∞} |μ(A_{n})|: A_{1}, A_{2}, … ∈ F parami rozłączne, ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = A}.

Twierdzenie 1.22. Dla dowolnej miary ze znakiem (miary zespolonej) μ na (X, F), |μ| jest skończoną miarą nieujemną taką, że |μ|(A) |μ(A)|. Ponadto |μ| jest najmniejszą taką miarą.

Nieoczywistym punktem jest skończoność |μ|, by go wykazać potrzebny będzie nam następujący lemat.

Lemat 1.23. Załóżmy, że z_{1}, z_{2}, …, z_{n} są liczbami zespolonymi, wówczas istnieje I ⊂ {1, …, n} taki, że

| ∑_{i∈I} z_{i} | \frac{1}{6} ∑_{i=1}^{n} |z_{i}|.

Dowód. Płaszczyznę zespoloną można podzielić na cztery ćwiartki ograniczone prostymi y = ±x. W jednej z tych ćwiartek leżą wektory (z_{i})_{i∈I} o sumie modułów nie mniejszej niż \frac{1}{4} ∑ _{i n} |z_{i}|. Bez straty ogólności możemy założyć, że jest to ćwiartka C = {z = x + iy: |y| x}. Zauważmy, że Re(z) |z|/\sqrt{2} dla z ∈ C, stąd

| ∑_{i∈I} z_{i} | ∑_{i∈I} Re(z_{i}) ∑_{i∈I} \frac{1}{\sqrt{2}}|z_{i}| \frac{1}{4\sqrt{2}} ∑_{i=1}^{n} |z_{i}| \frac{1}{6} ∑_{i=1}^{n} |z_{i}|.

Dowód Twierdzenia 1.22. Najpierw udowodnimy, że |μ| jest miarą nieujemną na (X, F). Niech A_{1}, A_{2}, … będzie ciągiem parami rozłącznych zbiorów z F oraz A = ⋃ _{n=1}^{∞} A_{n}. Jeśli B_{1}, B_{2}, … jest rozbiciem A na parami rozłączne zbiory z F, to dla każdego n, A_{n} = ⋃ _{k=1}^{∞} (B_{k} ∩ A_{n}), więc

∑_{k} |μ(B_{k})| = ∑_{k} | ∑_{n} μ(B_{k} ∩ A_{n})| ∑_{k} ∑_{n} |μ(B_{k} ∩ A_{n})|

= ∑_{n} ∑_{k} |μ(B_{k} ∩ A_{n})| ∑_{n} |μ|(A_{n}),

więc biorąc supremum po wszystkich takich rozbiciach dostajemy

|μ|(A) ∑_{n} |μ|(A_{n}).

Z drugiej strony, jeśli a_{n} < |μ|(A_{n}) i (B_{n,k})_{k 1} jest rozbiciem A_{n} na parami rozłączne zbiory z { takim, że ∑ _{k} |μ(B_{n,k})| a_{n}, to (B_{n,k})_{n,k} jest rozbiciem A, więc

|μ|(A) ∑_{n} ∑_{k} |μ(B_{n,k})| ∑_{n} a_{n}

i z dowolności wyboru a_{n} < |μ|(A_{n}) dostajemy

|μ|(A) ∑_{n} |μ|(A_{n}).

Zatem |μ|(A) = ∑ _{n} |μ|(A_{n}), czyli |μ| jest miarą.

Pozostaje wykazać skończoność |μ|(X). Pokażemy wpierw, że jeśli A ∈ F spełnia |μ|(A) = ∞, to istnieją zbiory rozłączne B, C ∈ F, B ∪ C = A takie, że |μ(B)| 1 oraz |μ|(C) = ∞. Istotnie, z definicji |μ| istnieją zbiory rozłączne A_{1}, A_{2}, …, A_{n} ∈ F zawarte w A takie, że ∑ _{k=1}^{n} |μ(A_{n})| 6(1 + |μ(A)|). Z Lematu 1.23 istnieje zbiór I ⊂ {1, …, n} taki, że | ∑ _{k∈I} μ(A_{k})| 1 + |μ(A)|. Niech D = ⋃ _{k∈I} A_{i} wówczas |μ(D)| 1 + |μ(A)| 1 oraz |μ(A\D)| = |μ(A)−μ(D)| 1. Zauważmy, że przynajmiej jeden ze zbiorów D, A\D ma nieskończoną miarę |μ|, wybieramy go jako C a drugi ze zbiorów jako B.

Załóżmy teraz nie wprost, że |μ|(X) = ∞, stosując powyższe spotrzeżenie, indukcyjnie konstruujemy zbiory B_{1}, …, B_{n}, C_{n} parami rozłączne takie, że |μ(B_{i})| 1 oraz |μ|(C_{n}) = ∞. Wówczas mamy rozłączne podzbiory (B_{k})_{k 1} oraz szereg ∑ _{k} μ(B_{k}) jest rozbieżny, co jest niemożliwe.

Twierdzenie 1.24. Przestrzeń wszystkich miar zespolonych (miar ze znakiem) na (X, F) z normą ∥μ∥ := |μ|(X) jest przestrzenią Banacha nad ℂ (odp. nad ℝ).

Dowód. To, że jest to przestrzeń unormowana jest oczywiste. By wykazać zupełność weźmy ciąg Cauchy’ego (μ_{n}) miar zespolonych i zauważmy, że dla A ∈ F, |μ_{n}(A) − μ_{m}(A)| ∥μ_{n} − μ_{m}∥, więc μ_{n}(A) jest ciągiem Cauchy’ego w 𝔽 i możemy określić μ(A) = lim_{n→∞} μ(A_{n}). Zauważmy, że dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów A_{1}, A_{2}, … ∈ F i N < ∞

∑_{k=1}^{N} |μ(A_{k}) − μ_{n}(A_{k})| = lim_{m→∞} ∑_{k=1}^{N} |μ_{m}(A_{k}) − μ_{n}(A_{k})| lim sup_{m→∞}∥μ_{m} − μ_{n}∥,

stąd

∑_{k=1}^{∞} |μ(A_{k}) − μ_{n}(A_{k})| sup_{m n} ∥μ_{m} − μ_{n}∥ → 0 przy n → ∞.  (5)

Niech teraz A = ⋃ _{k=1}^{∞} A_{k}, będzie rozbiciem A na parami rozłączne zbiory z F. Wówczas dla dowolnego n,

|μ(A)−∑_{k} μ(A_{k})| |μ_{n}(A)−∑_{k} μ_{n}(A_{k})|+|μ(A)−μ_{n}(A)|+∑_{k} |μ(A_{k})−μ_{n}(A_{k})|

i pierwszy z powyższych składników jest równy zero, a dwa kolejne dążą do zera przy n → ∞. Zatem μ jest miarą zespoloną, a (5) pokazuje, że ∥μ − μ_{n}∥ → 0.

Przykład. Gdy X = ℕ i F = 2^{X}, to każda miarę μ można utożsamiać z ciągiem x_{n} = μ({n}), i nietrudno zauważyć, że |μ|(A) = ∑ _{n∈A} |x_{n}|. Stąd ∥μ∥ = ∥x∥_{1} i przestrzeń miar na ℕ można utożsamiać z l_{1}.

Przystąpimy teraz do określenia całki względem miary zespolonej. Zacznijmy od miar ze znakiem, niech μ będzie taką miarą na (X, F) i określmy miary μ^{+} i μ^{−} wzorami

μ^{+} (A) = \frac{1}{2}(μ(A) + |μ|(A)), μ^{−} (A) = \frac{1}{2}(|μ|(A) − |μ|(A)).

Wówczas μ^{+} i μ^{−} są skończonymi miarami nieujemnymi na (X, F) oraz μ = μ^{+} −μ^{−} . Zauważmy, że μ^{+} +μ^{−} = |μ|, więc L_{1}(μ^{+} )∩L_{1}(μ^{−} ) = L_{1}(|μ|). Możemy zatem określić

∫_{X} fdμ := ∫_{X} fdμ^{+} − ∫_{X} fdμ^{−} f ∈ L^{1}(|μ|).

W przypadku miary zespolonej μ mamy μ = Re(μ) + iIm(μ) oraz Re(μ) i Im(μ) są miarami ze znakiem. Definiujemy wtedy

∫_{X} fdμ := ∫_{X} fdRe(μ) + i ∫_{X} fdIm(μ) f ∈ L^{1}(|μ|).

Można sprawdzić, że tak określona całka ∫ fdμ jest liniowa względem f i μ oraz ∫ 𝟙_{A}dμ = μ(A) dla A ∈ F.

1.5 Przestrzeń operatorów liniowych

Zacznijmy od prostego, ale ważnego faktu.

Fakt 1.25. Załóżmy, że T: X → Y jest operatorem liniowym między dwoma przestrzeniami unormowanymi. Wówczas następujące warunki są równoważne:

i) T jest operatorem ciągłym, ii) T jest ciągły w pewnym punkcie x_{0} ∈ X, iii) T jest ciągły w 0, iv) T jest operatorem ograniczonym, tzn. ∥T ∥ < ∞, gdzie

∥T ∥ = ∥T ∥_{X→Y} := sup_{∥x∥_{X} 1} ∥T x∥_{Y}.  (6)

Dowód. Implikacja i) ⇒ ii) jest oczywista, ii) ⇒ iii) wynika stąd, że T x = T (x + x_{0}) − T x_{0}, a iv) ⇒ i) z nierówności ∥T x − T y∥_{Y} = ∥T (x − y)∥_{Y} ∥T ∥∥x − y∥_{X}. By wykazać iii) ⇒ iv) załóżmy nie wprost, że T nie jest ograniczony, wówczas istnieją x_{n} ∈ X takie, że ∥x_{n}∥ 1 oraz ∥T x_{n}∥ n. Wtedy ciąg x_{n}/n dąży do zera w X, a ciąg T (x_{n}/n) nie dąży do T 0 = 0 w Y, więc T nie jest ciągły w 0.

Definicja 1.26. Wielkość ∥T ∥ zdefiniowaną w (6) nazywamy normą operatora T. Przez B(X, Y) będziemy oznaczać przestrzeń ciągłych operatorów z X do Y. W przypadku gdy X = Y będziemy pisać B(X) zamiast B(X, X).

Uwaga 1.27. Zauważmy, że

∥T ∥_{X→Y} = sup_{∥x∥_{X} =1} ∥T x∥_{Y}.

Twierdzenie 1.28. Dla dowolnych przestrzeni umormowanych X i Y przestrzeń B(X, Y) z normą ∥ ∥_{X→Y} jest przestrzenią unormowaną. Jeśli Y jest przestrzenią Banacha, to B(X, Y) też jest przestrzenią Banacha.

Dowód. Pierwsza część twierdzenia jest łatwym ćwiczeniem. Załóżmy zatem, że Y jest Banacha, wykażemy zupełność B(X, Y). Niech (T_{n}) będzie ciągiem Cauchy’ego w B(X, Y). Zauważmy, że dla dowolnego x ∈ X, ciąg (T_{n}x) jest Cauchy’ego w Y (bo ∥(T_{n} − T_{m})x∥ ∥T_{n} − T_{m}∥∥x∥). Zatem można określić operator graniczny T wzorem T x = lim_{n→∞} T_{n}x. Oczywiście T jest operatorem liniowym z X do Y. Zauważmy też, że

∥(T −T_{n})x∥ = lim_{m→∞} ∥(T_{m}−T_{n})x∥ lim sup_{m→∞}∥T_{m}−T_{n}∥∥x∥ sup_{m n} ∥T_{m}−T_{n}∥∥x∥,

stąd

∥T − T_{n}∥ sup_{m n} ∥T_{m} − T_{n}∥ → 0.

W szczególności ∥T − T_{n}∥ < ∞, czyli T_{n} − T ∈ B(X, Y), zatem również T = (T − T_{n}) + T_{n} ∈ B(X, Y) oraz T_{n} → T w normie operatorowej.

Definicja 1.29. Przestrzenią dualną (sprzężoną) do przestrzeni unormowanej X nazywamy przestrzeń X^{∗} = B(X, 𝔽). Elementy X^{∗} nazywamy funkcjonałami na X.

Przykłady.

i) X = c przestrzeń ciągów zbieżnych (z normą supremum), φ(x) = lim_{n→∞} x_{n}, wówczas φ ∈ c^{∗} i ∥φ∥ = 1. ii) X = c_{0}, φ(x) = ∑ _{n=1}^{∞} 2^{−n} x_{n}. Wówczas |φ(x)| ∥x∥ ∑ _{n=1}^{∞} 2^{−n} = ∥x∥, czyli φ ∈ c_{0}^{∗} oraz ∥φ∥ 1. Biorąc x^{n} = e_{1}+e_{2}+…+e_{n} widzimy, że ∥x_{n}∥ = 1 oraz φ(x_{n}) → 1, więc ∥φ∥ = 1. Zauważmy, że nie istnieje x ∈ c_{0} taki, że ∥x∥ = 1 i φ(x) = ∥φ∥. iii) X = L_{1}[0, 1], Y = C[0, 1], T f(t) = ∫_{0}^{t} f(s)ds (operator Volterry). Wówczas, jak łatwo sprawdzić, ∥T ∥ = 1.

1.6 Podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe

Fakt 1.30. Niech (X, ∥ ∥_{X}) będzie przestrzenią Banacha, a Y podprzestrzenią X. Wówczas (Y, ∥ ∥_{X}) jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest domknięte.

Dowód. �⇒”. Jeśli x ∈ Ȳ, to istnieje ciąg x_{n} ∈ Y zbieżny do x, jest to ciąg Cauchyego w normie ∥ ∥_{X}, więc jest zbieżny do pewnego elementu y ∈ Y. Ale y ∈ X i ciąg może mieć tylko jedną granicę, więc y = x, czyli Ȳ = Y. �⇐”. Wystarczy zauważyć, że każdy ciąg Cauchy’ego w Y jest ciągiem Cauchy’ego w X, a jego granica należy do Ȳ = Y.

Przykłady.

i) Przestrzeń c_{0} ciągów zbieżnych do zera jest jak łatwo sprawdzić domkniętą podprzestrzenią l_{∞} zatem c_{0} jest przestrzenią Banacha (w normie supremum). ii) Przestrzeń C_{0}(ℝ) funkcji ciągłych zbieżnych do zera w nieskończoności jest domkniętą podprzestrzenią C_{ogr}(ℝ), czyli jest to przestrzeń Banacha (w normie supremum).

Definicja 1.31. Załóżmy, że Y jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Banacha X. Wprowadzamy wówczas relacje równoważności x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y ∈ Y. Przestrzeń ilorazową X/Y definiujemy jako zbiór ([x])_{x∈X} = (x + Y)_{x∈X} klas równoważności tej relacji. Określmy też

∥[x]∥ := inf{∥y∥_{X} : y ∈ [x]}.  (7)

Twierdzenie 1.32. Dla dowolnej podprzestrzeni domkniętej Y przestrzeni Banacha X przestrzeń X/Y z normą zdefiniowaną wzorem (7) jest przestrzenią Banacha.

Dowód. Wykażemy zupełność X/Y. Weźmy ciąg Cauchy’ego ([x_{n}])_{n} w X/Y, po ewentualnym przejściu do podciągu możemy zakładać, że ∥[x_{n} − x_{m}]∥ 2^{−n} dla m n. Zatem istnieją wektory y_{n} ∈ Y takie, że ∥x_{n} − x_{n+1} + y_{n}∥ 2^{1−n} . Niech x̃_{n} = x_{n} + ∑ _{k=1}^{n−1} y_{k}, wówczas x̃_{n} ∈ [x_{n}] oraz x̃_{n} − x̃_{n+1} = x_{n} − x_{n+1} + y_{n}. Zatem (x̃_{n}) jest ciągiem Cauchy’ego w X, z zupełności zbiega w ∥ ∥_{X} do pewnego elementu x ∈ X. Mamy ∥[x_{n}] − [x]∥ = ∥[x̃_{n}] − [x]∥ ∥x̃_{n} − x∥ → 0.

Przykład. Przestrzeń c/c_{0} jest izometryczna z 𝔽.

2 Przestrzenie Hilberta

2.1 Definicje, podstawowe własności i kilka przykładów

Zacznijmy od przypomnienia definicji prestrzeni euklidesowej (unitarnej).

Definicja 2.1. Przestrzenią unitarną (euklidesową) nazywamy przestrzeń liniową H nad ciałem 𝔽 = ℝ lub ℂ z iloczynem skalarnym ⟨·, ·⟩: H ×H → 𝔽, tzn. funkcją spełniającą następujące warunki:

i) ⟨x, x⟩ > 0 dla x ∈ H, x ≠ 0, ii) przekształcenie x → ⟨x, y⟩ jest liniowe dla wszystkich y ∈ H, iii) ⟨x, y⟩ = \overline{⟨x, y⟩}dla x, y ∈ H.

Uwaga 2.2. Zauważmy, że z definicji wynika, że przekształcenie y → ⟨x, y⟩ jest antyliniowe, tzn. ⟨x, λ_{1}y_{1} + λ_{2}y_{2}⟩ = \overline{λ_{1}}⟨x, y_{1}⟩ + \overline{λ_{2}}⟨x, y_{2}⟩.

Przykłady.

i) 𝔽^{n} z iloczynem skalarnym ⟨x, y⟩ := ∑ _{k=1}^{n} x_{k}\overline{y_{k}}, ii) C[0, 1] z iloczynem skalarnym ⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{1} f(x)\overline{g(x)}dx, iii) l_{2} z iloczynem skalarnym ⟨x, y⟩ := ∑ _{k=1}^{∞} x_{k}\overline{y_{k}} (zbieżność szeregu wynika z nierówności Höldera), iv) L_{2}(X, μ) z iloczynem skalarnym ⟨f, g⟩ := ∫_{X} f\overline{g}dμ,

v) C_{zw}^{∞}(ℝ) z iloczynem skalarnym

⟨f, g⟩ := ∑_{|α| N} ∫_{ℝ} D^{α}f \overline{D^{α}g}dx,

np. dla N = 1,

⟨f, g⟩ = ∫_{ℝ} f\overline{g}dx + ∫_{ℝ}⟨∇f, \overline{∇g} ⟩dx.

vi) A^{2}(Ω) := {f: Ω ↦ ℂ: f ∈ L^{2}(Ω), f holomorficzne }, gdzie Ω jest obszarem w ℂ z iloczynem skalarnym

⟨f, g⟩ := ∫_{Ω} f(x, y)\overline{g(x, y)}dxdy.

Definicja 2.3. Dla wektora x z przestrzeni unitarnej H definiujemy |x| := ⟨x, x⟩^{1/2}.

By pokazać, że | | jest normą na H będziemy potrzebowali następującego faktu.

Fakt 2.4 (Nierówność Schwarza). Dla dowolnych x, y z przestrzeni unitarnej H zachodzi

|⟨x, y⟩|^{2} ⟨x, x⟩⟨y, y⟩

lub równoważnie |⟨x, y⟩| |x||y|.

Dowód. Wybierzmy λ ∈ 𝔽 takie, że |λ| = 1 oraz |⟨x, y⟩| = λ⟨x, y⟩. Zauważmy, że dla t ∈ ℝ,

0 ⟨tλx + y, tλx + y⟩ = t^{2}|λ|^{2}|x|^{2} + |y|^{2} + 2tRe⟨λx, y⟩
= t^{2}|x|^{2} + |y|^{2} + 2t|⟨x, y⟩|.

Zatem funkcja kwadratowa f(t) = t^{2}|x|^{2}+|y|^{2}+2t|⟨x, y⟩| jest stale dodatnia, co implikuje, że jej wyróżnik Δ = 4|⟨x, y⟩|^{2} − 4|x|^{2}|y|^{2} jest niedodatni.

Wniosek 2.5. Funkcja | | jest normą na przestrzeni unitarnej.

Dowód. Oczywiście |x| 0 i |x| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Dla λ ∈ 𝔽 mamy

|λx| = ⟨λx, λx⟩^{1/2} = (λ\overline{λ}⟨x, x⟩)^{1/2} = |λ||x|.

Wreszcie na mocy nierówności Schwarza,

|x + y|^{2} = ⟨x + y, x + y⟩ = |x|^{2} + |y|^{2} + 2Re(⟨x, y⟩) |x|^{2} + |y|^{2} + 2|⟨x, y⟩|
|x|^{2} + |y|^{2} + 2|x||y| = (|x| + |y|)^{2}.

Fakt 2.6 (Tożsamość równoległoboku). Dla dowolnych wektorów x, y w przestrzeni unitarnej H,

|x + y|^{2} + |x − y|^{2} = 2(|x|^{2} + |y|^{2}).

Dowód. Mamy

|x + y|^{2} = |x|^{2} + |y|^{2} + 2Re(⟨x, y⟩), |x − y|^{2} = |x|^{2} + |y|^{2} − 2Re(⟨x, y⟩).

Okazuje się, że tożsamość równoległoboku charakteryzuje normy pochodzące od iloczynu skalarnego.

Twierdzenie 2.7. Załóżmy, że (X, ∥ ∥) jest przestrzenią unormowaną. Wówczas na X da się wprowadzić iloczyn skalarny taki, że ∥x∥ = ⟨x, x⟩ wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest tożsamość równoległoboku ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}), x, y ∈ X.

Dowód pozostawiamy jako (nieco trudniejsze) ćwiczenie.

Definicja 2.8. Przestrzeń unitarną, która jest zupełna (w normie | |) nazywamy przestrzenią Hilberta.

Wiemy już, że przestrzenie z przykładów i), iii), iv) są Hilberta. Nietrudno pokazać, że przestrzenie z przykładów ii), v) nie są zupełne. Pokażemy, że przestrzeń z przykładu vi) jest zupełna.

Fakt 2.9. Dla dowolnego obszaru Ω ⊂ ℂ przestrzeń A^{2}(Ω) jest zupełna.

Dowód. Niech K będzie zwartym podzbiorem Ω, wówczas istnieje ε > 0 takie, że dla każdego z ∈ K, B(z, ε) ⊂ Ω. Niech f ∈ A^{2}(G). Niech z ∈ K, funkcje holomorficzne są harmoniczne, więc f(z) = (πε^{2})^{−1} ∫_{B(z,ε)} fdxdy, stąd z nierówności Schwarza,

|f(z)| \frac{1}{πε^{2}} ∫_{B(z,ε)} |f|dxdy \frac{1}{πε^{2}} (∫_{B(z,ε)} |f|^{2}dxdy)^{1/2}(∫_{B(z,ε)} 1dxdy)^{1/2}

\frac{1}{\sqrt{π}ε}(∫_{G} |f|^{2}dxdy)^{1/2}.

Pokazaliśmy zatem, że dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ Ω, istnieje stała A zależna tylko od K taka, że ∥f∥_{C(K)} A|f|_{A^{2}(Ω)} .

Niech (f_{n}) będzie ciągiem Cauchy’ego w A^{2}(G), z otrzymanego powyżej szacowania wynika, że f_{n} jest ciągiem Cauchy’ego w C(K) dla dowolnego zwartego K ⊂ Ω, skąd łatwo otrzymujemy, że po pierwsze f_{n} jest zbieżny punktowo do pewnej funkcji f, a po drugie zbieżność ta jest niemal jednostajna (tzn. jednostajna na zbiorach zwartych). Zatem f jest holomorficzna jako niemal jednostajna granica funkcji holomorficznych. Z drugiej strony (f_{n}) jest ciągiem Cauchy’ego w L_{2}(Ω), więc zbiega w L_{2}(G) do pewnej funkcji g, ponadto pewien podciąg (f_{n_{k}}) zbiega do g p.w., czyli f = g p.w.. Stąd f jest całkowalna z kwadratem na Ω, czyli f ∈ A^{2}(Ω). Ponadto f_{2} zbiega do f = g p.w. w normie L_{2}(Ω), czyli w normie A^{2}(Ω).

2.2 Twierdzenia o rzucie ortogonalnym i o postaci funkcjonału

Lemat 2.10. Założmy, że A jest wypukłym domkniętym podzbiorem przestrzeni Hilberta H. Wówczas w A istnieje dokładnie jeden element o najmniejszej normie, tzn. takie x_{0} ∈ A, że |x_{0}| = inf{|x|: x ∈ A}.

Dowód. Niech d := inf{|x|: x ∈ A}

Najpierw wykażemy istnienie x_{0} ∈ A z |x_{0}| = d. Niech x_{n} ∈ A będzie ciągiem takim, że |x_{n}| dązy do d. Tożsamość równoległoboku implikuje, że

| \frac{x_{n} − x_{m}}{2} |^{2} + | \frac{x_{n} + x_{m}}{2} |^{2} = \frac{1}{2}(|x_{n}|^{2} + |x_{m}|^{2}).

Zauważmy, że (x_{n} + x_{m})/2 ∈ A (z wypukłości), zatem ∥(x_{n} + x_{m})/2∥ d. Stąd

∥x_{n}−x_{m}∥^{2} = 2(|x_{n}|^{2}+|x_{m}|^{2})−4| \frac{x_{n} + x_{m}}{2} |^{2} 2(|x_{n}|^{2}+|x_{m}|^{2})−4d^{2} → 0 przy n, m → ∞,

czyli (x_{n}) jest ciągiem Cauchy’ego i z zupełności x_{n} jest zbieżny do pewnego x_{0}. Z domkniętości A wynika, że x_{0} ∈ A, a z ciągłości normy, że |x_{0}| = d.

By wykazać jednoznacznośc załóżmy, że x_{0}, x_{1} ∈ A, |x_{0}| = |x_{1}| = d oraz x_{1} ≠ x_{0}. Wówczas (x_{0} + x_{1})/2 ∈ A oraz

| \frac{x_{0} + x_{1}}{2} |^{2} = \frac{1}{2}(|x_{0}|^{2} + |x_{1}|^{2}) − | \frac{x_{0} − x_{1}}{2} |^{2} < d^{2},

co przeczy definicji d.

Wniosek 2.11. Załóżmy, że M jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta H oraz x ∈ H. Wówczas istnieje dokładnie jeden element y ∈ M taki, że

|x − y| = dist(x, M) := inf_{z∈M} |x − z|.

Dowód. Stosujemy poprzedni lemat do wypukłego domkniętego zbioru x − M = {x − y: y ∈ M}.

Definicja 2.12. Mówimy, że dwa wektory x, y z przestrzeni unitarnej H są prostopadłe (ortogonalne), jeśli ⟨x, y⟩ = 0. Dla A ⊂ H definiujemy uzupełnienie ortogonalne A

A^{⊥} := {x ∈ H: ⟨x, y⟩ = 0 dla wszystkich y ∈ A}.

Uwaga 2.13. Dla dowolnego A ⊂ H zbiór A^{⊥} jest domkniętą podprzestrzenią H.

Twierdzenie 2.14. Załóżmy, że M jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta H. Wówczas dla dowolnego x ∈ H istnieją wektory y ∈ M, z ∈ M^{⊥} takie, że x = y + z. Co więcej taki rozkład jest jednoznaczny.

Definicja 2.15. Jeśli x = y + z, y ∈ M, z ∈ M^{⊥} , to y nazywamy rzutem ortogonalnym x na M i oznaczamy y = P_{M}x.

Uwaga 2.16. Symbolicznie zapisujemy powyższe twierdzenie w postaci H = M ⊕ M^{⊥} . Zauważmy też, że |x + y|^{2} = |x|^{2} + |y|^{2} dla x ∈ M, y ∈ M^{⊥} .

Dowód. By wykazać istnienie rozkładu zdefiniujmy y ∈ M jako |x − y| = dist(x, M), zaś z = x − y. Weźmy dowolne w ∈ M, musimy wykazać, że z i w są ortogonalne. Zauważmy, że dla dowolnego t ∈ 𝔽, y + tw ∈ M, więc

dist(x, M)^{2} |x − (y + tw)|^{2} = |x − y|^{2} + |t|^{2}|w|^{2} − 2Re(⟨z, tw⟩).

Zatem dla dowolnego t ∈ 𝔽 mamy 2Re(⟨z, tw⟩) t^{2}|w|^{2}, skąd łatwo otrzymujemy, że ⟨t, w⟩ = 0.

Załóżmy, że istnieją dwa rozkłady x = y_{1}+z_{1} = y_{2}−z_{2}, wówczas y_{1}−y_{2} ∈ M, z_{1}−z_{2} ∈ M^{⊥} , ale y_{1}−y_{2} = z_{2}−z_{1}, więc |y_{1}−y_{2}|^{2} = ⟨y_{1}−y_{2}, z_{2}−z_{1}⟩ = 0, czyli y_{1} = y_{2}, z_{1} = z_{2} i rozkład jest jednoznaczny.

Wniosek 2.17. Dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni M przestrzeni Hilberta zachodzi (M^{⊥} )^{⊥} = M.

Dowód. Oczywiście M ⊂ (M^{⊥} )^{⊥} . By wykazać przeciwne zawieranie załóżmy, że x ∈ (M^{⊥} )^{⊥} , wówczas x = y + z, y ∈ M, z ∈ M^{⊥} oraz 0 = ⟨z, x⟩ = ⟨z, y⟩ + ⟨z, z⟩ = |z|^{2}, czyli z ∈ M.

Fakt 2.18. Dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni M przestrzeni Hilberta H, P_{M} jest rzutem ortogonalnym, tzn. P_{M} : H → M jest takim ciągłym przekształceniem liniowym, że P_{M}^{2} = P_{M} oraz ⟨P_{M}x, y⟩ = ⟨x, P_{M}y⟩ dla x, y ∈ H.

Dowód. Liniowość wynika stąd, że jeśli x_{1} = y_{1} + z_{1}, x_{2} = y_{2} + z_{2} z y_{k} ∈ M, z_{k} ∈ M^{⊥} , to λ_{1}x_{1}+λ_{2}x_{2} = (λ_{1}y_{1}+λ_{2}y_{2})+(λ_{1}z_{1}+λ_{2}z_{2}) oraz λ_{1}y_{1}+λ_{2}y_{2} ∈ M, λ_{1}z_{1} + λ_{2}z_{2} ∈ M^{⊥} .

Jeśli P_{M}x = y, to y ∈ M, zatem P_{M}y = y, czyli P_{M}^{2}x = y = P_{M}x. Wreszcie, biorąc x = x_{1} + x_{2}, y = y_{1} + y_{2}, x_{1}, x_{2} ∈ M, y_{1}, y_{2} ∈ M^{⊥} mamy

⟨P_{M}x, y⟩ = ⟨x_{1}, y_{1} + y_{2}⟩ = ⟨x_{1}, y_{1}⟩ = ⟨x_{1} + x_{2}, y_{1}⟩ = ⟨x, P_{M}y⟩.

Przykład. Niech H = L_{2}[0, 1] oraz M = {f ∈ L_{2}[0, 1]: f𝟙_{[0,1/2]} = 0 p.w.}. Wówczas M^{⊥} = {f ∈ L_{2}[0, 1]: f𝟙_{[1/2,1]} = 0 p.w.} oraz P_{M}f = f𝟙_{[1/2,1]}.

Twierdzenie 2.19 (Riesz). Załóżmy, że φ jest ciągłym liniowym funkcjonałem na przestrzeni Hilberta H. Wówczas istnieje dokładnie jeden wektor y ∈ H taki, że φ(x) = ⟨x, y⟩, ponadto ∥φ∥ = |y|.

Dowód. Jeśli φ = 0, to możemy oczywiście położyć y = 0. W przeciwnym przypadku M = Ker(φ) jest domkniętą podprzestrzenią H oraz M ≠ H, zatem M^{⊥} zawiera pewien niezerowy wektor z. Zauważmy, że φ(xφ(z) − zφ(x)) = φ(x)φ(z) − φ(x)φ(z) = 0, czyli xφ(z) − zφ(x) ∈ M, stąd

0 = ⟨xφ(z) − zφ(x), z⟩ = ⟨x, z⟩φ(z) − φ(x)|z|^{2}

i kładąc y := z\overline{φ}(z)/|z|^{2} otrzymujemy φ(x) = ⟨x, y⟩.

By udowodnić jednoznaczność załóżmy, że φ(x) = ⟨x, y′⟩ dla x ∈ H. Wtedy ⟨x, y − y′⟩ = 0 dla wszystkich x ∈ H, więc |y − y′|^{2} = 0, czyli y = y′.

By zakończyć dowód zauważmy, że na podstawie nierówności Schwarza,

∥φ∥ = sup_{|x| 1} |φ(x)| = sup_{|x| 1} |⟨x, y⟩| sup_{|x| 1} |x||y| = |y|,

ponadto biorąc x = y/|y| widzimy, że ∥φ∥ |y|.

2.3 Twierdzenie Radona-Nikodyma

Definicja 2.20. Rozważmy dwie miary μ, ν na (X, F). Mówimy, że

i) ν jest absolutnie ciągła względem μ (ozn. ν ≪ μ), jeśli dla każdego A ∈ F μ(A) = 0 implikuje ν(A) = 0, ii) funkcja mierzalna f na X jest gęstością ν względem μ (ozn. f = \frac{dν}{dμ}), jeśli dla wszystkich A ∈ F, ν(A) = ∫_{A} fdμ, iii) μ i ν są wzajemnie osobliwe (ozn. μ ⊥ ν), jeśli istnieje A ∈ F taki, że μ(A) = 0 oraz ν(X \ A) = 0.

Uwaga 2.21. Jeśli istnieje gęstość f = \frac{dν}{dμ}, to oczywiście ν ≪ μ. Ponadto wówczas dla dowolnej nieujemnej funkcji mierzalnej g na X, ∫ gdν = ∫ fgdμ.

Przykład. Niech μ będzie miarą Lebesgue’a na ℝ, zaś ν miarą liczącą skupioną na liczbach naturalnych, tzn ν = ∑ _{n 0} δ_{n}. Wówczas biorąc za E liczby naturalne widzimy, że miary μ i ν są wzajemnie osobliwe.

Okazuje się, że (przy minimalnych technicznych założeniach) każdą miarę można rozłożyć na część absolutnie ciągłą i osobliwą. Ponadto absolutna ciągłość implikuje istnienie gęstości. By dokładnie sformułować wynik (zwany Twierdzeniem Lebesgue’a-Radona-Nikodyma) potrzebujemy jeszcze jednej definicji.

Definicja 2.22. Miarę μ na (X, F) nazywamy σ-skończoną, jeśli istnieje ciąg zbiorów A_{n} ∈ F taki, że ⋃ _{n 1} A_{n} = X i μ(A_{n}) < ∞ dla wszystkich n.

Twierdzenie 2.23 (Lebesgue-Radon-Nikodym). Założmy, że μ i ν są dwiema σ-skończonymi miarami na (X, F). Wówczas ν = ν_{a} + ν_{o}, gdzie ν_{a} ≪ μ oraz ν_{0} ⊥ μ, co więcej rozkład tej postaci jest jednoznaczny. Ponadto miara ν_{a} ma gęstość względem μ.

Dowód. Zacznijmy od przypadku miar skończonych μ, ν. Niech ρ := μ+ν, na przestrzeni Hilberta (nad ciałem liczb rzeczywistych) L_{2}(X, ρ) zdefiniujmy funkcjonał φ wzorem φ(f) = ∫_{X} fdν. Wówczas

|φ(f)| ∫_{X} |f|dν ( ∫_{X} dν)^{1/2}( ∫_{X} |f|^{2}dν)^{1/2} ν(X)^{1/2}|f|_{L_{2}(ρ)},

zatem φ jest dobrze określony i ciągły na L_{2}(ρ). Na mocy twierdzenia Riesza istnieje g ∈ L_{2}(ρ) takie, że

∫_{X} fdν = φ(f) = ⟨f, g⟩ = ∫_{X} fgdρ dla f ∈ L_{2}(ρ).  (8)

Wykażemy najpierw, że 0 g 1 ρ-p.w.. Podstawiając w (8) f = 𝟙_{A} dla A = {x: g(x) > 1} dostajemy

ν(A) = ∫_{X} 𝟙_{A}dν = ∫_{X} 𝟙_{A}gdρ ∫_{X} 𝟙_{A}dρ = ρ(A) ν(A),

zatem wszędzie muszą zachodzić równości, skąd ρ(A) = 0. Podobnie, dla A = {x: g(x) < 0} otrzymujemy

ν(A) = ∫_{X} 𝟙_{A}dν = ∫_{X} 𝟙_{A}gdρ 0,

więc ρ(A) = 0, gdyż w przeciwnym razie ostatnia nierówność byłaby ostra.

Zauważmy, że ∫_{X} fgdρ = ∫_{X} fgdμ + ∫_{X} fgdν, więc (8) możemy równoważnie zapisać jako

∫_{X} f(1 − g)dν ∫_{X} fgdμ dla f ∈ L_{2}(ρ).  (9)

Niech E := {x: g(x) = 1} i ν_{0} będzie miarą ν obciętą do zbioru E, tzn. ν_{0}(A) := ν(A ∩ E). Wówczas ν_{0}(X \ E) = 0 oraz na mocy (9)

μ(E) = ∫_{X} 𝟙_{E}gdμ = ∫_{X} 𝟙_{E}(1 − g)dν = 0,

czyli ν_{0} ⊥ μ. Niech ν_{a} := ν − ν_{0}, wtedy dla dowolnego A ∈ F,

ν_{a}(A) = ν(A ∩ (X \ E)) = ∫_{X} 𝟙_{A∩(X\E)} dν = ∫_{X} \frac{1}{1 − g} 𝟙_{A∩(X\E)} (1 − g)dν.

Funkcja nieujemna \frac{1}{1−g} 𝟙_{A∩(X\E)} nie musi należeć do L_{2}(ρ), ale da się monotonicznie aproksymować przez funkcje nieujemne ograniczone, więc na mocy (9) i twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej otrzymujemy

ν_{a}(A) = ∫_{X} \frac{1}{1 − g} 𝟙_{A∩(X\E)} gdμ = ∫_{A} \frac{g}{1 − g} 𝟙_{X\E} dμ,

co pokazuje, że ν_{a} ≪ μ oraz \frac{dν_{a}}{dμ} = \frac{g}{1−g} 𝟙_{\{g≠1\}} .

Jeśli μ i ν są σ-skończone, to istnieją takie zbiory rozłączne A_{n} ∈ F, że μ(A_{n}), ν(A_{n}) < ∞ oraz X = ⋃ _{n 1} A_{n}. Rozpatrując μ_{n} i ν_{n} obcięcia miar μ i ν do A_{n} dostajemy rozkłady ν_{n} = ν_{n,a} + ν_{n,o} i wystarczy położyć ν_{a} = ∑ _{n} ν_{n,a}, ν_{o} = ∑ _{n} ν_{n,o} oraz zauważyć, że \frac{dν_{a}}{dμ} = ∑ _{n} \frac{dν_{a,n}}{dμ_{n}} 𝟙_{A_{n}}.

Pozostaje wykazać jednoznaczność rozkładu. Załóżmy w tym celu, że istnieją dwa rozkłady ν = ν̃_{a} + ν̃_{o} = ν_{a} + ν_{o}, ν_{o}(X \ E) = ν_{o}(X \ Ẽ) = 0, μ(E) = μ(Ẽ) = 0. Połóżmy F = E ∪ Ẽ, wtedy dla dowolnego a ∈ F,

ν_{a}(A)−ν̃_{a}(A) = ν̃_{o}(A)−ν_{o}(A) = ν̃_{o}(A∩F)−ν_{o}(A∩F) = ν_{a}(A∩F)−ν̃_{a}(A∩F) = 0,

gdzie ostatnia równość wynika z warunku μ(F) = 0 oraz absolutnej ciągłości miar ν_{a} i ν̃_{a}.

Przykład. Założenie σ-skończoności jest istotne. Rozważmy mianowicie X = [0, 1], F = B([0, 1]), ν miarę Lebesgue’a oraz μ miarę liczącą. Wówczas łatwo sprawdzić, że ν ≪ μ, ale nie istnieje gęstość \frac{dν}{dμ}.

Absolutna ciągłość ma też sens, gdy miara dominowana jest miarą miarą zespoloną.

Definicja 2.24. Założmy, że ν jest miarą zespoloną (miarą ze znakiem), a μ miarą na (X, F). Mówimy, że ν jest absolutnie ciągła względem μ (ozn. ν ≪ μ), jeśli dla każdego A ∈ F takiego, że μ(A) = 0 zachodzi ν(A) = 0.

Uwaga 2.25. Łatwo sprawdzić, że ν ≪ μ wtedy i tylko wtedy, gdy |ν| ≪ μ.

Twierdzenie 2.26. Załóżmy, że ν jest miarą zespoloną, a μ miarą σskończoną na (X, F). Wówczas ν jest absolutnie ciągła względem μ wtedy i tylko wtedy, gdy miara ν ma gęstość względem μ, tzn. istnieje funkcja f ∈ L_{1}(μ) taka, że ν(A) = ∫_{A} fdμ dla A ∈ F.

Dowód. Oczywiście istnienie gęstości implikuje absolutną ciągłość, więc pozostaje udowodnić przeciwną implikację. Zauważmy, że miary Re(ν), Im(ν) ≪ μ, zatem wystarczy rozpatrzeć przypadek miar ze znakiem. Ale wtedy ν = ν_{+} − ν_{−} , gdzie ν_{±} = \frac{1}{2}(|ν| ± ν) ≪ μ. Do miar ν_{±} i μ możemy zastosować Twierdzenie 2.23 i otrzymać gęstośći f_{±} = \frac{dν_{±}}{dμ} i wystarczy położyć f = f_{+} − f_{−} . Zauważmy, że ∫_{X} |f|dμ ∫_{X} f_{+} dμ + ∫_{X} f_{−} dμ = ν_{+} (X) + ν_{−} (X) = |ν|(X) < ∞, zatem f ∈ L_{1}(μ).

Wniosek 2.27. Dla miary zespolonej ν na (X, F) istnieje funkcja mierzalna f na X taka, że |f| = 1 |ν|-p.w. oraz ν(A) = ∫_{A} fd|ν| dla A ∈ F.

Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

2.4 Układy i bazy ortonormalne

Zacznijmy od definicji. Przypomnijmy, że δ_{x,y} = 𝟙_{{x≠y}} .

Definicja 2.28. Rodzinę wektorów (u_{α})_{α∈A} nazywamy

i) układem ortogonalnym, jeśli ⟨u_{α}, u_{β}⟩ = 0 dla α, β ∈ A, α ≠ β; ii)układem ortonormalnym, jeśli ⟨u_{α}, u_{β}⟩ = δ_{α,β} dla α, β ∈ A.

Fakt 2.29. Załóżmy, że u_{1}, …, u_{n} jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta H oraz M = Lin(u_{1}, …, u_{n}). Wówczas M jest domknietą podprzestrzenią H, dla każdego x ∈ M mamy |x|^{2} = ∑ _{k=1}^{n} |⟨x, u_{k}⟩|^{2}, ponadto rzut ortogonalny na M ma postać P_{M}x = ∑ _{k=1}^{n} ⟨x, u_{k}⟩u_{k}.

Dowód. Weźmy x ∈ M, wówczas x = ∑ _{k=1}^{n} a_{k}u_{k} dla pewnych a_{1}, …, a_{n} ∈ 𝔽. Zauważmy, że ⟨x, u_{j}⟩ = ∑ _{k=1}^{n} a_{k}⟨u_{k}, u_{j}⟩ = a_{j} oraz

|x|^{2} = ∑_{k,l=1}^{n} a_{k}\overline{a_{l}}⟨u_{k}, u_{l}⟩ = ∑_{k=1}^{n} |a_{k}|^{2} = ∑_{k=1}^{n} |⟨x, u_{k}⟩|^{2}.

Zatem przekształcenie x → (⟨x, u_{k}⟩)_{k n} zadaje izometrię z M w 𝔽^{n} z normą euklidesową, czyli M jest zupełne, a więc domknięte. Wreszcie jeśli x ∈ H oraz P_{M}x = ∑ _{k=1}^{n} a_{k}u_{k}, to ⟨P_{M}x, u_{j}⟩ = a_{j}, więc P_{M}x = ∑ _{k=1}^{n} ⟨x, u_{k}⟩u_{k}.

Wniosek 2.30 (Nierówność Bessela). Dla dowolnego układu ortonormalnego (u_{α})_{α∈A} i wektora x zachodzi

∑_{α∈A} |⟨x, u_{α}⟩|^{2} |x|^{2}.

Uwaga 2.31. Pisząc ∑ _{α∈A} c_{α} < ∞, gdzie (c_{α})_{α∈A} jest pewną rodziną liczb nieujemnych mamy na myśli to, że jedynie przeliczalnie wiele spośród liczb c_{α} jest niezerowych oraz suma (teraz już co najwyżej przeliczalna) tych liczb jest skończona - dla szeregów liczb dodatnich kolejność sumowania nie gra roli. Jeśli (a_{α})_{α∈A} jest rodziną liczb zespolonych taką, że ∑ _{α} |a_{α}| < ∞, to dobrze określona jest suma ∑ _{α∈A} a_{α} (gdyż można się ograniczyć do przeliczalnej podrodziny liczb niezerowych, a suma szeregu bezwględnie zbieżnego nie zależy od kolejności sumowania).

Dowód nierówności Bessela. Niech B ⊂ A będzie skończonym podzbiorem A oraz M będzie podprzestrzenią rozpiętą przez (u_{k})_{k∈B} . Wówczas, na mocy Faktu 2.29, ∑ _{k∈B} |⟨x, u_{α}⟩|^{2} = |P_{M}x|^{2} |x|^{2}. Stąd wynika, że co najwyżej |x|^{2}/ε z pośród liczb (|⟨x, u_{α}⟩|^{2})_{α∈A} jest większych od ε > 0, a więc tylko przeliczalnie wiele spośród tych liczb jest niezerowych. Stąd

∑_{α∈A} |⟨x, u_{α}⟩|^{2} = sup{ ∑_{α∈B} |⟨x, u_{α}⟩|^{2}: B ⊂ A, B skończone} |x|^{2}.

Definicja 2.32. Mówimy, że rodzina wektorów (u_{α})_{α∈A} jest liniowo gęsta w przestrzeni unormowanej X, jeśli przestrzeń liniowa generowana przez te wektory jest gęsta w X.

Twierdzenie 2.33. Załóżmy, że (u_{α})_{α∈A} jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta H. Wówczas następujące warunki są równoważne

i) (u_{α})_{α∈A} jest zupełny (maksymalny), tzn. nie istnieje niezerowy wektor v ortogonalny do wszystkich wektorów u_{α}; ii) (u_{α})_{α∈A} jest liniowo gęsty w H; iii) dla każdego x ∈ H zachodzi |x|^{2} = ∑ _{α∈A} |⟨x, u_{α}⟩|^{2}.

Dowód. i)⇒ ii). Niech M = \overline{Lin(u_{α} : α ∈ A)} . Wówczas M jest domkniętą podprzestrzenią H oraz M^{⊥} = {0} zatem M = H.

ii)⇒ iii). Wiemy już, że ∑ _{α∈A} |⟨x, u_{α}⟩|^{2} |x|^{2}. Wystarczy wykazać przeciwne oszacowanie. Ustalmy ε > 0, z liniowej gęstości rodziny (u_{α})_{α}, istnieje B ⊂ A skończony oraz wektor v ∈ M := Lin(u_{α} : α ∈ B) taki, że |x−v| ε. Stąd

|x|^{2} = |P_{M}x|^{2} + |x − P_{M}x|^{2} |P_{M}x|^{2} + |x − v|^{2} |P_{M}x|^{2} + ε^{2}

= ∑_{α∈B} |⟨x, u_{α}⟩|^{2} + ε^{2} ∑_{α∈A} |⟨x, u_{α}⟩|^{2} + ε^{2},

z dowolności ε > 0 wynika nierówność ∑ _{α∈A} |⟨x, u_{α}⟩|^{2} |x|^{2}.

iii)⇒ i) Jeśli v jest prostopadły do wszystkich u_{α}, to |v|^{2} = ∑ _{α∈A} |⟨v, u_{α}⟩|^{2} = 0, zatem v = 0.

Definicja 2.34. Rodzinę wektorów (u_{α})_{α∈A} spełniającą warunki poprzedniego twierdzenia nazywamy bazą ortonormalną H.

Twierdzenie 2.35. Każda układ ortonormalny w przestrzeni Hilberta moższa rozszerzyć do bazy ortonormalnej. W szczególności każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortonormalną.

Dowód. Z lematu Kuratowskiego-Zorna łatwo wynika, że wyjściowy układ wektorów da się rozszerzyć do maksymalnego układu ortonormalnego w H. Na mocy Twierdzenia 2.33 taki układ jest bazą ortonormalną.

Twierdzenie 2.36. Załóżmy, że (u_{α})_{α∈A} jest bazą ortonormalną przestrzeni Hilberta H. Wówczas

i) przekształcenie T dane wzorem T x = (⟨x, u_{α}⟩)_{α∈A} jest liniową izometrią H na l_{2}(A); ii) dla dowolnych x, y ∈ H zachodzi następująca tożsamość Parsevala

⟨x, y⟩ = ∑_{α∈A} ⟨x, u_{α} \overline{⟩⟨y, u_{α}⟩}.

Dowód. i) Na mocy Twierdzenia 2.33, T jest izometrią w l_{2}(A), oczywiście jest liniowe, trzeba pokazać, że jest �na”. Ustalmy wektor a = (a_{α}) ∈ l_{2}(A), określmy

A_{n} := {α ∈ A: |a_{α}| 1/n}, x_{n} := ∑_{α∈A_{n}} a_{α}u_{α}.

Zauważmy, że \frac{1}{n^{2}} #A_{n} ∑ _{α∈A} |a_{α}|^{2} < ∞, więc x_{n} jest dobrze określony. Ponadto dla m > n,

|x_{m} − x_{n}|^{2} = ∑_{α∈A_{m} \A_{n}} |a_{α}|^{2} ∑_{α∈A} |a_{α}|^{2}𝟙_{{|a_{α} |<1/n}} → 0 przy n → ∞,

(na mocy np. twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej), zatem (x_{n}) jest ciągiem Cauchy’ego i z zupełności H, x_{n} zbiega do pewnego x. Mamy wtedy dla α ∈ A,

⟨x, u_{α}⟩ = lim_{n→∞} ⟨x_{n}, u_{α}⟩ = a_{α},

czyli T x = a.

ii) Zauważmy, że

Re(⟨x, y⟩)= \frac{1}{4}(|x + y|^{2} − |x − y|^{2}) = \frac{1}{4}( ∑_{α∈A} |⟨x + y, u_{α}⟩|^{2} − ∑_{α∈A} |⟨x − y, u_{α}⟩|^{2})

= ∑_{α∈A} \frac{1}{4}(|⟨x, u_{α}⟩ + ⟨y, u_{α}⟩|^{2} − |⟨x, u_{α}⟩ − ⟨y, u_{α}⟩|^{2})

= ∑_{α∈A} Re(⟨x, u_{α}⟩\overline{⟨y, u_{α}⟩}) = Re( ∑_{α∈A} ⟨x, u_{α}⟩\overline{⟨y, u_{α}⟩})

oraz

Im(⟨x, y⟩) = −Re(⟨ix, y⟩) = −Re( ∑_{α∈A} ⟨ix, u_{α}⟩\overline{⟨y, u_{α}⟩}) = Im( ∑_{α∈A} ⟨x, u_{α}⟩\overline{⟨y, u_{α}⟩}).

Uwaga 2.37. Dla układu ortonormalnego (u_{α})_{α∈A} oraz liczb (a_{α}) takich, że ∑ _{α} |a_{α}|^{2} < ∞ można określić v = ∑ _{α} a_{α}u_{α}, tzn. taki wektor v ∈ M = \overline{Lin(u_{α} : α ∈ A)} , że ⟨v, u_{α}⟩ = a_{α} dla α ∈ A. Istotnie (u_{α})_{α∈A} jest bazą M i możemy skorzystać z części i) Twierdzenia 2.36.

Zanim sformułujemy kolejny wniosek, ustalmy konwencje, że zbiory skończone uważamy za przeliczalne.

Wniosek 2.38. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortonormalną.

Dowód. Niech (u_{α})_{α∈A} będzie bazą o.n. H. Zauważmy, że |u_{α}−u_{β}| = \sqrt{2}δ_{α,β} , co dowodzi nieośrodkowości H dla A nieprzeliczalnych.

Na mocy Twierdzenia 2.36, przestrzeń H jest izometryczna z l_{2}(A), czyli w przypadku przeliczalnym z l_{2}^{n} lub l_{2}. Te przestrzenie zaś są ośrodkowe (za ośrodek można wybrać np. ciągi o wyrazach wymiernych, o skończonym nośniku).

2.5 Przykłady baz ortonormalnych

By wykazywać liniową gęstość układów ortonormalnych, a co za tym idzie ich zupełność, wygodnie jest wiedzieć, że funkcje ciągłe są gęste w L_{2}. Sformułujemy nieco ogólniejszy fakt.

Twierdzenie 2.39. Załóżmy, że Ω jest otwartym podzbiorem ℝ^{n}, zaś μ miarą borelowską na Ω taką, że μ(K) < ∞, gdy K jest zwartym podzbiorem Ω. Wówczas funkcje ciągłe na Ω o nośniku zwartym są gęste L_{p}(Ω, μ) dla dowolnego 1 p < ∞.

Dowód Twierdzenia 2.39. Funkcje proste postaci ∑ _{k=1}^{n} a_{k}𝟙_{A_{k}} są gęste w L_{p}(μ), więc wystarczy, że udowodnimy, że każdą funkcję 𝟙_{A}, A ∈ B(Ω), μ(A) < ∞ da się aproksymować w L_{p} przez funkcje ciągłe o nośniku zwartym. Ustalmy takie A i ε > 0, wówczas możemy zanaleźć zbiór zwarty K i otwarty G K ⊂ A ⊂ G taki, że μ(G\K) < ε. Istnieje funkcja ciągła o nośniku zwartym f i wartościach w [0, 1] taka, że f = 1 na K oraz f = 0 poza zbiorem G. Mamy |f − 𝟙_{A}| |𝟙_{G} − 𝟙_{K}|, zatem ∥f − 𝟙_{A}∥_{p} ∥𝟙_{G} − 𝟙_{K}∥_{p} ε^{1/p}, z dowolności ε > 0 wynika gęstość funkcji ciągłych o nośniku zwartym.

Uwaga 2.40. Twierdzenie jest prawdziwe dla szerszej klasy miar na przestrzeniach topologicznych - zob. np. Twierdzenie 3.14 w [3].

Wniosek 2.41. Jeśli Ω i μ są jak w Twierdzeniu 2.39, to funkcje C_{zw}^{∞} są gęste w L_{p}(μ).

Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

2.5.1 Układ trygonometryczny

Fakt 2.42. Rodzina funkcji (\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{int})_{n=−∞}^{∞} tworzy bazę ortonormalną przestrzeni L_{2}[0, 2π].

Dowód. Ortonormalność wynika stąd, że

⟨ \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{int}, \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{imt}⟩ = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{i(n−m)t} dt = δ_{n,m} .

By wykazać zupełność zauważmy najpierw, że L_{2}[0, 2π] możemy utożsamiać z L_{2}(0, 2π), a w tej przestrzeni funkcje ciągłe o nośniku zwartym zawartym w (0, 2π) są, na mocy Twierdzenia 2.39, gęste. Każdą taką funkcję możemy przedłużyć do funkcji ciągłej 2π-okresowej i z twierdzenia Weierstrassa znaleźć ciąg wielomianów trygonometrycznych (czyli kombinacji liniowych funkcji e^{int}, n ∈ ℤ) zbieżny do niej jednostajnie. Zbieżność jednostajna na [0, 2π] implikuje zaś zbieżność w L_{2}[0, 2π].

Uwaga 2.43. i) Przeskalowanie pokazuje, że funkcje (\frac{1}{\sqrt{b−a}} e^{in2πt/(b−a)} )_{n∈ℤ} tworzą bazę ortonormalną L_{2}[a, b] dla a < b. ii) Podobnie jak w Fakcie 2.42 wykazujemy, że rodzina funkcji (\frac{1}{(2π)^{n/2}} e^{i⟨n,t⟩})_{n∈ℤ^{n}} jest bazą L_{2}([0, 2π]^{n}). iii) Układ (f_{n}) jak wyżej nazywamy układem trygonometrycznym, a liczby (⟨g, f_{n}⟩) współczynnikami Fouriera funkcji g.

Wniosek 2.44. Mamy ∑ _{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

Dowód. Rozpatrzmy funkcję f(t) = t w przestrzeni H = L_{2}[−π, π]. Funkcje e_{n}(t) = (2π)^{−1/2} e^{int}, n ∈ ℤ tworzą bazę ortogonalną H, mamy ⟨f, e_{0}⟩ = 0 oraz całkując przez części dostajemy, że dla n ≠ 0,

\sqrt{2π}⟨f, e_{n}⟩ = ∫_{−π}^{π} te^{−int} dt = −\frac{t}{in} e^{−int} |_{t=−π}^{π} + \frac{1}{in} ∫_{−π}^{π} e^{int}dt = (−1)^{n}2π \frac{i}{n}.

Zatem

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{4π} ∑_{n∈ℤ} |⟨f, e_{n}⟩|^{2} = \frac{1}{4π} |f|^{2} = \frac{1}{4π} ∫_{−π}^{π} t^{2}dt = \frac{π^{2}}{6} .

2.5.2 Układ Haara

Definicja 2.45. Określmy H(x) = 𝟙_{[0,1/2)} − 𝟙_{[1/2,1)} oraz dla n, k ∈ ℤ,

h_{n,k} = 2^{n/2}h(2^{n}t − k) = 2^{n/2}𝟙_{[k2^{−n} ,(2k+1)2^{−n−1} )} − 𝟙_{[(2k+1)2^{−n−1} ,(k+1)2^{−n} )} .

Rodzinę (h_{n,k})_{n,k∈ℤ} nazywamy układem Haara.

Zauważmy, że

∫_{ℝ} h_{n,k}dx = 0, ∫_{ℝ} h_{n,k}h_{m,l}dx = δ_{(n,k),(m,l)} .  (10)

Pierwsza równość jest oczywista. By udowodnić drugą, wystarczy zauważyć, że jeśli n = m i k ≠ l, to funkcje h_{n,k} i h_{m,l} mają rozłączne nośniki, a jeśli n < m to funkcja h_{n,k} jest stała na nośniku h_{m,l}.

Zanim przejdziemy do przypadku prostej rzeczywistej, zdefiniujmy układ Haara na [0, 1].

Definicja 2.46. Niech h_{0}(t) = 𝟙_{[0,1]}, wówczas rodzinę złożoną z h_{0} oraz funkcji (h_{n,k})_{n 0,0 k 2^{n} −1} nazywamy układem Haara na [0, 1].

Uwaga 2.47. Czasem wygodnie jest przenumerować układ Haara na [0, 1] kładąc h_{m} = h_{n,k} dla m = 2^{n} + k, 0 k 2^{n} − 1.

Fakt 2.48. Układ Haara na [0, 1] jest bazą ortonormalną L_{2}([0, 1]).

Dowód. Ortonormalność wynika z (10). By wykazać liniową gęstość określmy dla n = 1, 2, … następujące podprzestrzenie L_{2}([0, 1]):

X_{n} := Lin(h_{0}, h_{m,k} : m n − 1, 0 k 2^{m} − 1),
Y_{n}:= Lin(𝟙_{[k2^{−n} ,(k+1)2^{−n} )} : 0 k 2^{n} − 1).

Wówczas X_{n} ⊂ Y_{n} oraz dim(X_{n}) = 2^{n} = dim(Y_{n}), zatem X_{n} = Y_{n}. Ponieważ każdą funkcję ciągłą na [0, 1] można aproksymować w normie L_{2}[0, 1] przez funkcje diadyczne (tzn. należące do pewnego Y_{n}) oraz funkcje ciągłe są gęste w L_{2}, więc układ Haara jest liniowo gęsty.

Fakt 2.49. Układ Haara w ℝ, (h_{n,k})_{n,k∈ℤ} jest bazą ortonormalną L_{2}(ℝ).

Dowód. Ortonormalność wynika z (10). By wykazać liniową gęstość musimy pokazać, że \overline{X} = L_{2}(ℝ), gdzie X = Lin(h_{n,k} : n, k ∈ ℤ).

Zauważmy najpierw, że z udowodnionej poprzednio zupełności układu Haara na [0, 1] wynika, że jeśli f jest całkowalna z kwadratem i ma nośnik zawarty w [0, 1], to f = ∫_{0}^{1} fdt𝟙_{[0,1]} + ∑ _{n 0} ∑ _{0 k 2^{n} −1} ⟨f, h_{n,k}⟩h_{n,k} (zbieżność szeregu w normie L_{2}). Przeskalowując tą równość pokazujemy, że jeśli f ∈ L_{2}(ℝ) ma nośnik zawarty w [0, 2^{m}], to

f = 2^{−m} ∫_{0}^{2^{m}} fdt𝟙_{[0,2^{m} ]}+ ∑_{n −m} ∑_{0 k 2^{m+n} −1} ⟨f, h_{n,k}⟩h_{n,k}.

Załóżmy teraz, że f ∈ L_{2} ma nośnik zawarty w [0, M], wówczas dla 2^{m} > M dostajemy

f − 2^{−m} ∫_{0}^{2^{m}} fdt𝟙_{[0,2^{m} ]} ∈ \overline{Lin(h_{n,k} : n −m, 0 k 2^{m+n} − 1)} ⊂ \overline{X}.

Zauważmy jednak, że ∥2^{−m} ∫_{0}^{2^{m}} fdt𝟙_{[0,2^{m} ]}∥_{2} = 2^{−m/2} | ∫_{0}^{M} fdt| → 0 przy m → ∞, zatem f ∈ \overline{X}.

Ponieważ f = f𝟙_{[0,∞)} − f𝟙_{(−∞,0)} , więc \overline{X} zawiera wszystkie funkcje z L_{2}(ℝ) o nośniku zwartym, a że takie funkcje są gęste w L_{2}, to układ Haara jest liniowo gęsty w L_{2}(ℝ).

Uwaga 2.50. Układ Haara na ℝ to przykład rodziny falek. Jeśli ψ jest funkcją na ℝ taką, że układ ψ_{n,k} := 2^{n/2}ψ(2^{n}t − k), n, k ∈ ℤ jest bazą ortonormalną L_{2}[0, 1], to ψ nazywamy falkową funkcją macierzystą, a (ψ_{n,k}) układem falek. Można udowodnić, że istnieje falkowa funkcja macierzysta ciągła o nośniku zwartym. Falki mają wiele ciekawych własności i są bardzo użyteczne w zastosowaniach zob. np. [4].

2.5.3 Układ Walsha

Definicja 2.51. Dla n = 1, 2, … definiujemy funkcje Rademachera wzorem r_{n}(t) = sin(2^{n}πt), 0 t 1. Niech S oznacza rodzinę skończonych podzbiorów {1, 2, …}. Układ Walsha (w_{A})_{A∈S} określamy wzorem

w_{∅} ≡ 1, w_{A} = ∏_{n∈A} r_{n} dla A ∈ S, A ≠ ∅.

Uwaga 2.52. Funkcje Rademachera traktowane jako zmienne losowe na [0, 1] z miarą Lebesgue’a są niezależne, ponadto z prawdopodobieństwem 1/2 są równe 1 i −1.

Fakt 2.53. Układ Walsha jest bazą ortonormalną L_{2}[0, 1].

Dowód. Ponieważ r_{n}^{2} = 1 p.w., więc w_{A}w_{B} = w_{A△B} p.w., gdzie A△B oznacza różnicę symetryczną zbiorów A i B. Zauważmy, że wszystkie r_{m} dla m < n są stałe na odcinkach diadycznych postaci (k2^{1−n} , (k + 1)2^{1−n} ), natomiast całka z r_{n} po każdym z takich odcinków jest równa zero. Stąd

⟨w_{A}, w_{B}⟩ = ∫_{0}^{1} w_{A△B} (t)dt = 𝟙_{{A△B=∅}} = δ_{A,B},

czyli w_{A} jest układem ortonormalnym. By wykazać jego liniową gęstość zauważmy, że przestrzeń X_{n} = Lin(w_{A}: A ⊂ {1, 2, …, n}) zawiera się w przestrzeni Y_{n} funkcji stałych na odcinkach diadycznych (k2^{−n} , (k + 1)2^{−n} ), 0 k 2^{n} − 1. Z niezależności liniowej funckji w_{A} obie te przestrzenie mają wymiar 2^{n}, zatem się pokrywają. Każdą funkcję ciągłą na [0, 1] można aproksymować w L_{2} przez funkcje z pewnego Y_{n}, skąd wynika linowa gęstość układu Walsha w L_{2}[0, 1].

2.5.4 Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Wielomiany ortogonalne

Zacznijmy od przypomnienia procedury zwanej ortogonalizacją Grama-Schmidta. Załóżmy, że (v_{n})_{n=1}^{N} , N ∞ jest liniowo niezależnym ciągiem wektorów z przestrzeni unitarnej H. Definiujemy indukcyjnie wektory (u_{n})_{n=1}^{N} w następujący sposób:

u_{1} := v_{1}, u_{n} := v_{n} − ∑_{k=1}^{n−1} \frac{1}{|u_{k}|}⟨u_{k}, v_{n}⟩, n = 2, 3, . . ..

Nietrudno indukcyjnie wykazać, że (u_{n}) jest układem ortogonalnym (a (u_{n}/|u_{n}|) układem ortonormalnym) oraz Lin(u_{1}, …, u_{n}) = Lin(v_{1}, …, v_{n}) dla n N. W szczególności, jeśli (v_{n}) jest liniowo gęsty, to (u_{n}) też jest liniowo gęsty.

Jeśli teraz weżmiemy przestrzeń H = L_{2}(X, μ), gdzie μ jest miarą borelowską na X ⊂ ℝ taką, że ∫_{X} t^{2n}dμ(t) < ∞ dla wszystkich n oraz μ nie jest skupiona na zbiorze skończonym, to ortogonalizując ciąg (1, t, t^{2}, …) otrzymamy układ ortogonalny wielomianów (w_{n})_{n 0} , gdzie w_{n} jest wielomianem stopnia n. W ten sposób (po odpowiednim znormalizowaniu) otrzymujemy klasyczne rodziny wielomianów ortogonalnych.

3 Twierdzenie Hahna-Banacha

Definicja 3.1. Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Funkcję p: X → ℝ nazywamy funkcjonałem Banacha, jeśli spełnia następujące dwa warunki:

i) p(x + y) p(x) + p(y) dla x, y ∈ X; ii) p(tx) = tp(x) dla x ∈ X, t > 0.

Lemat 3.2 (Lemat Banacha). Załóżmy, że X_{0} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X, p funkcjonałem Banacha na X, zaś f: X_{0} ↦ ℝ przekształceniem liniowym takim, że f(x) p(x) dla x ∈ X_{0}. Wówczas istnieje funkcjonał liniowy F: X ↦ ℝ będący przedłużeniem f taki, że F (x) p(x) dla x ∈ X.

Dowód. Niech Φ oznacza wszystkie przedłużenia funkcjonału f dominowane przez p, tzn. para (φ, X_{φ}) ∈ Φ, jeśli X_{φ} jest podprzestrzenią liniową X zawierającą X_{0}, φ: X_{φ} ↦ ℝ jest funkcjonałem liniowym, który na X_{0} pokrywa się z f oraz φ(x) p(x) dla x ∈ X_{φ}. Oczywiście (f, X_{0}) ∈ Φ.

Na Φ możemy zdefiniować porządek częśćiowy kładąc (φ_{1}, X_{φ_{1}} ) ≺ (φ_{2}, X_{φ_{2}} ), jeśli X_{φ_{1}} ⊂ X_{φ_{2}} oraz φ_{2}(x) = φ_{1}(x) dla x ∈ X_{φ_{1}} . Każdy łańcuch (φ_{i}, X_{φ_{i}} )_{i∈I} w Φ ma ograniczenie górne - wystarczy położyć X_{φ} = ⋃ _{i∈I} X_{φ_{i}} oraz φ(x) = φ_{i}(x) dla x ∈ X_{φ_{i}} . Zatem, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w Φ element maksymalny (φ_{m}, X_{φ_{m}} ). Wystarczy pokazać, że X_{φ_{m}} = X.

Założmy przeciwnie, że istnieje x_{0} ∈ X \ X_{φ_{m}} . Połóżmy

X_{1} = Lin(X_{φ_{m}} , x_{0}) = {z + λx_{0}: z ∈ X_{φ_{m}} , λ ∈ ℝ}.

oraz określmy φ_{1}: X_{1} ↦ ℝ wzorem

φ_{1}(z + λx_{0}) = φ_{m}(x) + λu, z ∈ X_{φ_{m}} , λ ∈ ℝ,

gdzie u ∈ [a, b] oraz

b := inf{p(z+x_{0})−φ_{m}(z): z ∈ X_{φ_{m}} }, a := sup{−p(z−x_{0})+φ_{m}(z): z ∈ X_{φ_{m}} }.

Zauważmy, że takie u można znaleźć, tzn. b a, gdyż dla z_{1}, z_{2} ∈ X_{φ_{m}} ,

(p(z_{1} + x_{0}) − φ_{m}(z_{1})) − (−p(z_{2} − x_{0}) + φ_{m}(z_{2}))

= p(z_{1} + x_{0}) + p(z_{2} − x_{0}) − φ_{m}(z_{1} + z_{2}) p(z_{1} + z_{2}) − φ_{m}(z_{1} + z_{2}) 0.

Oczywiście φ_{1} jest liniowym przedłużeniem φ_{m} do X_{1}. Pokażemy, że jest dominowany przez p, co będzie oznaczało, że (φ_{1}, X_{φ_{1}} ) ∈ Φ i przeczyło maksymalności (φ_{m}, X_{φ_{m}} ).

Weźmy x = z + λx_{0} ∈ X_{1}, gdzie z ∈ X_{φ_{m}} , λ ∈ ℝ. Mamy trzy możliwości i) λ = 0, wówczas φ_{1}(x) = φ_{1}(z) p(z) = p(x), ii) λ > 0 wtedy na podstawie definicji b, tego, że u b i jednorodności p,

φ_{1}(x) = λφ_{m}(z/λ) + λu λ(p(z/λ + x_{0}) − b) + λu p(z + λx_{0}) = p(x).

iii) λ < 0, tym razem wykorzystujemy definicję a,

φ_{1}(x) = −λφ_{m}(−z/λ)+λu −λ(p(−z/λ−x_{0})+a)+λu p(z+λx_{0}) = p(x).

Uwaga 3.3. i) Lemat Banacha nie zakłada żadnej struktury topologicznej przestrzeni X. ii) Każda przestrzeń liniowa nad ciałem liczb zespolonych jest też przestrzenią liniową nad ℝ.

Wniosek 3.4. Istnieje funkcjonał φ: l_{∞} ↦ ℝ spełniający następujące warunki:

i) lim inf_{n→∞} x_{n} φ(x) lim sup_{n→∞} x_{n}, w szczególności φ(x) = lim_{n→∞} x_{n} dla ciągów zbieżnych oraz ∥φ∥ = 1; ii) φ(τ_{k}(x)) = φ(x) dla x ∈ l_{∞} , k = 0, 1, …, gdzie τ_{k}((x_{n})) = (x_{n+k} ).

Funkcjonał o tych własnościach nazywamy średnią Banacha na ℕ.

Dowód. Zastosujmy lemat Banacha do X_{0} = c – przestrzeni ciągów ograniczonych, X = l_{∞} , p(x) := lim sup_{n→∞} \frac{1}{n} ∑ _{j=1}^{n} x_{j} oraz f(x) = lim_{n→∞} x_{n}. Otrzymamy funkcjonał φ na X rozszerzający f i dominowany przez p. Warunek i) wynika stąd, że p(x) lim supx_{n} oraz φ(x) = −φ(−x) − lim sup(−x_{n}) = lim inf x_{n}.

Warunek ii) jest konsekwencją łatwego do sprawdzenia faktu, że p(τ_{k}(x)− x) = p(x − τ_{k}(x)) = 0.

Twierdzenie 3.5 (Twierdzenie Hahna-Banacha). Załóżmy, że X_{0} jest podprzestrzenią przestrzeni unormowanej X oraz φ_{0}: X_{0} ↦ 𝔽 jest ciągłym funkcjonałem liniowym. Wówczas φ_{0} można przedłużyć do ciągłego funkcjonału linowego φ: X ↦ 𝔽 takiego, że ∥φ∥ = ∥φ_{0}∥.

Dowód. i) Przypadek rzeczywisty, tzn. 𝔽 = ℝ. Określamy wówczas p(x) = ∥x∥∥φ_{0}∥, p jest funkcjonałem Banacha na X, ponadato φ_{0} p na X_{0}. Na mocy lematu Banacha istnieje funkcjonał liniowy φ na X rozszerzający φ_{0} i dominowany przez p, ale wtedy ∥φ∥ = sup_{∥x∥ 1} φ(x) sup_{∥x∥ 1} p(x) = ∥φ_{0}∥ oraz oczywiście ∥φ∥ ∥φ_{0}∥.

ii) Przypadek 𝔽 = ℂ jest nieco bardziej skomplikowany. Najpierw spójrzmy na przestrzenie liniowe X i X_{0} jako przestrzenie nad ciałem liczb rzeczywistych i zastosujmy lemat Banacha do funkcjonału f = Re(φ_{0}) i p(x) = ∥x∥∥φ_{0}∥. Otrzymamy przekształcenie liniowe F: X → ℝ rozszerzające f i dominowane przez p. Zdefiniujmy φ(x) := F (x) + iF (−ix). Zauważmy, że F = Re(φ) stąd dla x ∈ X_{0}

φ(x) = Re(φ_{0}(x)) + iRe(φ_{0}(−ix)) = Re(φ_{0}(x)) + iRe(−iφ_{0}(x))
= Re(φ_{0}(x)) + iIm(φ_{0}(x)) = φ_{0}(x).

Funkcjonał φ jest liniowy nad ℝ, by wykazać jego liniowość nad ℂ wystarczy zauważyć, że

φ(ix) = F (ix) + iF (x) = i(iF (−ix) + F (x)) = iφ(x).

Aby obliczyć normę φ ustalmy x ∈ X i dobierzmy λ ∈ ℂ takie, że |λ| = 1 oraz λφ(x) = |φ(x)|. Wtedy

|φ(x)| = φ(λx) = Re(φ(λx)) = F (λx) p(λx) = ∥x∥∥φ_{0}∥,

stąd ∥φ∥ ∥φ_{0}∥, a nierówność przeciwna jest oczywista.

Wniosek 3.6. Jeśli X jest przestrzenią unormowaną oraz x ∈ X, x ≠ 0, to istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} taki, że ∥φ∥ = 1 oraz φ(x) = ∥x∥. W szczególności funkcjonały liniowe ciągłe rozdzielają punkty z X.

Dowód. Przyjmijmy X_{0} := Lin(x) oraz φ_{0}(λx) = λ∥x∥ dla λ ∈ 𝔽. Wówczas φ_{0} ∈ X_{0}^{∗} i ∥φ_{0}∥ = 1, więc pierwsza część wniosku wynika z twierdzenia Hahna-Banacha. Druga część wynika z pierwszej zastosowanej do wektora x − y dla x ≠ y.

Twierdzenie 3.7 (Twierdzenie Mazura o oddzielaniu). Załóżmy, że A i B są rozłącznymi zbiorami wypukłymi w przestrzeni umormowanej X, zaś A jest zbiorem otwartym. Wówczas istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} taki, że

Re(φ(a)) < inf_{b∈B} Re(φ(b)).

Dowód. Przeprowadzimy dowód dla 𝔽 = ℝ, przypadek zespolony wnioskujemy z rzeczywistego tak jak w dowodzie twierdzenia Hahna-Banacha.

Niech

C := A − B + x_{0} = {a − b + x_{0}: a ∈ A, b ∈ B},

gdzie x_{0} jest pewnym ustalonym punktem z B −A. Zauważmy, że 0 ∉ B −A, bo A ∩ B = ∅, zatem x_{0} ∉ C. Ponadto C jest otwarty, wypukły i zawiera 0. Określmy funkcjonał Minkowskiego

p_{C}(x) := inf{t > 0: x/t ∈ C},

ponadto niech X_{0} := Lin(x_{0}) i f(tx_{0}) := t. Wowczas p_{C} jest funkcjonałem Banacha i f p_{C} na X_{0} (bo dla t > 0, f(tx_{0}) = t tp_{C}(x_{0}) = p_{C}(tx_{0}), gdyż x_{0} ∉ C, a dla t 0, f(tx_{0}) = t 0 p_{C}(tx_{0})). Zatem istnieje przekształcenie liniowe φ: X ↦ ℝ rozszerzające f i dominowane przez p_{C}. Zbiór C jest otwarty i 0 ∈ C zatem C zawiera pewną kulkę o promieniu r > 0 i środku w zerze. Stąd, jeśli ∥x∥ 1, to φ(rx) p_{C}(rx) 1, zatem ∥φ∥ 1/r, czyli φ ∈ X^{∗}. Zauważmy, że jeśli a ∈ A i b ∈ B, to a−b+x_{0} ∈ C, a zatem z otwartości C, φ(a−b+x_{0}) p_{C}(a−b+x_{0}) < 1, czyli φ(a) < φ(b) + 1 − φ(x_{0}) = φ(b). Z otwartości i wypukłości A wynika łatwo, że φ(A) jest zbiorem jednopunktowym (co jest niemożliwe) lub odcinkiem otwartym, a stąd dla a ∈ A, φ(a) < sup_{a′∈A} φ(a′) inf_{b∈B} φ(b).

4 Przestrzenie dualne

Podczas tego wykładu zbadamy jak wyglądają przestrzenie dualne do podstawowych przestrzeni Banacha.

4.1 Przestrzeń L_{p}^{∗}

Wiemy już, że każdy funkcjonał na przestrzeni Hilberta jest postaci ⟨·, x⟩ dla x ∈ H, czyli L_{2}(μ)^{∗} można utożsamiać z L_{2}(μ). Kolejne twierdzenie uogólnia ten wynik.

Twierdzenie 4.1. Załóżmy, że μ jest σ-skończoną miarą na (X, F). Wówczas dla 1 p < ∞, L_{p}(X, μ)^{∗} = L_{q}(X, μ), gdzie \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 dla 1 < p < ∞ oraz q = ∞ dla p = 1. Dokładniej, φ ∈ L_{p}(X, μ)^{∗} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje f ∈ L_{q}(X, μ) takie, że φ(g) = ∫_{X} fgdμ dla g ∈ L_{p}(X, μ), ponadto ∥φ∥ = ∥f∥_{q}.

Dowód. Zauważmy, że jeśli φ(g) = ∫_{X} fgdμ dla pewnego f ∈ L_{q}, to z nierówności Höldera wynika, że φ ∈ L_{p}^{∗} oraz ∥φ∥ ∥f∥_{q}. Musimy zatem pokazać implikację przeciwną, tzn. dla φ ∈ L_{p}^{∗} istnieje f ∈ L_{q}(μ) takie, że φ(g) = ∫_{X} fgdμ dla g ∈ L_{p}(μ) oraz ∥f∥_{q} ∥φ∥.

Najpierw rozpatrzymy przypadek, gdy μ jest miarą skończoną. Ustalmy φ ∈ L_{p}(X, μ)^{∗} i określmy ν(A) := φ(𝟙_{A}) dla A ∈ F. Pokażemy, że ν jest miarą zespoloną (miarą ze znakiem w przypadku rzeczywistym). Istotnie, niech A = ⋃ _{n=1}^{∞} , A_{n} ∈ F, A_{n} ∩ A_{m} = ∅ dla n ≠ m, wówczas

∥𝟙_{A} − ∑_{n=1}^{N} 𝟙_{A_{n}} ∥_{p} = ∥𝟙_{A\⋃ _{n N} A_{n}} ∥_{p} = μ( ⋃_{n N} A_{n})^{1/p} → 0 przy N → ∞,

stąd

ν(A) = lim_{N→∞} φ( ∑_{n=1}^{N} 𝟙_{A_{n}} ) = lim_{N→∞} ∑_{n=1}^{N} φ(𝟙_{A_{n}}) = ∑_{n=1}^{∞} ν(A_{n}).

Ponadto, jeśli μ(A) = 0, to 𝟙_{A} = 0 w L^{p}(μ), czyli ν(A) = φ(0) = 0, zatem miara ν jest absolutnie ciągła względem μ i z twierdzenia Radona-Nikodyma wynika, że istnieje gęstość f = \frac{dν}{dμ} ∈ L_{1}(μ). Zatem dla funkcji prostych g = ∑ _{k=1}^{n} a_{k}𝟙_{A_{k}},

φ(g) = ∑_{k=1}^{n} a_{k}φ(𝟙_{A_{k}}) = ∑_{k=1}^{n} a_{k}ν(A_{k}) = ∑_{k=1}^{n} a_{k} ∫_{A_{k}} fdμ

= ∑_{k=1}^{n} a_{k} ∫_{X} 𝟙_{A_{k}} fdμ = ∫_{X} fgdμ.

Weźmy teraz g ∈ L_{∞} (μ) ⊂ L_{p}(μ), wówczas istnieje ciąg funkcji prostych g_{n} taki, że ∥g_{n} − g∥_{∞} → 0, stąd ∥g_{n} − g∥_{p} μ(X)^{1/p}∥g_{n} − g∥_{∞} → 0 oraz

| ∫_{X} fgdμ − ∫_{X} fg_{n}dμ| ∫_{X} |f||g_{n} − g|dμ ∥g_{n} − g∥_{∞} ∫_{X} |f|dμ → 0.

Zatem z ciągłośći φ,

φ(g) = lim_{n→∞} φ(g_{n}) = lim_{n→∞} ∫_{X} fg_{n}dμ = ∫_{X} fgdμ dla g ∈ L_{∞} (X, μ).

Pokażemy teraz, że f ∈ L_{q} oraz ∥f∥_{q} ∥φ∥. W tym celu załóżmy najpierw, że 1 < p < ∞ i określmy g_{n} := min(|f|, n)^{q/p} \frac{\overline{f}}{|f|} 𝟙_{\{f≠0\}} . Wówczas ∥g_{n}∥_{p} = (∫_{X} min(|f|, n)^{q}dμ)^{1/p} < ∞ oraz

φ(g_{n}) = ∫_{X} fg_{n}dμ = ∫_{X} |f| min(|f|, n)^{q/p}dμ ∫_{X} min(|f|, n)^{q}dμ.

Stąd ∥φ∥ |φ(g_{n})|/∥g_{n}∥_{p} (∫_{X} min(|f|, n)^{q}dμ)^{1/q} i, biorąc n → ∞, dostajemy ∥f∥_{q} ∥φ∥ < ∞. W przypadku p = 1 (czyli q = ∞) połóżmy dla A > 0, g_{A} := \frac{\overline{f}}{|f|} 𝟙_{\{|f| A\}} . Wówczas ∥g_{A}∥_{1} = μ(|f| A) i

∥φ∥∥g_{A}∥_{1} φ(g_{A}) ∫_{X} fg_{A}dμ = ∫_{X} |f|𝟙_{{|f| A}} Aμ(|f| A) = A∥g_{A}∥_{1},

zatem dla A > ∥φ∥, μ(|f| A) = ∥g_{A}∥_{1} = 0 i z dowolności A dostajemy ∥f∥_{∞} ∥φ∥.

By zakończyć dowód w przypadku μ(X) < ∞ należy tylko pokazać, że φ(g) = ∫_{X} fgdμ dla dowolnego g ∈ L_{p}. Biorąc g_{n} := g𝟙_{{|g| n}} mamy g_{n} → g w L_{p}, a z nierówności Höldera wynika, że

| ∫_{X} fgdμ − ∫_{X} fg_{n}dμ| ∫_{X} |f||g_{n} − g|dμ ∥g_{n} − g∥_{p}∥f∥_{q} → 0,

więc istotnie

φ(g) = lim_{n→∞} φ(g_{n}) = lim_{n→∞} ∫_{X} fg_{n}dμ = ∫_{X} fgdμ.

W przypadku, gdy μ(X) = ∞, znajdujemy rozbicie X = ⋃ _{n=1}^{∞} X_{n} na parami rozłączne zbiory X_{n} ∈ F takie, że μ(X_{n}) < ∞. Ustalmy φ ∈ L_{p}(μ)^{∗} i połóżmy

φ_{n}(g) = φ(g𝟙_{X_{n}} ) dla g ∈ L_{p}(X_{n}, μ).

Wówczas

|φ_{n}(g)| ∥φ∥∥g𝟙_{X_{n}} ∥_{L_{p}(X,μ)} = ∥φ∥∥g∥_{L_{p}(X_{n} ,μ)} ,

czyli φ_{n} ∈ L_{p}(X_{n}, μ)^{∗} i z rozważonego poprzedniej przypadku miar skończonych istnieje f_{n} ∈ L_{q}(X_{n}, μ) takie, że φ_{n}(g) = ∫_{X_{n}} f_{n}gdμ. Niech f := ∑ _{n=1}^{∞} f_{n}𝟙_{X_{n}} . Zauważmy, że dla g ∈ L_{p}(X, μ) i N < ∞,

∫_{X} g ∑_{n=1}^{N} f_{n}𝟙_{X_{n}} dμ = ∑_{n=1}^{N} φ_{n}(g) = φ(g ∑_{n=1}^{N} 𝟙_{X_{n}} ) ∥φ∥∥g ∑_{n=1}^{N} 𝟙_{X_{n}} ∥_{p} ∥φ∥∥g∥_{p}.

Znowu korzystając z udowodnionych oszacowań dla przypadku miar skończonych dostajemy

( ∫_{X} |f|^{q}𝟙_{⋃ _{n=1}^{N} X_{n}} dμ)^{1/q} = ∥ ∑_{n=1}^{N} f_{k}𝟙_{X_{k}} ∥_{L_{q}(X)}

= ∥ ∑_{n=1}^{N} f_{k}𝟙_{X_{k}} ∥_{L_{q}(⋃ _{n=1}^{N} X_{n})} ∥φ∥,

biorąc N → ∞ i korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej dostajemy ∥f∥_{q} ∥φ∥ < ∞.

Zauważmy, że dla g ∈ L_{p}, g𝟙_{⋃ _{n N} X_{n}} → g w L_{p}(μ), zatem

φ(g) = lim_{N→∞} φ(g𝟙_{⋃ _{n N} X_{n}} ) = lim_{N→∞} ∫_{X} g ∑_{n=1}^{N} f_{n}𝟙_{X_{n}} dμ = ∫ fgdμ,

gdzie ostatnia równość wynika z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej (|fg| jest całkowalne z nierówności Höldera).

Wniosek 4.2. Dla 1 p < ∞, l_{p}^{∗} = l_{q}, gdzie \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 dla p > 1 oraz q = ∞ dla p = 1.

Uwaga 4.3. Nie jest prawdą, że L_{∞}^{∗} = L_{1}, ale zawsze L_{1}(X, μ) ⊂ L_{∞} (X, μ)^{∗}, tzn. jeśli f ∈ L_{1}(X, μ), to wzór φ(g) = ∫_{X} fgdμ określa ciągły funkcjonał na L_{∞} (X, μ) oraz ∥φ∥ = ∥f∥_{1}. Średnia Banacha, skonstruowana we Wniosku 3.4, jest przykładem funkcjonału na l_{∞} , który nie jest zadany przez ciąg z l_{1}. Oczywiście jednak (np porównując wymiary) l_{∞}^{n} = (l_{1}^{n})^{∗}.

Okazuje się, że l_{1} jest podprzestrzenią dualną do pewnej podprzestrzeni l_{∞} – mianowicie c_{0}, czyli przestrzeni ciągów zbieżnych do zera.

Fakt 4.4. Mamy c_{0}^{∗} = l_{1}, dokładniej φ ∈ c_{0}^{∗} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg x = (x_{n}) ∈ l_{1} taki, że φ(y) = ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} dla y ∈ c_{0}, ponadto ∥x∥_{1} = ∥φ∥.

Dowód. Zauważmy najpierw, że jeśli x ∈ l_{1} i φ(y) = ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n}, to |φ(y)| ∥x∥_{1}∥y∥_{∞} , czyli φ ∈ c_{0}^{∗} oraz ∥φ∥ ∥x∥_{1}.

By udowodnić przeciwną implikację weźmy φ ∈ c_{0}^{∗} i okreśmy x_{n} := φ(e_{n}) (gdzie e_{n} = (δ_{n,m})_{m 1} ∈ c_{0}). Wtedy φ(∑ _{n=1}^{N} y_{n}e_{n}) = ∑ _{n=1}^{N} y_{n}φ(e_{n}) = ∑ _{n=1}^{N} x_{n}y_{n}, zatem

∑_{n=1}^{N} |x_{n}| = sup{ ∑_{n=1}^{N} x_{n}y_{n}: max_{1 n N} |y_{n}| 1}

= sup{φ( ∑_{n=1}^{N} y_{n}e_{n}) : ∥ ∑_{n=1}^{N} y_{n}e_{n} ∥_{c_{0}} 1} ∥φ∥

i, biorąc N → ∞, dostajemy x ∈ l_{1} oraz ∥x∥_{1} ∥φ∥. Wreszcie, jeśli y ∈ c_{0}, to ∥y − ∑ _{n=1}^{N} y_{n}e_{n}∥ = max_{n>N} |y_{n}| → 0 przy N → ∞, zatem

φ(x) = lim_{N→∞} φ( ∑_{n=1}^{N} y_{n}e_{n}) = lim_{N→∞} ∑_{n=1}^{N} x_{n}y_{n} = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n}.

4.2 Miary regularne i przestrzeń C(K)^{∗}

Definicja 4.5. Załóżmy, że X jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a B(X) – rodziną borelowskich podzbiorów X.

Miarę (nieujemną) μ na (X, B(X)) nazywamy regularną, jeśli dla dowolnego A ∈ B(X),

μ(A) = sup{μ(K): K ⊂ A, K zwarte} = inf{μ(G): A ⊂ G, G otwarte}.

Miarę zespoloną (miarę ze znakiem) μ na (X, B(X)) nazywamy regularną, jeśli miara |μ| jest regularna.

Przez M(X) będziemy oznaczać przestrzeń wszystkich regularnych miar zespolonych (miar ze znakiem dla 𝔽 = ℝ) na (X, B(X)) z normą ∥μ∥ = |μ|(X).

Przykłady. Każda miara skończona na przestrzeni polskiej (tzn. metrycznej, ośrodkowej, zupełnej) jest regularna, zatem również wszystkie miary zespolone na takich przestrzeniach są regularne. Rozpatrzmy X = ℝ^{I} oraz μ produktową miarę gaussowską γ_{1}^{⊗I} , gdzie γ_{1} jest kanonicznym rozkładem gaussowskim na ℝ. Wówczas, jeśli I jest nieprzeliczalny, to μ nie jest regularna. Istotnie każdy zbiór zwarty, K w X jest podzbiorem produktu odcinków [a_{i}, b_{i}], a_{i} < b_{i}, a że γ_{1}[a_{i}, b_{i}] < 1, to dla nieskończenie wielu i, γ_{1}[a_{i}, b_{i}] < 1 − ε, stąd μ(K) = 0.

Fakt 4.6. Przestrzeń M(X) jest przestrzenią Banacha.

Dowód. Na mocy Twierdzenia 1.24 wystarczy pokazać, że M(X) jest domkniętą podprzestrzenią wszystkich miar zespolonych (miar ze znakiem) na (X, B(X)), czyli, że granica miar regularnych jest miarą regularną, co jest łatwym ćwiczeniem.

Fakt 4.7. Załóżmy, że K jest zwartą przestrzenią topologiczną oraz μ jest miarą zespoloną na (K, B(K)). Wówczas wzór φ(f) = ∫_{K} fdμ określa ciągły funkcjonał na C(K) taki, że ∥φ∥ ∥μ∥. Ponadto, jeśli μ jest regularna, to ∥φ∥ = ∥μ∥.

Dowód. Wiemy, że dμ = hd|μ|, gdzie h: K → 𝔽 jest funkcją borelowską oraz |h| = 1, μ-p.w.. Stąd dla f ∈ C(K)

|φ(f)| = | ∫_{K} fhd|μ|| ∫_{K} |fh|d|μ| ∫_{K} |f|d|μ| ∥f∥|μ|(K) = ∥f∥|μ∥,

czyli φ jest ciągły i ∥φ∥ ∥μ∥. Zauważmy też, że

∥μ∥ = ∫_{K} \frac{1}{h}dμ = sup\{ ∫_{K} gdμ: g: K → 𝔽 prosta , |g| 1\}.

Załóżmy teraz, że miara μ jest regularna, ustalmy ε > 0 i funkcję prostą g na K taką, że |g| 1 i ∫ gdμ ∥μ∥ − ε. Wówczas g ma postać g = ∑ _{l=1}^{n} a_{l}𝟙_{A_{l}}, gdzie |a_{l}| 1 oraz A_{l} są parami rozłącznymi podzbiorami borelowskimi K. Na mocy regularności μ istnieją zbiory zwarte K_{l} ⊂ A_{l} i otwarte G_{l} ⊃ A_{l} takie, że |μ|(G_{l} \ K_{l}) ε/n. Możemy znaleźć funkcje ciągłe f_{l}: K → [0, 1] takie, że f_{l} = 1 na K_{l} oraz f_{l} = 0 poza G_{l}. Połóżmy f(x) = ∑ _{l=1}^{k} a_{l}f_{l}(x)/h(x), gdzie h(x) = max{1, ∑ _{l=1}^{n} |f_{l}(x)|}. Funkcja f jest ciągła, ∥f∥_{∞} 1, f = g, jeśli x ∉ ⋃ _{l=1}^{n} (G_{l} \ K_{l}) (wykorzystujemy tu rozłączność zbiorów A_{l} i K_{l}). Stąd

|φ(f)−∫_{K} gdμ| = | ∫_{K}(f −g)hd|μ|| ∫_{K} |f −g|d|μ| 2μ( ⋃_{l=1}^{n} (G_{l}\K_{l})) 2ε,

zatem ∥φ∥ |φ(f)| ∥μ∥ − 3ε i z dowolności ε dostajemy ∥φ∥ ∥μ∥.

Twierdzenie 4.8 (Riesza o reprezentacji). Dla dowolnej zwartej przestrzeni topologicznej K, C(K)^{∗} = M(K). Dokładniej, φ jest ciągłym funkcjonałem na C(K) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje μ ∈ M(K) takie, że φ(f) = ∫_{K} fdμ dla f ∈ C(K), ponadto ∥φ∥ = ∥μ∥.

Wobec Faktu 4.7 wystarczy udowodnić, że każdy funkcjonał ciągły na C(K) jest zadany przez pewną regularną miarę zespoloną μ. Konstrukcja takiego μ jest dość żmudna, można ją znaleźć np. w książce Rudina [3].

4.3 Przestrzeń X^{∗∗}, refleksywność

Widzieliśmy wcześniej, że dla 1 < p < ∞, L_{p}^{∗} = L_{q} i L_{q}^{∗} = L_{p}, gdzie \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1. Dla p = 1, L_{1}^{∗} = L_{∞} oraz L_{1} jest podprzestrzenią L_{∞}^{∗} . Ponadto c_{0}^{∗} = l_{1} i l_{1}^{∗} = l_{∞} ⊃ c_{0}. Okazuje się, że to, iż X jest podprzestrzenią przestrzeni dualnej do X^{∗} jest zawsze prawdziwe. By sprecyzować tę obserwację potrzebujemy następującej definicji.

Definicja 4.9. Przez X^{∗∗} będziemy oznaczać (X^{∗})^{∗}, czyli przestrzeń dualną do X^{∗}. Dla x ∈ X możemy określić element i(x) ∈ X^{∗∗} wzorem i(x)(φ) = φ(x) dla φ ∈ X^{∗}.

Fakt 4.10. Zdefiniowane powyżej przekształcenie i: X → X^{∗∗} jest liniową izometrią dla dowolnej przestrzeni unormowanej X.

Dowód. Liniowość jest oczywista. Zauważmy, że

∥i(x)∥_{X^{∗∗}} = sup_{∥φ∥_{X^{∗}} 1} |i(x)(φ)| = sup_{∥φ∥_{X^{∗}} 1} |φ(x)| ∥x∥.

Ponadto z Wniosku 3.6 wynika, że w ostatniej nierówności zachodzi równość.

Definicja 4.11. Przestrzeń Banacha taką, że i(X) = X^{∗∗} nazywamy przestrzenią refleksywną.

Przykłady. Przestrzenie skończonego wymiaru, przestrzenie Hilberta, przestrzenie L_{p}, 1 < p < ∞ są refleksywne. Przestrzeń dualna do przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Przestrzenie c_{0}, l_{1}, l_{∞} , L_{1}[0, 1], L_{∞} [0, 1], C[0, 1] nie są refleksywne.

5 Twierdzenie Banacha Steinhausa. Słabe topologie

Zacznijmy od przypomnienia twierdzenia Baire’a.

Twierdzenie 5.1. Załóżmy, że (X, d) jest zupełną przestrzenią metryczną. Jeśli A_{n} ⊂ X, n = 1, 2, … są nigdzie gęste (tzn. int(\overline{A}) = ∅), to zbiór A = ⋃ _{n 1} A_{n} ma puste wnętrze.

Uwaga 5.2. Podzbiory przestrzeni zupełnej będące przeliczalną sumą zbiorów nigdzie gęstych nazywa się zbiorami pierwszej kategorii lub zbiorami mizernymi.

Twierdzenie 5.3 (Banach-Steinhaus). Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha, a Y przestrzenią unormowaną oraz (T_{α})_{α∈I} jest rodziną ciągłych operatorów liniowych z X w Y. Wówczas, jeśli rodzina (T_{α}) jest punktowo ograniczona (tzn. sup_{α} ∥T_{α}x∥ < ∞ dla x ∈ X), to jest ona ograniczona w normie, tzn. sup_{α} ∥T_{α}∥ < ∞.

Dowód. Określmy

A_{n} := {x ∈ X: sup_{α∈I}∥T_{α}x∥ n}.

Zbiory A_{n} są domkniete (z ciągłości operatorów T_{i}) oraz ⋃ _{n 1} A_{n} = X, zatem na mocy twierdzenia Baire’a któryś ze zbiorów A_{n} ma niepuste wnętrze. Załóżmy, że B(x_{0}, ε) ⊂ A_{n} dla pewnego n 1, x_{0} ∈ X oraz ε > 0. Weźmy x ∈ X takie, że ∥x∥ 1, wówczas x_{0}, x_{0} + \frac{ε}{2}x ∈ B(x_{0}, ε) ⊂ A_{n}, stąd dla dowolnego α,

∥T_{α}x∥ = \frac{2}{ε}∥T_{α}(x_{0} + \frac{ε}{2}x − x_{0}) ∥ \frac{2}{ε}∥T_{α}(x_{0} + \frac{ε}{2}x) ∥ + \frac{2}{ε}∥T_{α}x_{0}∥ \frac{4}{ε}n.

Z dowolności x wynika, że ∥T_{α}∥ \frac{4}{ε}n dla wszystkich α.

Uwaga 5.4. Analiza dowodu pokazuje, że do ograniczoności rozdziny (T_{α}) w normie wystarcza, by zbiór A_{n} miał niepuste wnętrze dla pewnego n. Zatem można sformułować nieco mocniejszą wersję twierdzenia Banacha-Steinhausa – jeśli rodzina ciągłych operatorów liniowych (T_{α}) między przestrzenią Banacha X a przestrzenią unormowaną Y nie jest ograniczona w normie, to zbiór {x ∈ X: sup_{α} ∥T_{α}x∥ < ∞} jest pierwszej kategorii w X.

Wniosek 5.5. Załóżmy, że T_{n}, n = 1, 2, … są ciągłymi operatorami liniowymi między przestrzenią Banacha X oraz przestrzenią unormowaną Y takimi, że dla każdego x ∈ X istnieje granica T x = lim_{n→∞} T_{n}x. Wówczas operator T jest ciągły.

Dowód. Punktowa zbieżność implikuje punktową ograniczoność, stąd, na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, ∥T ∥ sup_{n} ∥T_{n}∥ < ∞.

5.1 Przykład zastosowania – funkcja ciągła o rozbieżnym szeregu Fouriera

Niech 𝕋 = ℝ/(2πℤ) będzie jednowymiarowym okręgiem, zaś λ unormowaną długością łuku. Funkcje ciągłe na 𝕋 możemy utożsamiać z funkcjami 2πokresowymi na ℝ, samo 𝕋 z odcinkiem [0, 2π), zaś λ z unormowaną miarą Lebesgue’a na [0, 2π). Wiemy, że układ trygonometryczny e_{n}(t) = e^{int}, n ∈ ℤ jest bazą ortogonalną przestrzeni L_{2}(𝕋) = L_{2}(𝕋, λ), tzn. każda funkcja f ∈ L_{2}(𝕋) ma postać

f(t) = ∑_{n∈ℤ} ⟨f, e_{n}⟩e_{n}(t) = ∑_{n∈ℤ} a_{n}e^{int},  (11)

gdzie

a_{n} := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(s)e^{−ins} ds

nazywamy n-tym współczynnikiem Fouriera f. Szereg nieskończony w (11) jest zbieżny w przestrzeni Hilberta L_{2}(𝕋), tzn. ∥f − S_{N}∥_{2} → 0, gdzie

S_{N}(t) = S_{N}(f; t) = ∑_{n=−N}^{N} ⟨f, e_{n}⟩e_{n}(t) = ∑_{n=−N}^{N} a_{n}e^{int}.

Naturalnie jest zapytać czy dla funkcji ciągłych f na 𝕋 szereg Fouriera jest zbieżny punktowo. Okazuje się, że takie założenie nie jest wystarczające.

Twierdzenie 5.6. Dla dowolnego t ∈ 𝕋 istnieje funkcja ciągła f na 𝕋 taka, że sup|S_{N}(f; t)| = ∞, w szczególności S_{N}(f; t) nie zbiega do f(t). Ponadto zbiór takich funkcji jest gęsty w C(𝕋).

Dowód. Ustalmy t ∈ 𝕋 i określmy

φ_{N}(t) = S_{N}(f; t) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(s)D_{N}(t − s)ds,

gdzie

D_{N}(t) := ∑_{n=−N}^{N} e^{ikt} = \frac{sin((N + \frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} dla t ∈ (0, 2π).

Zauważmy, że φ_{N} jest ciągłym funkcjonałem na C(𝕋), a jego norma to norma miary na 𝕋 z gęstością \frac{1}{2π} D_{N}(t−s), czyli ∥D_{N}∥_{1} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |D_{n}(t)|dt \frac{1}{2π} 2N + 1 < ∞. By oszacować D_{N} zauważmy, że |D_{N}(2π − t)| = |D_{N}(t)| oraz | sin(t/2)| t/2 dla t > 0, więc

∥D_{N}∥_{1} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} | \frac{sin((N + \frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} |dt \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} \frac{| sin((N + \frac{1}{2})t)|}{t} dt

= \frac{2}{π} ∫_{0}^{(N+1/2)π} \frac{| sin(t)|}{t}dt = \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{2N+1} ∫_{(k−1)π/2}^{kπ/2} \frac{| sin(t)|}{t}dt

\frac{2}{π} ∑_{k=1}^{2N+1} ∫_{(k−1)π/2}^{kπ/2} \frac{2| sin(t)|}{kπ}dt = \frac{4}{π^{2}} ∑_{k=1}^{2N+1} \frac{1}{k}.

Stąd ∥D_{N}∥_{1} jest rzędu log(N + 1), czyli sup_{N} ∥φ_{N}∥ = sup_{N} ∥D_{N}∥_{1} = ∞ i teza wynika z twierdzenia Banacha-Steinhausa.

Z uwagi po twierdzeniu Banacha-Steinhausa wynika, że zbiór

{f ∈ C(𝕋): sup_{N}|S_{N}(f; t)| < ∞}

jest pierwszej kategorii w C(𝕋). Przeliczalna suma zbiorów pierwszej kategorii jest zbiorem piewrszej kategorii, więc natychmiast dostajemy następujące mocniejsze twierdzenie.

Twierdzenie 5.7. Dla dowolnego przeliczalnego zbioru T_{0} ⊂ 𝕋 istnieje funkcja ciągła f ∈ C(𝕋) taka, że sup_{N} |S_{N}(f; t)| = ∞ dla wszystkich t ∈ T_{0}, w szczególności szereg Fouriera f nie zbiega punktowo w żadnym punkcie T_{0}.

Uwaga 5.8. i) Jeśli f jest Lipschitzowska na 𝕋 (a nawet Hölderowska z wykładnikiem dodatnim), to szereg Fouriera f jest zbieżny do f jednostajnie. ii) Carleson udowodnił, że szereg Fouriera każdej funkcji z L_{2}(𝕋) (w szczególności funkcji ciągłej) jest zbieżny do niej prawie wszędzie. iii) Kołmogorow skonstruował funkcję f ∈ L_{1}(𝕋), której szereg Fouriera jest rozbieżny w każdym punkcie.

5.2 Słaba topologia na X

Definicja 5.9. Załóżmy, że X jest przestrzenią unormowaną. Słabą topologią na X nazywamy najsłabszą topologię dla której wszystkie funkcjonały z X^{∗} (czyli ciągłe w topologii normy) są ciągłe.

Uwaga 5.10. Łatwo widać, że bazą słabej topologii są zbiory postaci

U_{φ_{1},φ_{2},...,φ_{n};ε} (x) = {y ∈ X: |φ_{k}(y) − φ_{k}(x)| < ε, 1 k n},

gdzie x ∈ X, φ_{1}, …, φ_{n} ∈ X^{∗} oraz ε > 0.

Uwaga 5.11. Załóżmy, że Y jest przestrzenią topologiczną, X jest pewnym zbiorem, a F rodziną funkcji z X w Y. Wówczas można zdefiniować σ(X, F)- topologię jako najsłabszą topologię na X dla której funkcje z F są ciągłe. W tej notacji słaba topologia na X, to σ(X, X^{∗})-topologia. Używa się też sformułowania w-topologia.

Fakt 5.12. Słaba topologia jest słabsza od topologii normowej (tzn. zbiory otwarte w słabej topologii są otwarte w normie). Ponadto te topologie się pokrywają wtedy i tylko wtedy, gdy dim(X) < ∞.

Dowód. Pierwsza część wynika wprost z definicji. Jeśli X = 𝔽^{n}, to wszystkie normy na X są równoważne, zatem topologia normowa to zwykła topologia euklidesowa, a ponieważ zbiory postaci {x: max_{k n} |x_{k} − y_{k}| < ε} są σ(X, X^{∗})-otwarte dla ε > 0, to każdy zbiór otwarty w topologii euklidesowej jest otwarty w słabej topologii. Jeśli dim(X) = ∞, to wszystkie słabo otwarte otoczenia zera zawierają podprzestrzeń skończonego kowymiaru, więc np. zbiór {x: ∥x∥ < 1} nie jest słabo-otwarty.

Uwaga 5.13. Powyższy dowód pokazuje, że jeśli dim(X) = ∞, to norma nie jest funkcją słabo ciągłą (tzn. ciągłą na X względem słabej topologii).

Fakt 5.14. Słaba topologia na X spełnia warunek Hausdorffa T_{2}, tzn. każde dwa różne punkty z X mają rozłączne otoczenia otwarte.

Dowód. Jeśli x, y ∈ X i x ≠ y to znajdziemy funkcjonał φ ∈ X^{∗} oraz a ∈ ℝ taki, że Re(φ(x)) < a < Re(φ(y)) i wystarczy przyjąć U_{x} := {z ∈ X: Re(φ(z)) < a} oraz U_{y} := {z ∈ X: Re(φ(z)) > a}.

Definicja 5.15. Mówimy, że ciąg (x_{n}) w przestrzeni unormowanej X zbiega słabo do x lub jest słabo zbieżny do x, jeśli zbiega do x w słabej topologii. Równoważnie, dla dowolnego φ ∈ X^{∗}, lim_{n} φ(x_{n}) = φ(x).

Uwaga 5.16. Oczywiście zbieżność w normie implikuje słabą zbieżność. W drugą stronę implikacja nie zachodzi (np. wektory e_{n} są zbieżne słabo do zera w l_{p}, 1 < p < infty, ale nie są zbieżne w normie).

Fakt 5.17. Każdy ciąg słabo zbieżny (x_{n}) w X jest ograniczony w normie, tzn. sup_{n} ∥x_{n}∥ < ∞.

Dowód. Przestrzeń X^{∗} jest Banacha, a każdy element x ∈ X wyznacza funkcjonał i(x) na X^{∗} dany wzorem i(x)(φ) = φ(x). Słaba zbieżność oznacza, że i(x_{n}) zbiega punktowo do i(x), zatem teza wynika z twierdzenia Banacha-Steinhausa.

Przykład 1. Załóżmy, że H jest przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną (u_{α})_{α∈A} . Wówczas ciąg (x_{n}) w H słabo zbiega do x wtedy i tylko wtedy, gdy sup_{n} ∥x_{n}∥ < ∞ oraz lim_{n}⟨x_{n}, u_{α}⟩ = ⟨x, u_{α}⟩ dla wszystkich α.

Implikacja , , ⇒ ” wobec Faktu 5.17, jest oczywista. By udowodnić , , ⇐ ” wystarczy zauważyć, że każdy funkcjonał na H jest postaci ⟨·, y⟩ dla pewnego y ∈ H oraz y możemy aproksymować w normie przez skończone kombinacje u_{α}.

Przykład 2. W przestrzeni C(K) ciąg funkcji f_{n} jest słabo zbieżny do f wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny punktowo oraz sup_{n} ∥f_{n}∥ < ∞.

Implikacja , , ⇒ ” jest oczywista, implikacja , , ⇐ ” wynika stąd, że funkcjonały ciągłe na C(K) to miary zespolone i wystarczy zastosować twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.

5.3 Słaba* topologia na X^{∗}

Definicja 5.18. Załóżmy, że X^{∗} jest przestrzenią dualną do przestrzeni unormowanej X. Słabą* topologią na X^{∗} nazywamy najsłabszą topologię dla której wszystkie przekształcenia postaci φ ↦ φ(x), x ∈ X, są ciągłe.

Uwaga 5.19. Bazą słabej* topologii są zbiory postaci

U_{x_{1},x_{2},...,x_{n};ε} (φ) = {ψ ∈ X^{∗}: |ψ(x_{k}) − φ(x_{k})| < ε, 1 k n},

gdzie φ ∈ X^{∗}, x_{1}, …, x_{n} ∈ X oraz ε > 0.

Uwaga 5.20. Przy utożsamieniu X z i(X) ⊂ X^{∗∗}, słaba*-topologia to σ(X^{∗}, X)- topologia. Nazywa się ją też w^{∗}-topologią na X^{∗}.

Tak jak dla słabej topologii dowodzimy, że

Fakt 5.21. i) Słaba* topologia ma własność Hausdorffa T_{2}. ii) Słaba* topologia jest słabsza od topologii normowej na X^{∗}. Ponadto te topologie się pokrywają wtedy i tylko wtedy, gdy dim(X) < ∞.

Uwaga 5.22. Na przestrzeni X^{∗} mamy dwie topologie słabą (czyli σ(X^{∗}, X^{∗∗})) oraz słabą* (czyli σ(X^{∗}, X)). Topologia słaba* jest słabsza od słabej (tzn. zbiory słabo-otwarte są słabo*-otwarte), dla przestrzeni refleksywnych oczywiście te topologie się pokrywają, a dla nierefleksywnych można udowodnić, że są istotnie różne.

Definicja 5.23. Mówimy, że ciąg funkcjonałów ciągłych (φ_{n}) na przestrzeni unormowanej X zbiega słabo* do funcjonału φ lub jest słabo* zbieżny do φ, jeśli zbiega do φ w słabej* topologii. Równoważnie, dla dowolnego x ∈ X, lim_{n} φ_{n}(x) = φ(x).

Natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia Banacha-Steinhausa jest następujący fakt.

Fakt 5.24. Jeśli X jest przestrzenią Banacha, to każdy ciąg słabo* zbieżny (φ_{n}) w X^{∗} jest ograniczony w normie, tzn. sup_{n} ∥φ_{n}∥ < ∞.

Przykład 1. Jak wiemy c_{0}^{∗} = l_{1} i l_{1}^{∗} = l_{∞} . Ciąg e_{n} ∈ l_{1} jest słabo* zbieżny do zera, ale nie jest słabo zbieżny do zera.

Przykład 2 Każdą miarę probabilistyczną na ℝ można traktować jako ciągły funkcjonał na C_{ogr}(ℝ). Wtedy słaba*-zbieżność miar probabilistycznych μ_{n} do miary probabilistycznej μ, to omawiana podczas wykładu RP2 słaba (sic!) zbieżność rozkładów. Jak wiemy, jest ona równoważna zbieżności punktowej dystrybuant μ_{n} w punktach ciągłości dystrybuanty μ. Zbieżność w topologii σ(X^{∗}, X^{∗∗}) jest dużo silniejsza, implikuje w szczególności, że μ_{n}(A) → μ(A) dla dowolnego zbioru borelowskiego A.

Jedną z kluczowych własności słabej* topologii jest to, że kula B_{X^{∗}} jest zwarta.

Twierdzenie 5.25 (Banach-Alaoglu). Domknięta kula jednostkowa w przestrzeni X^{∗}, tzn. zbiór B_{X^{∗}} = {φ ∈ X^{∗}: ∥φ∥ 1} jest słabo*-zwarta.

Dowód. Niech I := ∏ _{x∈X} I_{x}, gdzie I_{x} = [−∥x∥, ∥x∥] dla 𝔽 = ℝ oraz I_{x} = {z ∈ ℂ: |z| ∥x∥} dla 𝔽 = ℂ. Wówczas I z topologią przestrzeni produktowej jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Określmy przekształcenie T: B_{X^{∗}} → I wzorem T φ = (φ(x))_{x∈X} , wówczas przekształcenie T jest homeomorfizmem B_{X^{∗}} ze słabą* topologią na C = T (B_{X^{∗}} ) z topologią dziedziczoną z przestrzeni produktowej I. Wystarczy zatem pokazać, że zbiór C jest zwarty, czyli, że jest domknietym podzbiorem I. W tym celu weźmy f = (f(x))_{x∈X} należące do domknięcia C, musimy pokazać, że f ∈ C, czyli, że f jest ciągłym liniowym przekształceniem na X. Oczywiście |f(x)| ∥x∥, więc wystarczy pokazać linowość. Ale wynika to stąd, że przekształcenia I ∋ g ↦ g(x + y) − g(x) − g(y) ∈ 𝔽 oraz I ∋ g ↦ g(λx) − λg(x) ∈ 𝔽 są, dla dowolnych x, y ∈ X oraz λ ∈ 𝔽, ciągłe i zerują się na C.

Wniosek 5.26. Każda przestrzeń Banacha wkłada się izometrycznie w pewną przestrzeń C(K), K zwarte.

Dowód. Wystarczy przyjąć K = B_{X^{∗}} ze słabą* topologią i T x(φ) = φ(x) dla x ∈ X, φ ∈ B_{X^{∗}} .

Wniosek 5.27. Jeśli przestrzeń X jest ośrodkowa, to kula B_{X^{∗}} ze słabą topologią jest metryzowalna, w szczególności każda ośrodkowa przestrzeń Banacha wkłada się izometrycznie w C(K), gdzie K jest zwartym zbiorem metrycznym.

Dowód. Jeśli (x_{n})_{n 1} jest przeliczalnym, gęstym podzbiorem kuli jednostkowej {x ∈ X: ∥x∥ 1}, to szukaną metryką na B_{X^{∗}} jest np.

d(φ_{1}, φ_{2}) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} |φ_{1}(x_{n}) − φ_{2}(x_{n})|.

Uwaga 5.28. Twierdzenie Aleksandrowa-Hausdorffa mówi, że każda zwarta przestrzeń metryczna K jest ciągłym obrazem zbioru Cantora Δ. Wykorzystując to twierdzenie nietrudno pokazać, że C(K) się wkłada izometrycznie w C(Δ), a tę ostatnią przestrzeń można łatwo włożyć izometrycznie w C[0, 1]. W efekcie każda ośrodkowa przestrzeń Banacha wkłada się izometrycznie w C[0, 1]. Uwaga 5.29. Przestrzenie unormowane z topologią normową lub słabą topologią, przestrzeń X^{∗} ze słabą* topologią to przykłady przestrzeni liniowotopologicznych, tzn. takich przestrzeni liniowych, że przekształcenia (x, y) ↦ x+y z X×X w X oraz (λ, x) ↦ λx z 𝔽×X w X są ciągłe. Ponadto wszystkie te przestrzenie są lokalnie wypukłe (tzn. są takimi przestrzeniami, w których istnieje baza topologii złożona ze zbiorów wypukłych).

6 Twierdzenia Banacha o przekształceniu otwartym i wykresie domkniętym

Zanim sformułujemy główne twierdzenie tego wykładu, przypomnijmy definicję przekształcenia otwartego.

Definicja 6.1. Przekształcenie T między przestrzeniami topologicznymi X i Y jest otwarte, jeśli T (U) jest zbiorem otwartym w Y dla dowolnego otwartego zbioru U w X.

Twierdzenie 6.2 (Banacha o przekształceniu otwartym). Załóżmy, że T jest ciągłym operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha X i Y. Wówczas T jest na wtedy i tylko wtedy, gdy T jest otwarty.

Dowód. W dowodzie poniżej B_{X} i B_{Y} będą oznaczać otwarte kule jednostkowe odpowiednio w X i Y.

”⇐”. Oczywiście 0 ∈ T (B_{X}), zatem z otwartości T, δB_{Y} ⊂ T (B_{X}) dla pewnego δ > 0 i nδB_{Y} ⊂ T (nB_{X}), czyli T (X) ⊃ ⋃ _{n 1} nδB_{Y} = Y.

”⇒”. Wiemy, że T (X) = ⋃ _{n 1} T (nB_{X}) = Y, zatem na mocy twierdzenia Baire’a istnieje n takie, że domknięcie T (nB_{X}) ma niepuste wnętrze. Załóżmy, że B(y_{0}, ε) = y_{0} + εB_{Y} ⊂ \overline{T (nB_{X})}. Wiemy, że y_{0} = T x_{0} dla pewnego x_{0} ∈ X, zatem

εB_{Y} ⊂ \overline{T (nB_{X})}− T x_{0} = \overline{T (nB_{X} − x_{0})} ⊂ \overline{T ((n + ∥x_{0}∥)B_{X})} .

Dzieląc stronami przez n + ∥x_{0}∥ dostajemy, że ε_{1}B_{Y} ⊂ \overline{T (B_{X})} dla pewnego ε_{1} > 0.

Pokażemy teraz, że

ε_{1}B_{Y} ⊂ \overline{T (B_{X})}⊂ T (2B_{X}).  (12)

Pierwsze zawieranie już wykazaliśmy, by udowodnić drugie ustalmy y ∈ \overline{T (B_{X})}. Istnieje x_{1} ∈ B_{X} takie, że ∥y − T x_{1}∥ < ε_{1}/2, czyli

y − T x_{1} ∈ \frac{1}{2}ε_{1}B_{Y} ⊂ \frac{1}{2}\overline{T (B_{X})}= \overline{T (\frac{1}{2}B_{X})}.

Możemy zatem wybrać x_{2} ∈ \frac{1}{2}B_{X} takie, że

y − T (x_{1} + x_{2}) ∈ \frac{1}{4}ε_{1}B_{Y} ⊂ \overline{T (\frac{1}{4}B_{X})}.

Kontynuując konstrukcję znajdziemy x_{1}, x_{2}, … ∈ X takie, że x_{k} ∈ \frac{1}{2^{k−1}} B_{X} oraz y − T (x_{1} + …+ x_{k}) ∈ \frac{1}{2^{k}} ε_{1}B_{Y}. Ciąg s_{k} = x_{1} + …+ x_{k} spełnia warunek Cauchy’ego jest więc zbieżny do pewnego elementu s ∈ X takiego, że ∥s∥ = lim_{k} ∥s_{k}∥ ∑ _{k=1}^{∞} ∥x∥_{k} < 2 oraz y = T s ∈ T (2B_{X}). Wykazaliśmy zatem (12).

Weźmy teraz dowolny zbiór otwarty U w X i niech y ∈ T (U), czyli y = T x dla pewnego x ∈ U. Z otwartości U istnieje δ > 0 takie, że x+δB_{X} ⊂ U, wtedy

T (U) ⊃ T (x + δB_{X}) = y + \frac{δ}{2}T (2B_{X}) ⊃ y + \frac{δ}{2}ε_{1}B_{Y},

co pokazuje (wobec dowolności wyboru y ∈ T (U)), że T (U) jest otwarty, czyli przekształcenie T jes owarte.

Wniosek 6.3. Załóżmy, że T jest różnowartościowym ciągłym operatorem z przestrzeni Banacha X na przestrzeń Banacha Y. Wówczas operator T^{−1} jest ciągły.

Dowód. Operator T^{−1} jest oczywiście dobrze określony, poza tym dla dowolnego zbioru otwartego U w X, zbiór (T^{−1} )^{−1} (U) = T (U) jest otwarty w Y na mocy Twierdzenia 6.2, co dowodzi ciągłości T^{−1} .

Wniosek 6.4. Załóżmy, że ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} są dwiema normami na przestrzeni liniowej X oraz przestrzenie (X, ∥ ∥_{1}) i (X, ∥ ∥_{2}) są zupełne. Wtedy, jeśli istnieje C_{1} < ∞ takie, że ∥x∥_{1} C_{1}∥x∥_{2} dla wszystkich x ∈ X, to istnieje C_{2} < ∞ takie, że ∥x∥_{2} C_{2}∥x∥_{1} dla x ∈ X, czyli normy ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} są równoważne.

Dowód. Operator Id: (X, ∥ ∥_{2}) → (X, ∥ ∥_{1}) jest ciągły, różnowartościowy i na, zatem jego odwrotność czyli Id: (X, ∥ ∥_{1}) → (X, ∥ ∥_{2}) też jest operatorem ciągłym.

Uwaga 6.5. W powyższym wniosku kluczowa jest zupełność obu przestrzeni. Np. na L_{2}[0, 1] zachodzi nierówność ∥f∥_{L_{1}} ∥f∥_{L_{2}} , a nie zachodzi szacowanie ∥f∥_{L_{2}} C∥f∥_{L_{1}} na tej przestrzeni.

Definicja 6.6. Wykresem przekształcenia T z przestrzeni topologicznej X w przestrzeń topologiczną Y nazywamy zbiór Γ(T) = {(x, T x): x ∈ X} ⊂ X × Y.

Zauważmy, że każda funkcja ciągła ma domknięty wykres. Odwrotna implikacja na ogół nie jest prawdziwa – funkcja f: ℝ → ℝ dana wzorem f(x) = x^{−1} dla x ≠ 0 i f(0) = 0 ma domknięty wykres, a nie jest ciągła w

0. Okazuje, że dla przekształceń liniowych między przestrzeniami Banacha domkniętość wykresu jest równoważna ciągłości przekształcenia.

Twierdzenie 6.7 (Banacha o wykresie domkniętym). Przekształcenie liniowe T między przestrzeniami Banacha X i Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy ma domknięty wykres.

Dowód. Oczywiście każde ciągłe przekształcenie ma domknięty wykres. Wystarczy więc udowodnić przeciwną implikację. Załóżmy zatem, że wykres T jest domknięty, wtedy Γ(T) jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Banacha X × Y z normą ∥(x, y)∥ = ∥x∥_{X} + ∥y∥_{Y}. Zatem Γ(T) z tą normą jest przestrzenią Banacha. Zauważmy, że rzut z Γ(T) na X, Γ(T) ∋ (x, T y) ↦ x ∈ X jest ciągły (bo ma normę nie większą niż jeden) oraz różnowartościowy. Zatem z Wniosku 6.3 przekształcenie odwrotne, czyli X ∋ x ↦ (x, T y) ∈ Γ(T) jest ciągłe, ale to przekształcenie po złożeniu z rzutem na Y, który też jest ciągły, daje T, czyli T jest ciągłe jako złożenie przekształceń ciągłych.

Uwaga 6.8. By udowodnić ciągłość odwzorowania T między przestrzeniami metrycznymi X i Y musimy wykazać, że

jeśli x_{n} zbiega do x, to T x_{n} zbiega do T x.

Twierdzenie o wykresie domkniętym pokazuje, że jeśli T jest liniowe, a X i Y są przestrzeniami Banacha, to wystarczy pokazać słabszą implikację:

jeśli x_{n} zbiega do x oraz T x_{n} zbiega do y, to T x = y.

Przykład 1. Rozważmy przekształcenie liniowe T z przestrzeni Banacha X w przestrzeń l_{p}. Wówczas T x = (T_{n}x)_{n 1} , gdzie T_{n}: X → 𝔽. Przekształcenie T jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie T_{n} są ciągłe.

Implikacja ”⇒” jest oczywista. By wykazać ” ⇐ ” skorzystamy z twierdzenia o wykresie domkniętym. W tym celu załóżmy, że x_{n} → x w X oraz T x_{n} = (T_{m}(x_{n}))_{m 1} → y = (y(m))_{m 1} w l_{p}. Zauważmy, że wynika stąd w szczególnośći, że T_{m}x_{n} → y(m) dla wszystkich m, czyli z ciągłości T_{m}, y(m) = T_{m}x, a zatem y = T x, czyli T ma domknięty wykres, więc jest ciągły.

Przykład 2. Rozpatrzmy operator różniczkowania T f = f′ z C^{1}[0, 1] z norma supremum w C[0, 1]. Łatwo sprawdzić, że T ma wykres domknięty, a oczywiście T nie jest ciągły (np. f_{n}(x) = \frac{1}{n}x^{n} spełnia ∥f_{n}∥_{∞} = \frac{1}{n} oraz ∥T f_{n}∥_{∞} = 1). Pokazuje to, że w twierdzeniu o wykresie domkniętym istotne jest założenie, że X jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń C^{1}[0, 1] z normą supremum nie jest zupełna, jeśli rozważymy tę przestrzeń z normą zupełną, np. ∥f∥_{∞} + ∥f′∥_{∞} , to operator różniczkowania stanie się ciągły.

7 Operatory zwarte

Definicja 7.1. Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha X i Y. Mówimy, że T jest zwarty, jeśli \overline{T (B_{X})} jest zwartym podzbiorem Y. Przestrzeń opertorów zwartych między X i Y będziemy oznaczać przez K(X, Y), będziemy też pisać K(X) zamiast K(X, X).

Fakt 7.2. i) Każdy operator zwarty jest ciągły ii) Operator liniowy T: X → Y jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu ograniczonego w X można wybrać podciąg x_{n_{k}} taki, że T x_{n_{k}} jest zbieżny.

Dowód. i) Każdy zbiór zwarty jest ograniczony, zatem T (B_{X}) ⊂ MB_{Y} dla pewnego M < ∞, ale to oznacza, że ∥T ∥ M < ∞, czyli T jest ciągły.

ii) Jeśli ciąg x_{n} jest ograniczony, to x_{n} ∈ MB_{X} dla pewnego M < ∞, stąd T x_{n} jest ciągiem elementów zbioru zwartego M\overline{T (B_{X})}, czyli ma podciąg zbieżny. Na odwrót, jeśli y_{n} ∈ \overline{T (B_{X})}, to istnieje ciąg x_{n} ∈ B_{X} taki, że ∥y_{n}−T x_{n}∥ 1/n. Wystarczy zauważyć, że zbieżność T x_{n_{k}} implikuje zbieżność y_{n_{k}} i skorzystać z ciągowej definicji zwartej przestrzeni metrycznej.

Fakt 7.3. Jednostkowa kula domknięta w przestrzeni unormowanej X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy X jest skończenie wymiarowe.

Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Z faktu natychmiast otrzymujemy:

Wniosek 7.4. Operator identycznościowy na przestrzeni Banacha X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dimX < ∞.

Przykład 1. Każdy operator ciągły skończonego rzędu jest zwarty. Istotnie, wtedy \overline{T (B_{X})}jest ograniczonym podzbiorem przestrzeni skończenie wymiarowej T (X), zatem jest zwarty.

Przykład 2. Załóżmy, że k = k(x, y): [0, 1]^{2} → 𝔽 jest funkcją ciągłą. Określmy

Kf(x) := ∫_{0}^{1} k(x, y)f(y)dy x ∈ [0, 1], f ∈ C[0, 1].

Wówczas K jest zwartym operatorem na C[0, 1]. Zauważmy najpierw, że

|Kf(x_{1}) − Kf(x_{2})|  ∫_{0}^{1} |k(x_{1}, y) − k(x_{2}, y)||f(y)|dy

∥f∥_{∞} sup_{y∈[0,1]} |k(x_{1}, y) − k(x_{2}, y)|.

Z jednostajnej ciągłości funkcji k wynika zatem, że Kf jest funkcją ciągłą, czyli K jest liniowym operatorem na C[0, 1]. Ponadto

∥Kf∥_{∞} ∥f∥_{∞} sup_{x,y}|k(x, y)|,

stąd ∥K∥ sup_{x,y} |k(x, y)| < ∞, czyli K jest ciągły. By pokazać zwartość k, czyli prezwartość zbioru A = K(B_{C[0,1]}) w C[0, 1] skorzystamy z twierdzenia Arzeli-Ascolego. Z powyższych rachunków wynika, że jeśli g ∈ A, to ∥g∥_{∞} sup_{x,y} |k(x, y)| oraz jeśli |x_{1} − x_{2}| < δ, to

|g(x_{1}) − g(x_{2})| sup_{y∈[0,1]} |k(x_{1}, y) − k(x_{2}, y)| ε,

dla odpowiednio małego δ. Zatem A jest wspólnie ograniczoną rodziną funkcji równociągłych, zatem jest prezwarta w C[0, 1].

Przypomnijmy, że przez B(X, Y) oznacamy przestrzeń ciągłych odwzorowań liniowych z X w Y z normą operatorową.

Twierdzenie 7.5. Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami Banacha.

i) Przestrzeń K(X, Y) jest domkniętą podprzestrzenią B(X, Y). ii) Jeśli operator T: X → Y jest zwarty, a operatory S_{1}: X′ → X oraz S_{2}: Y → Y′ są ciągłe, to operator S_{2}T S_{1}: X′→ Y′ jest zwarty Dowód. i) To, że K(X, Y) jest przestrzenią liniową jest łatwym ćwiczeniem. By wykazać jej domkniętość w B(X, Y) załóżmy, że T_{n} ∈ K(X, Y) zbiega do T w normie operatorowej. Niech x_{m} będzie ciągiem wektorów z kuli jednostkowej X, musimy pokazać, że ciąg T x_{m} ma podciąg zbieżny. Ze zwartości operatorów T_{n} wynika, że dla dowolnego n, każdy podciąg (T_{n}x_{m})_{m} ma podciąg zbieżny. Metodą przekątniową możemy wybrać podciąg m_{k} taki, że dla każdego n ciąg (T_{n}x_{m_{k}} ) jest zbieżny do pewnego y_{n} ∈ Y. Pokażemy, że ciąg y_{n} jest zbieżny. Mamy dla ustalonych n_{1} i n_{2} oraz odpowiednio dużych m_{k},

∥y_{n_{1}} − y_{n_{2}} ∥ ∥y_{n_{1}} − T_{n_{1}} x_{m_{k}} ∥ + ∥T_{n_{1}} x_{m_{k}} − T_{n_{1}} x_{m_{k}} ∥ + ∥T_{n_{2}} x_{m_{k}} − y_{n_{2}} ∥
ε + ∥T_{n_{1}} − T_{n_{2}} ∥∥x_{m_{k}} ∥ + ε 2ε + ∥T_{n_{1}} − T_{n_{2}} ∥.

Stąd, ponieważ T_{n} jest ciągiem Cauchy’ego w B(X, Y), więc y_{n} jest Cauchy’ego w Y, czyli jest zbieżny do pewnego y. By zakończyć dowód pokażemy, że T x_{m_{k}} zbiega do y, w tym celu szacujemy dla ustalonego n i odpowiednio dużego m_{k}

∥T x_{m_{k}} − y∥ ∥T x_{m_{k}} − T_{n}x_{m_{k}} ∥ + ∥T_{n}x_{m_{k}} − y_{n}∥ + ∥y_{n} − y∥
∥T − T_{n}∥ + ∥y_{n} − y∥ + ∥T_{n}x_{m_{k}} − y_{n}∥.

Pierwsze dwa składniki są małe dla dużego n, a ostatni zbiega do zera przy ustalonym n, gdy k dąży do nieskończoności.

ii) Wystarczy zauważyć, że operatory ciągłe przeprowadzają ciągi ograniczone na ograniczone, a zbieżne na zbieżne.

Przykład 3. (Operatory Hilberta-Schmidta) Załóżmy, że L_{2}(X) = L_{2}(X, μ) oraz k = k(x, y) ∈ L_{2}(X × X, μ ⊗ μ). Określmy operator K na L_{2}(X) wzorem

Kf(x) = ∫_{X} k(x, y)f(y)dμ(y).

Zauważmy, że na podstawie nierówności Schwarza

|Kf(x)| ∥f∥_{2}( ∫_{X} k^{2}(x, y)dμ(y))^{1/2},

stąd natychmiast dostajemy

∥Kf∥_{2}^{2} ∥f∥_{2}^{2} ∫_{X} ∫_{X} k^{2}(x, y)dμ(x)dμ(y),

czyli K: L_{2}(X) → L_{2}(X) i ∥K∥ ∥k∥_{2} < ∞. Pokażemy, że K jest operatorem zwartym. Niech (g_{α})_{α} będziem bazą o.n. L_{2}(X), wtedy (g_{α}(x)g_{β}(y))_{α,β} jest bazą o.n. L_{2}(X × X), czyli

k(x, y) = ∑_{α,β} a_{α,β} g_{α}(x)g_{β}(y).

Ponieważ tylko przeliczalnie wiele współczynników w powyższej sumie jest niezerowych, więc po ich przenumerowaniu możemy zapisać

k(x, y) = ∑_{i,j=1}^{∞} a_{i,j} g_{i}(x)g_{j}(y).

Określmy

k_{n}(x, y) := ∑_{i,j=1}^{n} a_{i,j} g_{i}(x)g_{j}(y)

oraz

K_{n}f(x) := ∫_{X} k_{n}(x, y)f(y)dμ(y) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{i,j} g_{i}(x) ∫_{X} f(y)g_{j}(y)dμ(y).

Wtedy K_{n} jest operatorem skończonego rzędu, więc jest zwarty, ponadto

∥K_{n} − K∥ ∥k_{n} − k∥_{2} = ( ∑_{max(i,j) n+1} |a_{i,j} |^{2})^{1/2} → 0,

czyli K jest zwarty jako granica w normie operatorów zwartych.

Fakt 7.6. Niech H będzie nieskończenie wymiarową, ośrodkową przestrzenią Hilberta z bazą o.n. (u_{n})_{n 1} oraz P_{n} oznacza rzut ortogonalny na Lin(u_{1}, …, u_{n}). Wówczas operator liniowy T ∈ B(X, H) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy lim_{n→∞} ∥P_{n}T − T ∥ = 0.

Dowód. �⇐” Operatory P_{n}T mają rząd co najwyżej n, zatem T jest zwarty jako granica (w normie operatorowej) operatorów skończenie wymiarowych.

�⇒” Załóżmy, że lim sup_{n→∞} ∥P_{n}T − T ∥ > 0, wtedy istnieje ciąg (n_{k}) oraz wektory x_{n_{k}} ∈ X o normie 1 takie, że ∥P_{n_{k}} T x_{n_{k}} − T x_{n_{k}} ∥ ε dla wszystkich k. Przechodząc ewentualnie do podciągu możemy zakładać (na mocy zwartości T), że T x_{n_{k}} → y. Ale wtedy

ε ∥P_{n_{k}} T x_{n_{k}} − T x_{n_{k}} ∥ ∥P_{n_{k}} (T x_{n_{k}} − y)∥ + ∥P_{n_{k}} y − y∥ + ∥y − T x_{n_{k}} ∥
2∥T x_{n_{k}} − y∥ + ∥P_{n_{k}} y − y∥ → 0,

gdyż P_{n_{k}} y → y i dochodzimy do sprzeczności.

Uwaga 7.7. Powyższy dowód pokazuje coś więcej. Załóżmy, że Y jest przestrzenią Banacha na której istnieje ciąg operatorów skończenie wymiarowych S_{n} zbieżny silnie do Id_{Y}, tzn. S_{n}y → y dla wszystkich y ∈ Y. Wówczas operator T ∈ B(X, Y) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ∥S_{n}T − T ∥ → 0. W szczególności każdy operator z X w Y zwarty na takiej przestrzeni jest granicą operatorów skończenie wymiarowych. Ta ostatnia własność nazywa się własnością aproksymacji dla przestrzeni Y. Per Enflo skonstruował, na początku lat 70tych, jako pierwszy przykład przestrzeni Banacha bez własności aproksymacji, odpowiadając na pytanie postawione w 1936 roku przez Stanisława Mazura.

8 Operator Sprzężony

Definicja 8.1. Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha, a T: X → Y ciągłym operatorem liniowym. Definiujemy operator sprzężony T^{∗}: Y^{∗} → X^{∗} wzorem T^{∗}φ := φ ∘ T dla φ ∈ Y^{∗}.

Przykład 1. Załóżmy, że X = (𝔽^{n}, ∥ ∥_{X}), Y = (𝔽^{m}, ∥ ∥_{Y}) oraz T: X → Y jest liniowy, wtedy T x = Ax dla x ∈ 𝔽^{n}, gdzie A jest macierzą m × n. Wszystkie funkcjonały liniowe na X i Y są ciągłe (bo topologie są równoważne euklidesowym), zatem X^{∗} można utożsamić z 𝔽^{n} a Y^{∗} z 𝔽^{m} w naturalny sposób, tzn. np. dla φ, y ∈ 𝔽^{m}, φ(y) = ∑ _{k=1}^{m} φ_{k}y_{k}. Wtedy dla φ ∈ Y^{∗} = 𝔽^{m},

T^{∗}φ(x) = φ(T x) = ∑_{k=1}^{m} φ_{k}(T x)_{k} = ∑_{k=1}^{m} ∑_{l=1}^{n} φ_{k}a_{kl}y_{l} = ∑_{l=1}^{n} y_{l} ∑_{k=1}^{m} φ_{k}a_{kl}

czyli T^{∗}φ = A^{T}φ (zauważmy, że w przypadku 𝔽 = ℂ macierz T^{∗} to A^{T} nie A^{∗}!).

Przykład 2. Rozpatrzmy operator �przesunięcia w lewo” na l_{p} zadany wzorem L(x_{1}, x_{2}, …) = (x_{2}, x_{3}, …) dla 1 p < ∞. Wówczas R^{∗} jest operatorem na l_{q}, \frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1, i zauważmy, że dla y ∈ l_{q} i x ∈ l_{p} mamy

R^{∗}y(x) = y(Rx) = ∑_{n=1}^{∞} y_{n}x_{n+1} = 0x_{1} + ∑_{n=2}^{∞} y_{n−1} x_{n} = Ly(x),

gdzie L(y_{1}, y_{2}, …) = (0, y_{1}, y_{2}, …). Zatem R^{∗} = L, gdzie L jest operatorem �przesunięcia w prawo” na l_{q}.

Przykład 3. Rozpatrzmy T: l_{1} → c_{0} dany wzorem T x = (∑ _{k=n}^{∞} x_{k})_{n 1} . Wówczas przy utożsamieniu l_{1}^{∗} z l_{∞} i c_{0}^{∗} z l_{1} mamy T^{∗}: l_{1} → l_{∞} oraz dla y ∈ l_{1} i x ∈ c_{0},

T^{∗}y(x)= y(T x) = ∑_{n=1}^{∞} y_{n}(T x)_{n} = ∑_{n=1}^{∞} y_{n} ∑_{k=n}^{∞} x_{k} = ∑_{k=1}^{∞} x_{k} ∑_{n=1}^{k} y_{n} = Sy(x),

gdzie T^{∗}y = Sy = (∑ _{n=1}^{k} y_{n})_{k 1} .

Twierdzenie 8.2. Jeśli T ∈ B(X, Y), to T^{∗} ∈ B(Y^{∗}, X^{∗}) i ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥.

Dowód. Złożenie przekształceń liniowych i ciągłych jest ciągłe, zatem T^{∗}φ ∈ X^{∗} dla φ ∈ Y^{∗}. Liniowość T^{∗} jest oczywista, ponadto

∥T^{∗}∥= sup_{∥φ∥ 1} ∥T^{∗}φ∥ = sup_{∥φ∥ 1} sup_{∥x∥ 1} |φ(T x)| = sup_{∥x∥ 1} sup_{∥φ∥ 1} |φ(T x)|

= sup_{∥x∥ 1} ∥T x∥ = ∥T ∥,

czyli w szczególności T^{∗} jest ograniczony, a zatem ciągły.

Oczywiście (λ_{1}T_{1}+λ_{2}T_{2})^{∗} = λ_{1}T_{1}^{∗}+λ_{2}T_{2}^{∗} dla T_{1}, T_{2} ∈ B(X, Y) i λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝔽. Kolejny fakt pokazuje jak wygląda sprzężenie złożenia operatorów liniowych.

Fakt 8.3. Jeśli T ∈ B(X, Y) i S ∈ B(Y, Z), to ST ∈ B(X, Z) i (ST)^{∗} = T^{∗}S^{∗} ∈ B(Z^{∗}, X^{∗}). W szczególności, jeśli T jest izmorofizmem, to T^{∗} jest izomorfizmem i (T^{∗})^{−1} = (T^{−1} )^{∗}.

Dowód. Mamy dla dowolnego φ ∈ Z^{∗},

(ST)^{∗}φ = φ ∘ S ∘ T = T^{∗}φ ∘ S = T^{∗}S^{∗}φ,

czyli istotnie (ST)^{∗} = T^{∗}S^{∗}. Jeśli T jest odwracalny to T^{−1} ∈ B(Y, X) zatem Id_{X^{∗}} = (Id_{X})^{∗} = (T^{−1} T)^{∗} = T^{∗}(T^{−1} )^{∗} oraz Id_{Y^{∗}} = (Id_{Y})^{∗} = (T T^{−1} )^{∗} = (T^{−1} )^{∗}T^{∗}.

Jeśli T ∈ B(X, Y), to T^{∗} ∈ B(Y^{∗}, X^{∗}) oraz T^{∗∗} := (T^{∗})^{∗} = B(X^{∗∗}, Y^{∗∗}). Przestrzeń X jak wiemy można traktować jako podprzestrzeń X^{∗∗}. Następny fakt mówi, że operator T^{∗∗} obcięty do X pokrywa się z T. W szczególności dla przestrzeni refleksywnych T^{∗∗} = T.

Fakt 8.4. Załóżmy, że i_{X} i i_{Y} są naturalnymi włożeniami X w X^{∗∗} i Y w Y^{∗∗}. Wtedy dla dowolnego T ∈ B(X, Y), T^{∗∗}(i_{X}(x)) = i_{Y}(T x).

Dowód. Mamy dla φ ∈ Y^{∗} oraz x ∈ X,

T^{∗∗}(i_{X}(x))(φ) = i_{X}(x) ∘ T^{∗}(φ) = T^{∗}(φ)(x) = φ(T x) = i_{Y}(T x)(φ),

gdzie kolejno korzystamy z definicji T^{∗∗} = (T^{∗})^{∗}, i_{X}, T^{∗} oraz i_{Y}.

Twierdzenie 8.5 (Schauder). Operator T ∈ B(X, Y) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator T^{∗} ∈ B(Y^{∗}, X^{∗}) jest zwarty.

Dowód. �⇒” Załóżmy, że T jest zwarty, niech φ_{n} będzie ciągiem funkcjonałów z B_{Y^{∗}}, chcemy pokazać, że T^{∗}φ_{n_{k}} jest zbieżny dla pewnego podciągu (n_{k}). Zbiór K = \overline{T (B_{X})}⊂ Y jest zbiorem zwartym, metrycznym (w metryce indukowanej przez normę Y). Określmy

F_{n} =: (φ_{n})_{|K} : K → 𝔽.

Funkcje F_{n} są oczywiście ciągłe, ponadto jeśli y_{1}, y_{2} ∈ K, ∥y_{1} − y_{2}∥ ε, to

|F_{n}(y_{1}) − F_{n}(y_{2})| ∥φ_{n}∥∥y_{1} − y_{2}∥ ∥y_{1} − y_{2}∥ ε,

czyli (F_{n}) jest równociągłym ciągiem funkcji z C(K). Zauważmy też, że

sup_{n}|F_{n}(y)| sup_{n}∥φ_{n}∥∥y∥ ∥y∥ dla y ∈ K,

czyli ciąg (F_{n}) jest punktowo ograniczony. Zatem z twierdzenia Arzeli-Ascolego wynika, że ciąg F_{n} ma podciąg F_{n_{k}} jednostajnie zbieżny. Zauważmy jednak, że

∥F_{n_{k}} − F_{n_{l}} ∥_{∞} = sup_{y∈K} |φ_{n_{k}} (y) − φ_{n_{l}} (y)| sup_{x∈B_{X}} |φ_{n_{k}} (T x) − φ_{n_{l}} (T x)|

= sup_{x∈B_{X}} |T^{∗}φ_{n_{k}} (x) − T^{∗}φ_{n_{l}} (x)| = ∥T^{∗}φ_{n_{k}} − T^{∗}φ_{n_{l}} ∥.

Stąd wynika, że (T^{∗}φ_{n_{k}}) jest ciągiem Cauchy’ego w X^{∗}, czyli jest zbieżny.

�⇐” Jeśli T^{∗} jest zwarty, to z udowodnionej już implikacji wynika, że T^{∗∗} = (T^{∗})^{∗} jest zwarty. Ale T = i_{Y}^{−1} ∘ T^{∗∗} ∘ i_{X} na podstawie Faktu 8.4, czyli jest zwarty jako złożenie operatora zwartego i dwóch izometrii.

Definicja 8.6. Mówimy, że ciągły operator liniowy T między przestrzeniami Banacha X i Y jest izomorficznym włożeniem, jeśli T jest izomorfizmem X na T (X), tzn. istnieje stała c > 0 taka, że ∥T x∥ c∥x∥ dla x ∈ X.

Uwaga 8.7. T ∈ B(X, Y) jest izomorficznym włożeniem wtedy i tylko wtedy, gdy T jest różnowartościowy i T (X) jest domknięte.

Twierdzenie 8.8. Załóżmy, że T jest ciągłym operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha X i Y. Wówczas

i) T jest izomorficznym włożeniem wtedy i tylko wtedy, gdy T^{∗} jest na, ii) T jest na wtedy i tylko wtedy, gdy T^{∗} jest izomorficznym włożeniem.

Dowód. i) �⇐” Jeśli T^{∗} jest na, to T^{∗} jest przekształceniem otwartym, czyli T^{∗}(B_{Y ∗}) ⊃ δB_{X^{∗}} dla pewnego δ > 0. Ale wtedy

∥T x∥ = sup_{φ∈B_{Y ∗}} φ(T x) = sup_{φ∈B_{Y ∗}} T^{∗}φ(x) sup_{ψ∈δB_{X^{∗}}} ψ(x) = δ∥x∥,

czyli T jest izomorficznym włożeniem.

�⇒”. Jeśli T jest izomorficznym włożeniem, to T = i ∘ T̃, gdzie T̃ jest izomorfizmem X na Y_{1} = T (X), a i włożeniem Y_{1} w Y. Łatwo sprawdzić, z twierdzenia Hahna-Banacha, że i^{∗} jest przekształceniem Y^{∗} na Y_{1}^{∗}, stąd ponieważ T̃^{∗} jest izomorfizmem Y_{1}^{∗} i X^{∗}, więc T^{∗} = T̃^{∗}i^{∗} jest na.

ii) �⇒” Załóżmy, że T^{∗} jest izomorficznym włożeniem oraz y_{0} ∉ \overline{T (B_{X})}. Z twierdzenia Mazura o oddzielaniu istnieje funkcjonał φ ∈ Y^{∗} oddzielający zbiór domknięty wypukły \overline{T (B_{X})} od wypukłego zwartego zbioru \{y_{0}\}. Ponieważ 0 ∈ T (B_{X}), więc (po ewentulanym podzieleniu przez φ(y_{0}) ≠ 0) możemy założyć, że φ(y_{0}) = 1 > sup_{y∈T (B_{X} )} Re(φ(y)). Oczywiście λT (B_{X}) = T (λB_{X}) = T (B_{X}) dla |λ| = 1, więc otrzymujemy

1 sup_{y∈T (B_{X} )} |φ(y)| = sup_{x∈B_{X}} |φ(T x)| = sup_{x∈B_{X}} |T^{∗}φ(x)| = ∥T^{∗}φ∥ δ∥φ∥,

gdzie w ostatniej nierówności wykorzystaliśmy to, że T^{∗} jest izomorficznym włożeniem. Stąd

1 = φ(y_{0}) ∥φ∥∥y_{0}∥ δ^{−1} ∥y_{0}∥.

W ten sposób wykazaliśmy, że δB_{Y} ⊂ \overline{T (B_{X})}. Jak w dowodzie twierdzenia Banacha o przekształceniu otwartym wnioskujemy, że δB_{Y} ⊂ T (2B_{X}), stąd łatwo wynika, że T jest na.

�⇐” Jeśli T jest na Y, to T jest przekształceniem otwartym, czyli T (B_{X}) ⊂ δB_{Y} dla pewnego δ > 0. Stąd dla φ ∈ Y^{∗},

∥T^{∗}φ∥ = sup_{∥x∥ 1} |T^{∗}φ(x)| = sup_{∥x∥ 1} |φ(T x)| sup_{∥y∥ δ} |φ(y)| = δ∥y∥,

czyli T^{∗} jest izomorficznym włożeniem Y^{∗} w X^{∗}.

9 Widmo (spektrum) operatora

Definicja 9.1. Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha. Automorfizmem przestrzeni X nazywamy przekształcenie T ∈ B(X) = B(X, X) takie, że T^{−1} ∈ B(X). Zbiór wszystkich automorfizmów X będziemy oznaczali przez Aut(X).

Z Twierdzenia Banacha o przekształceniu otwartym wynika (zob. Wniosek 6.3), że T ∈ B(X) jest automorfizmem X wtedy i tylko wtedy, gdy T jest różnowartościowy i na.

Fakt 9.2. Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha, T ∈ B(X) oraz ∥T ∥ < 1. Wówczas Id − T ∈ Aut(X) oraz

∥(Id − T)^{−1} ∥ \frac{1}{1 − ∥T ∥} , ∥(Id − T)^{−1} − Id∥ \frac{∥T ∥}{1 − ∥T ∥} .

Dowód. Idea dowodu polega na uogólnieniu wzoru (1 − t)^{−1} = ∑ _{k 0} t^{k}, |t| < 1 na przypadek gdy 1 zastąpimy operatorem identycznościowym, a liczbę t, operatorem T. W tym celu zdefiniujmy T^{0} = Id, T^{k} = T T^{k−1} dla k = 1, 2, … oraz

S_{n} := ∑_{k=0}^{n} T^{k} ∈ B(X).

Wówczas dla m > n,

∥S_{m} − S_{n}∥ = ∥ ∑_{k=n+1}^{m} T^{k}∥ ∑_{k=n+1}^{m} ∥T^{k}∥ ∑_{k=n+1}^{∞} ∥T ∥^{k} = \frac{∥T ∥^{n+1}}{1 − ∥T ∥} ,

stąd (S_{n}) jest ciągiem Cauchy’ego w B(X), czyli zbiega (w normie operatorowej) do pewnego operatora S ∈ B(X). Zauważmy, że

(Id − T)S = lim_{n→∞} (Id − T)S_{n} = lim_{n→∞} (Id − T^{n+1} ) = Id
S(Id − T) = lim_{n→∞} S_{n}(Id − T) = lim_{n→∞} (Id − T^{n+1} ) = Id,

co pokazuje, że

(Id − T)^{−1} = S = ∑_{k=0}^{∞} T^{k}.

Stąd natychmiast

∥(Id − T)^{−1} ∥ ∑_{k=0}^{∞} ∥T^{k}∥ ∑_{k=0}^{∞} ∥T ∥^{k} = \frac{1}{1 − ∥T ∥}

∥(Id − T)^{−1} − Id∥ = ∥ ∑_{k=1}^{∞} T^{k}∥ ∑_{k=1}^{∞} ∥T ∥^{k} = \frac{∥T ∥}{1 − ∥T ∥} .

Wniosek 9.3. Jeśli T ∈ Aut(X) oraz S ∈ B(X) spełnia ∥T − S∥ ∥T^{−1} ∥^{−1} , to S ∈ Aut(X) oraz

∥S^{−1} − T^{−1} ∥ \frac{∥T^{−1} ∥^{2}∥T − S∥}{1 − ∥T^{−1} ∥∥T − S∥} .

W szczególności Aut(X) jest otwartym podzbiorem B(X).

Dowód. Mamy S = T − (T − S) = T (Id− T^{−1} (T − S)), ponadto ∥T^{−1} (T − S)∥ < 1, zatem z Faktu 9.2 wynika, że S ∈ Aut(X) jako iloczyn operatorów z Aut(X). Ponadto

∥S^{−1} − T^{−1} ∥ = ∥(Id − T^{−1} (T − S))^{−1} T^{−1} − T^{−1} ∥

∥(Id − T^{−1} (T − S))^{−1} − Id∥∥T^{−1} ∥ \frac{∥T^{−1} ∥^{2}∥T − S∥}{1 − ∥T^{−1} ∥∥T − S∥} .

Definicja 9.4. Dla operatora liniowego T ∈ B(X) widmo (spektrum) T określamy wzorem

σ(T) = {λ ∈ 𝔽: T − λId ∉ Aut(X)}.

Przykład 1. Jeśli X jest skończenie wymiarowe, to operator liniowy na X jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy Ker(T) = 0, zatem widmo operatora na X to zbiór jego wartości własnych.

Przykład 2. Niech X = L_{p}[0, 1], 1 p ∞ oraz T f(x) = xf(x). Wówczas (T − λId)(x) = (x − λ)f(x) czyli, jeśli S = (T − λId)^{−1} istnieje, to Sf(x) = (x − λ)^{−1} f(x). Łatwo sprawdzić, że ∥S∥ = ∥(x − λ)^{−1} ∥_{L_{∞} [0,1]} < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy λ ∉ [0, 1], czyli σ(T) = [0, 1]. Ponadto T nie ma wartości własnych.

Fakt 9.5. Widmo dowolnego operatora T ∈ B(X) jest zbiorem zwartym.

Dowód. Jeśli λ_{0} ∉ σ(T) oraz |λ − λ_{0}| ∥(T − λ_{0}^{−1} Id)^{−1} ∥^{−1} , to z Wniosku 9.3 T −λId = T −λ_{0}Id+(λ−λ_{0})Id ∈ Aut(X), zatem λ ∉ σ(T). Pokazuje to, że 𝔽 \ σ(T) jest zbiorem otwartym, czyli σ(T) jest domknięte. Ponadto dla λ ≠ 0, T − λId = −λ(Id − T/λ) ∈ Aut(X), jeśli ∥T/λ∥ < 1, czyli λ > ∥T ∥. Pokazuje to, że σ(T) jest ograniczony, zatem jest zwarty.

Definicja 9.6. Rezolwentą operatora T w punkcie λ ∉ σ(T) nazywamy operator R_{λ} := (T − λId)^{−1} .

Fakt 9.7 (Równanie rezolwenty). Jeśli λ, μ ∉ σ(T), to

R_{λ}(T) − R_{μ}(T) = (λ − μ)R_{λ}(T)R_{μ}(T),

w szczególności R_{λ}(T)R_{μ}(T) = R_{μ}(T)R_{λ}(T).

Dowód. Mamy

R_{λ}(T) − R_{μ}(T) = (T − λId)^{−1} − (T − μId)^{−1}
= (T − λId)^{−1} ((T − μId) − (T − λId))(T − μId)^{−1}
= (λ − μ)R_{λ}(T)R_{μ}(T).

Wniosek 9.8. Przekształcenie λ ↦ R_{λ}(T) z 𝔽 \ σ(T) w B(X) jest ciągłe i różniczkowalne oraz

R′_{λ_{0}} (T) := lim_{λ→λ_{0}} \frac{R_{λ}(T) − R_{λ_{0}} (T)}{λ − λ_{0}} = R_{λ_{0}} (T)^{2} dla λ_{0} ∈ 𝔽 \ σ(T),

gdzie powyższa zbiezność zachodzi w normie operatorowej.

Dowód. By wykazać ciągłość w λ_{0} ∉ σ(T) wystarczy zauważyć stosując Wniosek 9.3 (z T = T − λ_{0}Id i S = T − λId), że dla |λ − λ_{0}| < ∥R_{λ_{0}} (T)∥^{−1} ,

∥R_{λ}(T) − R_{λ_{0}} (T)∥ |λ − λ_{0}|\frac{∥R_{λ_{0}} (T)∥^{2}}{1 − |λ − λ_{0}|∥R_{λ_{0}} (T)∥} .

Równanie rezolwenty oraz udowodniona ciągłość implikują zatem, że

\frac{R_{λ}(T) − R_{λ_{0}} (T)}{λ − λ_{0}} = R_{λ_{0}} (T)R_{λ}(T) → R_{λ_{0}} (T)^{2}

przy λ → 0.

Twierdzenie 9.9. Jeśli T ∈ B(X) i 𝔽 = ℂ, to σ(T) ≠ 0.

Dowód. Dla λ > ∥T ∥, na mocy oszacowania z Faktu 9.2,

∥R_{λ}(T)∥ = ∥(T − λId)^{−1} ∥ = \frac{1}{|λ|} ∥(Id − \frac{T}{λ})^{−1} ∥ \frac{1}{λ − ∥T ∥} → 0

przy λ → ∞. Załóżmy, że σ(T) = 0, wówczas Wniosek 9.8 implikuje, że dla dowolnego φ ∈ X^{∗} oraz x ∈ X funkcja λ ↦ φ(R_{λ}x) jest holomorficzna na ℂ. Wykazaliśmy, że jest zbieżna do zera przy λ → ∞, czyli stale równa zero, skąd wynika, że R_{λ} = 0, co jest oczywiście niemożliwe.

Przykład. Niech X = l_{2} oraz

T x = (x_{2}, −x_{1}, x_{4}, −x_{3}, …),

wówczas łatwo sprawdzić, że dla λ ∈ ℂ \ {−i, i},

R_{λ}x = (T − λ)^{−1} x = \frac{1}{1 + λ^{2}} (−λx_{1} − x_{2}, x_{1} − λx_{2}, −λx_{3} − x_{4}, x_{3} − λx_{4}, …).

Stąd, jeśli l_{2} i operator T rozpatrujemy nad ciałem 𝔽 = ℝ, to σ(T) = ∅, a jeśli 𝔽 = ℂ, to σ(T) = {−i, i}.

Fakt 9.10. Dla dowolnego operatora T ∈ B(X), σ(T) = σ(T^{∗}) oraz R_{λ}(T^{∗}) = R_{λ}(T)^{∗} dla λ ∉ σ(T).

Dowód. Niech S = T −λId wtedy S^{∗} = T^{∗}−λId_{X^{∗}} . Jeśli S jest odwracalny, to S^{∗} jest odwracalny i (S^{∗})^{−1} = (S^{−1} )^{∗}. Jeśli zaś S^{∗} jest odwracalny, to S jest odwracalny na podstawie Twierdzenia 8.8.

Lemat 9.11. Załóżmy, że X_{0} jest domkniętą właściwą podprzestrzenią X, wówczas istnieje x ∈ X taki, że ∥x∥ = 1 dist(x, X_{0}) \frac{1}{2}.

Dowód. Wybierzmy dowolny wektor x_{1} ∈ X \ X_{0} oraz x_{2} ∈ X_{0} taki, że ∥x_{1} − x_{2}∥ < 2dist(x_{1}, X_{0}) = 2dist(x_{1} − x_{2}, X_{0}) i wystarczy przyjąć x = (x_{1} − x_{2})/∥x_{1} − x_{2}∥.

Lemat 9.12. Załóżmy, że T jest operatorem zwartym na przestrzeni Banacha X wtedy, jeśli operator S = Id + T jest różnowartościowy, to jest na.

Dowód. Najpierw pokażemy, że S jest izomorficznym włożeniem. Załóżmy przeciwnie, wtedy istnieje ciąg x_{n} taki, że ∥x_{n}∥ = 1 oraz ∥Sx_{n}∥ → 0. Ze zwartości T, mamy T x_{n_{k}} → y, ale wtedy x_{n_{k}} = Sx_{n_{k}} − T x_{n_{k}} → −y, czyli Sy = − lim_{k} Sx_{n_{k}} = 0, co przeczy różnowartościowości S, gdyż ∥y∥ = lim_{k} ∥x_{n_{k}} ∥ = 1.

Zatem w szczególności S przekształca zbiory domknięte na zbiory domknięte. Załóżmy, że X_{1} = SX ≠ X, wtedy możemy zdefiniować ściśle malejący ciąg domkniętych podprzestrzeni X_{k} := S^{k}X. Wybierzmy x_{k} ∈ X_{k} takie, że ∥x_{k}∥ = 1 oraz dist(x_{k}, X_{k+1} ) \frac{1}{2}. Wtedy dla l > k,

∥T x_{k} − T x_{l}∥ = ∥ − x_{k} + (Sx_{k} + x_{l} − Sx_{l})∥ \frac{1}{2},

bo Sx_{k}, x_{l}, Sx_{l} ∈ X_{k+1} . Zatem ciąg T x_{n} nie ma podciągu zbieżnego, co przeczy zwartości T.

Uwaga 9.13. Przeciwna jest też odwrotna implikacja - jeśli S jest na, to jest różnowartościowy.

Twierdzenie 9.14 (Riesz-Schauder). Załóżmy, że T jest operatorem zwartym na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha X. Wówczas

i) 0 ∈ σ(T) ii) jeśli λ ∈ σ(T) \ {0}, to λ jest wartością własną skończonej krotności, iii) dla r > 0 zbiór σ(T) ∩ {λ: |λ| r} jest skończony, czyli tylko 0 może być punktem skupienia σ(T).

Dowód. i) Gdyby 0 ∉ σ(T), to T byłoby odwracalne i wtedy T (B_{X}) ⊃ εB_{X} dla ε = 1/∥T^{−1} ∥ > 0, co by znaczyło, że \overline{T (B_{X})} nie jest zwarte.

ii) Zauważmy, że T − λId = −\frac{1}{λ}(Id− λT) oraz operator −λT jest zwarty. Stąd, jeśli λ ≠ 0 nie jest wartością własną T, to, na mocy Lematu 9.12, T − λId jest różnowartościowy i na, zatem jest odwracalny, czyli λ ∉ σ(T). Jeśli Y = Ker(T − λId), to T (B_{Y}) = λB_{Y}, czyli Y musi być skończenie wymiarowe dla λ ≠ 0.

iii) Załóżmy, że r > 0 i σ(T) ∩ {λ: |λ| > r} jest nieskończony. Wtedy ze zwartości σ(T) wynika, że istnieją λ_{n} ∈ σ(T) parami różne, |λ_{n}| r takie, że λ_{n} → λ_{0} ∈ σ(T). Z punktu ii) wynika, że λ_{n} są wartościami własnymi, czyli istnieją x_{n} ≠ 0 takie, że T x_{n} = λ_{n}x_{n}.

Pokażemy najpierw, że x_{1}, x_{2}, … są liniowo niezależne. Załóżmy przeciwnie i weźmy najmniejsze m 1 takie, że x_{1}, …, x_{m} są liniowo niezależne, a x_{1}, …, x_{m+1} są liniowo zależne. Wtedy istnieją α_{1}, …, α_{m} ∈ 𝔽 takie, że x_{m+1} = ∑ _{k=1}^{m} α_{k}x_{k}, stąd

λ_{m+1} x_{m+1} = T x_{m+1} = ∑_{k=1}^{m} α_{k}T x_{k} = ∑_{k=1}^{m} α_{k}λ_{k}x_{k}

czyli

0 = x_{m+1} − x_{m+1} = ∑_{k=1}^{m} α_{k}( \frac{λ_{k}}{λ_{m+1}} − 1)x_{k},

co wobec liniowej niezależności x_{m} oznacza, że α_{1} = … = α_{m} = 0, czyli x_{m} = 0. Zatem dostaliśmy sprzeczność i wykazaliśmy liniową niezależność (x_{m})_{m 1} .

Niech X_{n} := Lin(x_{1}, …, x_{n}), znajdźmy wektory y_{n} ∈ X_{n} takie, że ∥y_{n}∥ = 1 oraz dist(y_{n}, X_{n−1} ) \frac{1}{2}. Zauważmy, że (T − λ_{n})(X_{n}) ⊂ X_{n−1} , stąd dla n > m,

\frac{1}{λ_{n}} T y_{n} − \frac{1}{λ_{m}} T y_{m} = y_{n} + (T − λ_{n}Id)\frac{y_{n}}{λ_{n}} − \frac{1}{λ_{m}} T y_{m} =: y_{n} + z_{n},

gdzie z_{n} ∈ X_{n−1} , zatem

∥ \frac{1}{λ_{n}} T y_{n} − \frac{1}{λ_{m}} T y_{m} ∥ dist(y_{n}, X_{n−1} ) \frac{1}{2}.

Ale λ_{n} → λ_{0} oraz ∥T y_{n}∥ ∥T ∥, więc (\frac{1}{λ_{n}} − \frac{1}{λ_{0}} )T y_{n} → 0, czyli dla n > m n_{0},

∥ \frac{1}{λ_{0}} T y_{n} − \frac{1}{λ_{0}} T y_{m} ∥ \frac{1}{4},

co pokazuje, że T y_{n} nie może mieć podciągu zbieżnego i przeczy zwartości T.

10 Operatory na przestrzeni Hilberta

10.1 Sprzężenie Hilbertowskie

Definicja 10.1. Załóżmy, że H jest przestrzenią Hilberta, a T: H → H jest ciągłym operatorem linowym. Operator T^{∗} określamy na H wzorem

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^{∗}y⟩ dla x, y ∈ H.  (13)

Fakt 10.2. Definicja jest poprawna, tzn. dla y ∈ H istnieje dokładnie jeden wektor T^{∗}y ∈ H spełniający (13). Ponadto T^{∗} ∈ B(H) oraz ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥.

Dowód. Dla ustalonego y ∈ H przekształcenie x ↦ ⟨T x, y⟩ jest liniowe i ciągłe na H (gdyż |⟨T x, y⟩| ∥T x∥∥y∥ ∥x∥∥T ∥∥y∥), zatem z twierdzenia Riesza istnieje dokładnie jeden wektor T^{∗}y taki, że ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^{∗}y⟩ dla wszystkich x ∈ H. Liniowość T^{∗} jest łatwą konsekwencją definicji, by wykazać ciągłość liczymy

∥T^{∗}∥= sup_{∥y∥ 1} ∥T^{∗}y∥ = sup_{∥x∥ 1} sup_{∥y∥ 1} |⟨x, T^{∗}y⟩| = sup_{∥y∥ 1} sup_{∥x∥ 1} |⟨T x, y⟩|

= sup_{∥x∥ 1} ∥T x∥ = ∥T ∥.

Uwaga 10.3. Oczywiście warunek (13) można zastąpić równoważnym

⟨T^{∗}x, y⟩ = ⟨x, T y⟩ dla x, y ∈ H.

Uwaga 10.4. Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, dla operatora T ∈ B(H) możemy zatem zdefiniować sprzężenie hilbertowskie i banachowskie, które będziemy przez chwilę oznaczać odpowiednio przez T^{∗H} i T^{∗B}. Załóżmy, że H = l_{2}(A), wtedy przestrzeń H^{∗} też możemy utożsamiać z l_{2}(A) i mamy

⟨T^{∗B}x, \overline{y}⟩= T^{∗B}(x)(y) = x(T y) = ∑_{k∈A} x_{k}(T y)_{k} = ⟨T y, \overline{x}⟩ = ⟨y, T^{∗H} \overline{x}⟩
= ⟨\overline{T^{∗H} \overline{x}}, \overline{y}⟩,

gdzie dla z = (z_{k}) ∈ l_{2}(A) definiujemy \overline{z} := (\overline{z}_{k}). Mamy zatem T^{∗B}x = \overline{T^{∗H} \overline{x}}. W przypadku rzeczywistej przestrzeni Hilberta możemy zatem utożsamiać sprzężenia hilbertowskie i banachowskie. W przypadku zespolonym nie możemy tak robić, gdyż np. dla T = iId mamy T^{∗H} = −iId, zaś T^{∗B} = iId. Wiąże się to z tym, że twierdzenie Riesza definiuje antyliniową izometrię H i H^{∗}. W dalszej części tego wykładu przez T^{∗} będziemy oznaczać sprzężenie hilbertowskie. Przykład 1. Gdy H = 𝔽^{n} z naturalnym iloczynem skalarnym oraz T x = Ax, to T^{∗}x = A^{∗}x.

Przykład 2. Gdy H = L_{2}(X, μ) oraz T f = hf dla pewnego h ∈ L_{∞} (X, μ), to T^{∗}f = \overline{h}f.

Fakt 10.5. Dla T, S ∈ B(H), λ ∈ 𝔽 mamy

i) (T^{∗})^{∗} = T; ii) (T + S)^{∗} = T^{∗} + S^{∗}, (λT)^{∗} = \overline{λ}T^{∗}; iii) (T S)^{∗} = S^{∗}T^{∗}; iv) T jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy T^{∗} jest odwracalny i (T^{∗})^{−1} = (T^{−1} )^{∗};

v) σ(T^{∗}) = \overline{σ(T)} i R_{λ}(T^{∗}) = R\overline{λ}(T)^{∗}; vi) T jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy T^{∗} jest zwarty.

Dowód. i)-iii) łatwo wynikają z definicji, iv) wynika z iii), a v) z iv). Własność vi) była udowodniona w ogólniejszym przypadku przestrzeni Banacha.

10.2 Operatory unitarne i samosprzężone

Definicja 10.6. Operator T ∈ B(H) nazywamy

i) samosprzężonym (lub hermitowskim), jeśli T^{∗} = T; ii) unitarnym, jeśli T^{−1} = T^{∗} (czyli T^{∗}T = T T^{∗} = Id); iii) normalnym, jeśli T^{∗}T = T T^{∗}; iv) nieujemnym, jeśli ⟨T x, x⟩ 0 dla x ∈ H.

Przykład. Operator f ↦ fh na L_{2}(X, μ) jest normalny dla dowolnego h ∈ L_{∞} , samosprzężony, jeśli h(x) ∈ ℝ dla μ-p.w. x oraz unitarny, jeśli |h(x)| = 1 dla μ-p.w. x.

Fakt 10.7. Załóżmy, że T jest samosprzężonym operatorem na przestrzeni Hiberta H. Wówczas

i) ⟨T x, x⟩ ∈ ℝ dla wszystkich x ∈ H; ii) ∥T ∥ = sup_{∥x∥=1} |⟨T x, x⟩|.

Dowód. By wykazać i) wystarczy zauważyć, że

⟨T x, x⟩ = ⟨x, T^{∗}x⟩ = ⟨x, T x⟩ = \overline{⟨T x, x⟩}.

ii) Dla dowolnego T ∈ B(H),

sup_{∥x∥=1} |⟨T x, x⟩| sup_{∥x∥=1} ∥T x∥∥x∥ ∥T ∥.

Dla operatora samosprzężonego

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T y⟩ = \overline{⟨T y, x⟩},

zatem

Re⟨T x, y⟩= \frac{1}{2}(⟨T x, y⟩ + \overline{⟨T x, y⟩}) = \frac{1}{2}(⟨T x, y⟩ + ⟨T y, x⟩)

= \frac{1}{4}(⟨T (x + y), x + y⟩ − ⟨T (x − y), x − y⟩)

i

|Re⟨T x, y⟩| \frac{1}{4}(|⟨T (x + y), x + y⟩| + |⟨T (x − y), x − y⟩|)

\frac{1}{4}(∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2}) sup_{∥z∥=1} |⟨T z, z⟩|

= \frac{1}{2}(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}) sup_{∥z∥=1} |⟨T z, z⟩|.

Stąd

∥T ∥= sup_{∥x∥ 1} ∥T x∥ = sup_{∥y∥ 1} sup_{∥x∥ 1} |Re⟨T x, y⟩| sup_{∥z∥=1} |⟨T z, z⟩|.

Wniosek 10.8. Dla dowolnego T ∈ B(H), ∥T^{∗}T ∥ = ∥T T^{∗}∥ = ∥T ∥^{2}.

Dowód. Operator T^{∗}T jest samosprzężony, więc

∥T^{∗}T ∥ = sup_{∥x∥=1} |⟨T^{∗}T x, x⟩| = sup_{∥x∥=1} |⟨T x, T x⟩| = ∥T ∥^{2}.

Zamieniając T na T^{∗} dostajemy ∥T T^{∗}∥ = ∥(T^{∗})^{∗}T^{∗}∥ = ∥T^{∗}∥^{2} = ∥T ∥^{2}.

Fakt 10.9. Jeśli T jest operatorem samosprzężonym, to σ(T) ⊂ ℝ.

Dowód. Mamy dla λ, μ ∈ ℝ,

∥T x − (λ + iμ)x∥^{2} = ∥T x − λx∥^{2} + μ^{2}∥x∥^{2} + 2μIm⟨(T − λId)x, x⟩
= ∥T x − λx∥^{2} + μ^{2}∥x∥^{2} μ^{2}∥x∥^{2}.

Załóżmy, że μ ≠ 0, wtedy S = T − (λ + iμ)Id jest izomorficznym włożeniem, by pokazać, że jest odwracalny musimy pokazać, że jest na. Wiemy, że M = S(H) jest domkniętą podprzestrzenią H, jeśli y ∈ M^{⊥} , to dla dowolnego x ∈ H,

⟨x, T y⟩ = ⟨T x, y⟩ = ⟨Sx, y⟩ + (λ + iμ)⟨x, y⟩ = ⟨x, (λ − iμ)y⟩.

Zatem T y = (λ−iμ)y, czyli y = 0 (bo μ ≠ 0 i ⟨T y, y⟩ ∈ ℝ), stąd M^{⊥} = {0}, a więc M = H.

Twierdzenie 10.10. Operator T ∈ B(H) jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy T jest izometrią i T (H) = H.

Dowód. �⇒”. T jest odwracalny, więc T (H) = H, ponadto

∥T x∥^{2} = ⟨T x, T x⟩ = ⟨T^{∗}T x, x⟩ = ⟨x, x⟩ = ∥x∥^{2},

więc T jest izometrią.

�⇐”. Mamy

⟨x, x⟩ = ∥x∥^{2} = ∥T x∥^{2} = ⟨T x, T x⟩ = ⟨T^{∗}T x, x⟩,

stąd

Re⟨x, y⟩= \frac{1}{4}(∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2})

= \frac{1}{4}(⟨T^{∗}T (x + y), x + y⟩ − ⟨T^{∗}T (x − y), x − y⟩)

= \frac{1}{2}(⟨T^{∗}T x, y⟩ + ⟨T^{∗}T y, x⟩) = \frac{1}{2}(⟨T^{∗}T x, y⟩ + ⟨y, T^{∗}T x⟩)

= Re⟨T^{∗}T x, y⟩.

Ponadto

Im⟨x, y⟩ = −Re⟨ix, y⟩ = −Re⟨T^{∗}T ix, y⟩ = Im⟨T^{∗}T x, y⟩,

stąd dla dowolnych x, y ∈ H,

⟨x, y⟩ = ⟨T^{∗}T x, y⟩

czyli T^{∗}T = Id. Ponieważ z założenia T jest na, więc T jest odwracalny i T^{−1} = T^{∗}.

10.3 Rozkład spektralny operatorów zwartych

Fakt 10.11. Jeśli T jest zwartym operatorem samosprzężonym, to ∥T ∥ lub −∥T ∥ jest wartością własną T.

Dowód. Oczywiście wystarczy rozpatrzeć przypadek ∥T ∥ > 0. Wiemy, że ⟨T x, x⟩ ∈ ℝ oraz

∥T ∥ = sup_{∥x∥=1} |⟨T x, x⟩|,

zatem istnieje ciąg wektorów x_{n} o normie 1 taki, że

⟨T x_{n}, x_{n}⟩ → λ ∈ {−∥T ∥, ∥T ∥},

pokażemy, że λ jest wartością własną T. Mamy

∥T x_{n} −λx_{n}∥^{2} = ∥T x_{n}∥^{2}+λ^{2}∥x_{n}∥^{2}−2λRe⟨T x_{n}, x_{n}⟩ 2λ^{2}−2λRe⟨T x_{n}, x_{n}⟩,

zatem ∥T x_{n} − λx_{n}∥ → 0. Ze zwartości T, istnieje ciąg n_{k} i y ∈ H taki, że T x_{n_{k}} → y. Zauważmy, że

x_{n_{k}} = −\frac{1}{λ}(T x_{n_{k}} − λx_{n_{k}}) + \frac{1}{λ}T x_{n_{k}} → \frac{1}{λ}y,

zatem ∥y∥ = |λ| ≠ 0 oraz

T y = lim_{k→∞} T (λx_{n_{k}}) = λ lim_{k→∞} T x_{n_{k}} = λy.

Fakt 10.12. Załóżmy, że T jest operatorem samosprzężonym na przestrzeni Hilberta H. Wówczas

i) jeśli x i y są wektorami własnymi T odpowiadającymi różnym wartościom własnym, to ⟨x, y⟩ = 0; ii) jeśli M jest podprzestrzenią niezmienniczą dla T (tzn. T (M) ⊂ M), to M^{⊥} też jest podprzestrzenią niezmienniczą T.

Dowód. i) Załóżmy, że T x = λx, T y = μy, λ ≠ μ, wówczas λ, μ ∈ ℝ oraz

λ⟨x, y⟩ = ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T y⟩ = μ⟨x, y⟩.

ii) Załóżmy, że x ∈ M^{⊥} wtedy dla dowolnego y ∈ M, ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T y⟩ = 0, zatem T x ∈ M^{⊥} .

Kolejne twierdzenie można traktować jako uogólnienie faktu z algebry liniowej mówiącego, że każda macierz samosprzężona się diagonalizuje w bazie ortonormalnej.

Twierdzenie 10.13 (Hilbert-Schmidt). Załóżmy, że T jest zwartym, samosprzężonym operatorem na przestrzeni Hilberta H. Wówczas istnieje układ o.n. (u_{n})_{n=1}^{N} , N dimH w przestrzeni H oraz niezerowe liczby λ_{n} o nierosnących modułach takie, że T u_{n} = λ_{n}u_{n} i T x = 0, jeśli ⟨x, u_{n}⟩ = 0 dla wszystkich n. Ponadto, jeśli N = ∞, to lim_{n→∞} λ_{n} = 0.

Dowód. Z ogólnej teorii operatorów zwartych (Twierdzenie 9.14) wiemy, że niezerowe wartości własne T są skończonej krotności oraz istnieje tylko skończenie wiele wartości własnych o module większym od ustalonej liczby. Zatem możemy niezerowe wartości własne (wypisane z krotnościami) ustawić w ciąg (być może skończony) (λ_{n})_{n=1}^{N} taki, że |λ_{1}| |λ_{2}| … oraz, jeśli N = ∞, lim_{n→∞} λ_{n} = 0. Z Faktu 10.12i) istnieje układ o.n. (u_{n})_{n=1}^{N} taki, że T u_{n} = λ_{n}u_{n}, niech M := Lin(u_{1}, u_{2}, …). Zauważmy, że T M ⊂ M, więc, na mocy Faktu 10.12ii), T: M^{⊥} → M^{⊥} . Niech T̃ = T |_{M^{⊥}} , wtedy T̃ jest samosprzężony i nie ma niezerowych wartości własnych, zatem z Faktu 10.11, T̃ = 0.

Uwaga 10.14. i) Jeśli T, wartości własne (λ_{n})_{n=1}^{N} i układ o.n. (u_{n})_{n=1}^{N} jest jak w twierdzeniu Hilberta-Schmidta, to

T = ∑_{n=1}^{N} λ_{n}⟨·, u_{n}⟩u_{n}.

Nietrudno wykazać (zob. dowód kolejnego twierdzenia), że dla N = ∞ podany szereg jest zbieżny w normie operatorowej. ii) Oczywiście układ (u_{n})_{n=1}^{N} można rozszerzyć do bazy o.n. przestrzeni H złożonej z wektorów własnych (z wartościami własnymi zero dla dodanych wektorów).

Następny rezultat uogólnia następujący fakt z algebry liniowej – każdą macierz A ∈ M_{n×n} można przedstawić jako A = U|A|, gdzie |A| = \sqrt{A^{∗}A} jest nieujemną macierzą samosprzężoną, a U jest macierzą unitarną (czyli U przekształca układ o.n. wektorów własnych |A| na inny układ o.n.).

Twierdzenie 10.15. Załóżmy, że T jest zwartym operatorem na przestrzeni Hilberta H. Wówczas istnieją układy ortonormalne (u_{n})_{n=1}^{N} i (v_{n})_{n=1}^{N} , N ∞ oraz liczby dodatnie (λ_{n})_{n=1}^{N} takie, że

T = ∑_{n=1}^{N} λ_{n}⟨·, u_{n}⟩v_{n},

przy czym powyższy szereg jest zbieżny (dla N = ∞) w normie operatorowej.

Dowód. Operator S = T^{∗}T jest zwarty, samosprzężony i nieujemny. Z Twierdzenia 10.13 wynika, że istnieje układ ortonormalny (u_{n})_{n=1}^{N} taki, że Su_{n} = μ_{n}u_{n} i S znika na podprzestrzeni Lin(u_{n}: n N)^{⊥} . Z nieujemności S wynika, że μ_{n} > 0. Niech

λ_{n} := \sqrt{μ_{n}} i v_{n} = \frac{1}{λ_{n}} T u_{n},

wówczas

⟨v_{n}, v_{m}⟩ = \frac{1}{λ_{n}λ_{m}} ⟨T^{∗}T u_{n}, u_{m}⟩ = \frac{μ_{n}}{λ_{n}λ_{m}} ⟨u_{n}, u_{m}⟩ = δ_{n,m} ,

czyli (v_{n})_{n=1}^{N} jest układem o.n.. Weźmy dowolny x ∈ H, wtedy

x = ∑_{n=1}^{N} ⟨x, u_{n}⟩u_{n} + x_{0},

gdzie T x_{0} = 0 oraz szereg ∑ _{n=1}^{N} ⟨x, u_{n}⟩u_{n} jest zbieżny w normie. Zatem

T x = T ( ∑_{n=1}^{N} ⟨x, u_{n}⟩u_{n}) = ∑_{n=1}^{N} ⟨x, u_{n}⟩T u_{n} = ∑_{n=1}^{N} λ_{n}⟨x, u_{n}⟩v_{n}.

Ponadto dla m < N,

∥T x − ∑_{n=1}^{m} λ_{n}⟨x, u_{n}⟩v_{n} ∥^{2} = ∥ ∑_{n=m+1}^{N} λ_{n}⟨x, u_{n}⟩v_{n} ∥^{2} = ∑_{n=m+1}^{N} λ_{n}^{2}|⟨x, u_{n}⟩|^{2},

stąd

∥T − ∑_{n=1}^{m} λ_{n}⟨·, u_{n}⟩v_{n} ∥ sup_{n m+1} |λ_{n}| → 0

przy m → ∞.

Uwaga 10.16. Twierdzenie Hilberta-Schmidta pozwala zdefiniować rachunek funkcyjny na zwartych operatorach samosprzężonych. Niech (u_{n})_{n=1}^{N} będzie układem o.n. H oraz (λ_{n})_{n=1}^{N} wektorami własnymi T takimi jak w Twierdzeniu 10.13, wtedy możemy określić

f(T) := f(0)Id + ∑_{n=1}^{N} (f(λ_{n}) − f(0))⟨·, u_{n}⟩u_{n} dla f ∈ l_{∞} (σ(T)).

(Jeśli f jest nieciągła w zerze oraz N = ∞, to zbieżność szeregu operatorów należy rozumieć jako punktową na H.) Wówczas, jeśli f = ∑ _{k=0}^{m} a_{k}x^{k}, to f(T) = a_{0}Id + ∑ _{k=1}^{m} a_{k}T^{k}, ponadto (f + g)(T) = f(T) + g(T), (fg)(T) = f(T)g(T) i (λf)(T) = λf(T), czyli f ↦ f(T) określa homeomorfizm między algebrą l_{∞} (σ(T)) a B(H). Okazuje się, że dla operatorów samosprzężonych można określić podobny homeomorfizm z C(σ(T)) w B(H), ale wymaga to rozwinięcia nieco bardziej zaawansowanej teorii.

10.4 Problem istnienia podprzestrzeni niezmienniczej

Następujący ważny problem pozostaje otwarty:

Problem 10.17. Czy każdy operator T ∈ B(H) na nieskończenie wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta H ma właściwą domkniętą podprzestrzeń niezmienniczą, tzn. czy musi istnieć domknięta podprzestrzeń M taka, że T M ⊂ M oraz M ∉ {{0}, H}.

Odpowiedź jest twierdząca dla wielu klas operatorów (np. operatorów normalnych oraz operatorów zwartych). Podobne pytanie można zadać zamieniając przestrzeń Hilberta na nieskończenie wymiarową przestrzeń Banacha X. Wówczas odpowiedź zależy od przestrzeni – Charles Read skonstruował operator T ∈ B(l_{1}) bez własciwej podprzestrzeni niezmienniczej, z drugiej zaś strony są przestrzenie Banacha X w których jest na tyle mało operatorów ograniczonych, że można wykazać, że każdy z nich ma podprzestrzeń niezmienniczą (np. Spiros Argyros i Richard Haydon rozwiązali w 2009 długo otwarty problem i skonstruowali ośrodkową przestrzeń Banacha w której każdy operator ograniczony jest postaci λId + T, gdzie T jest operatorem zwartym).

11 Transformata Fouriera

11.1 Transformata Fouriera na L_{1}. Podstawowe własności

Definicja 11.1. Dla f ∈ L_{1}(ℝ^{n}) określamy tranformatę Fouriera f, Ff = f̂ wzorem

Ff(x) = f̂(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(y)e^{−i⟨x,y⟩} dy.

Uwaga 11.2. Jeśli X jest n-wymiarowym wektorem losowym z gęstością g, to oczywiście g jest całkowalne oraz funkcja charakterystyczna X, φ_{X}(t) = ĝ(−t).

Przykład 1. Jeśli f = 𝟙_{[a,b]}, a < b, to dla x ≠ 0

f̂(x) = ∫_{a}^{b}e^{−ixy} dy = \frac{e^{−iax} − e^{−ibx}}{ix} .

Przykład 2. Jeśli a > 0 oraz f(x) = e^{−a|x|^{2}} , x ∈ ℝ, to f̂(x) = \sqrt{\frac{π}{a}}e^{−|x|^{2}/(4a)} .

Istotnie, zmienna losowa G o rozkładzie normalnym ze średnią zero i wariancją \frac{1}{2a} ma gęstość \sqrt{\frac{a}{π}}f, stąd

f̂(x) = \sqrt{\frac{π}{a}}φ_{G}(−x) = \sqrt{\frac{π}{a}}e^{− \frac{|x|^{2}}{4a}} .

Przykład 3. Jeśli f(x) = ∏ _{k=1}^{n} f_{k}(x_{k}), gdzie f_{k} ∈ L_{1}(ℝ), 1 k n, to z twierdzenia Fubiniego, f ∈ L_{1}(ℝ^{n}) i f̂(x) = ∏ _{k=1}^{n} f̂_{k} (x_{k}). W szczególności Przykład 2 uogólnia się na ℝ^{n} – jeśli a > 0 oraz f(x) = e^{−a|x|^{2}} , x ∈ ℝ, to f̂(x) = (\frac{π}{a})^{n/2}e^{−|x|^{2}/(4a)} .

Twierdzenie 11.3 (Riemanna-Lebesgue’a). Jeśli f ∈ L_{1}(ℝ^{n}), to f̂ jest funkcją jednostajnie ciągłą, ∥f̂∥_{∞} ∥f∥_{1} oraz lim_{|x|→∞} f̂(x) = 0.

Dowód. Mamy

|f̂(x + h) − f̂(x)| ∫ |f(y)e^{−i⟨x+h,y⟩} − e^{−i⟨x,y⟩} |dy = ∫ |f(y)||e^{−i⟨h,y⟩} − 1|dy

i z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej łatwo otrzymujemy jednostajną ciągłość f̂. Nierówność |f̂(x)| ∥f∥_{1} jest łatwa, stąd ∥f̂∥_{∞} ∥f∥_{1}.

Ustalmy f ∈ L_{1}(ℝ^{n}), wówczas dla ε > 0 istnieje g funkcja prosta postaci g = ∑ _{k=1}^{m} a_{k}I_{A_{k}}, gdzie A_{k} są prostopadłościanami (czyli produktami odcinków) oraz ∥f − g∥_{1} ε. Z Przykładów 1 i 3 wynika, że lim_{|x|→∞} ĝ(x) = 0, stąd

lim_{|x|→∞} |f̂(x)| ∥ĝ − f̂∥_{∞} ∥g − f∥_{1} ε

i z dowolności ε > 0 mamy lim_{|x|→∞} f̂(x) = 0.

Definicja 11.4. Splot funkcji f, g ∈ L_{1}(ℝ^{n}) definiujemy jako

f ∗ g(x) := ∫_{ℝ^{n}} f(x − y)g(y)dy.  (14)

Fakt 11.5. Jeśli f, g ∈ L_{1}(ℝ^{n}), to całka (14) jest dobrze określona dla p.w. x. ponadto f ∗ g ∈ L_{1}(ℝ^{n}) oraz ∥f ∗ g∥_{1} ∥f∥_{1}∥g∥_{1}.

Dowód. Mamy na mocy twierdzenia Fubiniego

∫_{ℝ^{n}} ∫_{ℝ^{n}} |f(x−y)g(y)|dydx = ∫_{ℝ^{n}} |g(y)| ∫_{ℝ^{n}} |f(x−y)|dxdx = ∥f∥_{1}∥g∥_{1} < ∞,

co pokazuje w szczególności, że ∫ |f(x − y)g(y)|dy < ∞ dla p.w. x ∈ ℝ^{n}, czyli splot jest dobrze zdefiniowany, oraz, że ∥f ∗ g∥_{1} ∥f∥_{1}∥g∥_{1}.

Fakt 11.6. Jeśli f, g ∈ L_{1}(ℝ^{n}), to { \atop f ∗ g} = f̂ĝ.

Dowód. Poprzedni dowód pokazuje, że f(x − y)g(y)e^{−i⟨x,z⟩} ∈ L_{1}(ℝ^{n} × ℝ^{n}), stąd na mocy twierdzenia Fubiniego,

{ \atop f ∗ g}(z) = ∫_{ℝ^{n}} e^{−i⟨x,z⟩} ∫_{ℝ^{n}} f(x − y)g(y)dydx
= ∫_{ℝ^{n}} e^{−i⟨y,z⟩} g(y) ∫_{ℝ^{n}} f(x − y)e^{−i⟨x−y,z⟩} dxdy = f̂(z)ĝ(z).

11.2 Przedłużenie na L_{2}. Transformata odwrotna

Fakt 11.7. Jeśli f_{1}, f_{2} ∈ L_{1}(ℝ^{n}), to

∫_{ℝ^{n}} f̂_{1} (x)f_{2}(x)dx = ∫_{ℝ^{n}} f_{1}(x)f̂_{2} (x)dx.

Dowód. Stosując twierdzenie Fubiniego dostajemy

∫_{ℝ^{n}} f̂_{1} (x)f_{2}(x)dx = ∫_{ℝ^{n}} ∫_{ℝ^{n}} f_{1}(y)e^{−i⟨x,y⟩} dyf_{2}(x)dx
= ∫_{ℝ^{n}} f_{1}(y) ∫_{ℝ^{n}} f_{2}(x)e^{−i⟨x,y⟩} dxdy = ∫_{ℝ^{n}} f_{1}(y)f̂_{2} (y)dy.

Określmy dla f: ℝ^{n} → ℝ i y ∈ ℝ^{n} funkcję τ_{y}f wzorem

τ_{y}f(x) := f(x + y) x ∈ ℝ^{n}.

Fakt 11.8. Załóżmy, że 1 p < ∞ i f ∈ L_{p}(ℝ) wtedy

∥τ_{y}f − f∥_{p} = ( ∫ |f(x + y) − f(y)|^{p}dx)^{1/p} → 0 przy y → 0.

Równoważnie, przekształcenie y ↦ τ_{y}f jest ciągłe z ℝ^{n} w L_{p}(ℝ^{n}).

Dowód. Jeśli f jest funkcją ciągłą o nośniku zwartym, to teza wynika łatwo z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej. Jeśli f jest dowolne, to dla ε > 0 możemy znaleźć funckję ciągłą g o nośniku zwartym taką, że ∥f − g∥_{p} ε i wtedy

∥τ_{y}f −f∥_{p} ∥τ_{y}f −τ_{y}g∥_{p}+∥τ_{y}g−g∥_{p}+∥g−f∥_{p} = 2∥g−f∥_{p}+∥τ_{y}g−g∥_{p} 3ε

dla dostatecznie małego |y|.

W ten sposób pokazaliśmy ciągłość przekształcenia y ↦ τ_{y}f w zerze, by wykazać ciągłość w y_{0} ≠ 0 wystarczy zauważyć, że τ_{y+y_{0}} f = τ_{y}τ_{y_{0}}f.

Twierdzenie 11.9. Załóżmy, że f ∈ L_{1}(ℝ^{n}) ∩ L_{2}(ℝ^{n}), wówczas

∫_{ℝ^{n}} |f̂(y)|^{2}dy = (2π)^{n} ∫_{ℝ^{n}} |f̂(x)|^{2}dx.

Dowód. Zdefiniujmy dodatkowo f̃(x) := \overline{f(−x)} i g := f ∗ f̃. Mamy

g(x) = ∫ f(x − y)\overline{f(−y)} dy = ∫ f(x + y)\overline{f(y)}dy,

w szczególności

|g(x)| ( ∫ |f(x + y)|^{2}dy)^{1/2}( ∫ |\overline{f(y)}|^{2}dy)^{1/2} = ∥f∥_{2}^{2} < ∞

oraz

g(0) = ∫ |f(y)|^{2}dy.

Szacujemy

|g(x) − g(0)| = | ∫ (f(x + y) − f(y))\overline{f(y)}dy| ∫ |f(x + y) − f(y)||\overline{f(y)}|dy
∥τ_{x}f − f∥_{2}∥f∥_{2},

co na mocy Faktu 11.8 pokazuje ciągłość g w zerze.

Zauważmy, że

ˆf̃(y) = ∫ \overline{f(−x)} e^{−i⟨x,y⟩} dx = ∫ \overline{f(x)} e^{i⟨x,y⟩}dx = \overline{∫ f(x)e^{−i⟨x,y⟩} dx} = \overline{f̂(y)},

zatem ĝ = f̂ˆf̃ = |f̂|^{2}. Dla ε > 0 z Faktu 11.7 otrzymujemy,

∫ |f̂(x)|^{2}e^{−ε|x|^{2}} dx = ∫ ĝ(x)e^{−ε|x|^{2}} dx = ∫ g(x){ \atop e^{−ε|x|^{2}}}dx

= ( \frac{π}{ε})^{n/2} ∫ g(x)e^{− \frac{|x|^{2}}{4ε}} dx.

Oczywiście

∫ |f̂(x)|^{2}e^{−ε|x|^{2}} dx → ∫ |f̂(x)|^{2} przy ε → 0.

By zbadać zbieżność drugiej strony równości korzystając z tego, że funkcja (4επ)^{−n/2} e^{−|x|^{2}/(4ε)} jest gęstością zmiennej losowej,

( \frac{π}{ε})^{n/2} ∫ g(x)e^{− \frac{|x|^{2}}{4ε}} dx = (2π)^{n}(g(0) + \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫ (g(\sqrt{2ε}x) − g(x))e^{− \frac{|x|^{2}}{2}} )
→ (2π)^{n}g(0)

przy ε → 0 na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej (funkcja g jest ograniczona i ciągła w zerze).

Wniosek 11.10. Przekształcenie Ff = f̂ można w jednoznaczny sposób przedłużyć z L_{1}(ℝ^{n})∩L_{2}(ℝ^{n}) do ciągłego liniowego przekształcenia z L_{2}(ℝ^{n}) w L_{2}(ℝ^{n}). Dla f ∈ L_{2}(ℝ^{n}),

∫_{ℝ^{n}} |f̂(y)|^{2}dy = (2π)^{n} ∫_{ℝ^{n}} |f̂(x)|^{2}dx

oraz ∥f̂− f̂_{A} ∥_{2} → 0 przy A → ∞, gdzie

f̂_{A} (x) = ∫_{|x| A} e^{−i⟨x,y⟩} f(x)dx.

Ponadto f ↦ (2π)^{−n/2} f̂ jest przekształceniem unitarnym na L_{2}(ℝ^{n}).

Dowód. Przestrzeń L_{1}(ℝ^{n}) ∩ L_{2}(ℝ^{n}) zawiera funkcje ciągłe o nośniku zwartym, więc jest gęsta w L_{2}(ℝ^{n}). Twierdzenie 11.9 pokazuje zatem, że F można jednoznacznie przedłużyć na przestrzeń L_{2}(ℝ^{n}) oraz ∥f̂∥_{2} = (2π)^{n/2}∥f∥_{2}. Dla f ∈ L_{2} niech f_{A}(x) = f(x)𝟙_{{|x| A}} , wtedy f_{A} → f w L_{2} przy A → ∞, skąd f̂_{A} = f̂_{A} → f̂ w L_{2}.

Wiemy, że f ↦ (2π)^{−n/2} f̂ jest liniową izometrią na L_{2}(ℝ^{n}), musimy pokazać, że jest na, czyli M := F(L_{2}(ℝ^{n})) = L_{2}(ℝ^{n}). Oczywiście M jest domkniętą podprzestrzenią L_{2}, z Faktu 11.7 łatwo wynika, że jeśli f ∈ M^{⊥} , to f̂ = 0, czyli f = 0, zatem M^{⊥} = {0}, co wobec domkniętości M implikuje, że M = L_{2}.

Uwaga 11.11. By uniknąć czynnika (2π)^{−n/2} wielu autorów przeskalowuje transformatę Fouriera tak by była ona operatorem unitarnym. Można to osiągnąć rozważając f̂(2πx) albo (2π)^{−n/2} f̂ zamiast f̂.

Twierdzenie 11.12. Dla f ∈ L_{2}(ℝ^{n}) mamy ˆ f̂(x) = (2π)^{n}f(−x), czyli f(x) = (2π)^{−n} ˆ f̂(−x).

Dowód. Operator F jest unitarny na L_{2}, zatem F^{−1} = F^{∗}. Fakt 11.7 zachodzi przez łatwą aproksymację dla f_{1}, f_{2} ∈ L_{2}, co oznacza, że F^{∗}f(x) = f(−x).

Wniosek 11.13. Załóżmy, że f ∈ L_{1}(ℝ^{n}) oraz f̂ ∈ L_{1}(ℝ^{n}). Wówczas

f(x) = \frac{1}{(2π)^{n}} ˆ f̂(−x) = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫_{ℝ^{n}} f̂(y)e^{i⟨x,y⟩}dy dla p.w. x,

w szczególności f pokrywa się p.w. z funkcją jednostajnie ciągłą, znikającą w nieskończoności.

Dowód. Niech g_{a} = (\frac{a}{π})^{n/2}e^{−a|x|^{2}} dla a > 0, wtedy

∥f ∗ g_{a}∥_{2}^{2} ∥f ∗ g_{a}∥_{∞} ∥f ∗ g_{a}∥_{1} ∥f∥_{1}∥g_{a}∥_{∞} ∥f∥_{1}∥g_{a}∥_{1} < ∞

czyli f ∗ g_{a} ∈ L_{2}. Ponadto

{ \atop f ∗ g_{a}}(x) = f̂(x)ĝ_{a}(x) = f̂(x)e^{−|x|^{2}/(4a)}

zatem z udowodnionego poprzednio wzoru na odwrócenie w L_{2} dostajemy

f ∗ g_{a}(x) = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫_{ℝ^{n}} f̂(y)e^{−|y|^{2}/(4a)} e^{i⟨x,y⟩}dy → \frac{1}{(2π)^{n}} ∫_{ℝ^{n}} f̂(y)e^{i⟨x,y⟩}dy

przy a → ∞ i wystarczy skorzystać z poniższego lematu.

Lemat 11.14. Dla f ∈ L_{1}(ℝ^{n}) i g_{a} = (\frac{a}{π})^{n/2}e^{−a|x|^{2}} mamy ∥f ∗g_{a}−f∥_{1} → 0 przy a → ∞.

Dowód. Funkcja g_{a} jest gęstością, stąd

∥f ∗ g_{a} − f∥_{1} = ∫_{ℝ^{n}} | ∫_{ℝ^{n}} (f(x − y) − f(x))g_{a}(y)dy|dx
∫_{ℝ^{n}} ∫_{ℝ^{n}} |(f(x − y) − f(x))g_{a}(y)|dydx
= ∫_{ℝ^{n}} g_{a}(y) ∫_{ℝ^{n}} |(f(x − y) − f(x))|dxdy
= ∫_{ℝ^{n}} g_{a}(y)∥τ_{y}f − f∥_{1}dy.

By zakończyć dowód wystarczy zauważyć, że ∥τ_{y}f − f∥_{1} ∥τ_{y}f∥_{1} + ∥f∥_{1} = 2∥f∥_{1} dla wszystkich y, z Faktu 11.8, ∥τ_{y}f − f∥_{1} ε dla |y| δ oraz ∫_{|y|>δ} g_{a}(y) → 0 przy a → ∞.

11.3 Związki z różniczkowaniem. Klasa Schwartza funkcji szybko malejących

Twierdzenie 11.15. Dla dowolnego multiindeksu α,

i) jeśli x^{β}f(x) ∈ L_{1}(ℝ^{n}) dla 0 β α, to D^{α} f̂ istnieje oraz D^{α} f̂ = ((−ix)^{α}f)ˆ ; ii) jeśli dla 0 β α, D^{β}f ∈ L_{1}(ℝ^{n}), to D̂^{α}f = (ix)^{α} f̂.

Dowód. Przez łatwą indukcję wystarczy udowodnić obie części dla α = (1, 0, …, 0).

i) Mamy

\frac{f̂(y + h) − f̂(y)}{h} = ∫_{ℝ^{n}} f(x)e^{−i⟨x,y⟩} \frac{e^{−ihx_{1}} − 1}{h} ,

funkcja podcałkowa dąży punktowo przy h → 0 do −ix_{1}f(x)e^{−i⟨x,y⟩} oraz jej moduł jest majoryzowany przez |x_{1}f(x)| ∈ L_{1}, więc

\frac{∂f̂}{∂x_{1}} (y) = lim_{h→0} \frac{f̂(y + h) − f̂(y)}{h} = ∫_{ℝ^{n}} −ix_{1}f(x)e^{−i⟨x,y⟩} = { \atop −ix_{1}f}(y).

ii) Całkując przez części dostajemy

∫_{−h}^{h} \frac{∂}{∂x_{1}} f(x)e^{−ix_{1}y_{1}} dx_{1} = iy_{1} ∫_{−h}^{h} f(x)e^{−ix_{1}y_{1}} dx_{1} + f(h)e^{−ihy_{1}} − f(−h)e^{ihy_{1}} .

Jeśli f ∈ L_{1}, to można znaleźć ciąg h_{k} → ∞ taki, że

lim_{k→∞} ∫_{ℝ^{n−1}} |f(±h_{k}, x_{2}, …, x_{n})|dx_{2} ⋯dx_{n} = 0

i dostajemy

{ \atop \frac{∂}{∂x_{1}} f}(y) = ∫_{ℝ^{n}} \frac{∂}{∂x_{1}} f(x)e^{−i⟨x,y⟩} dx = iy_{1} ∫_{ℝ^{n}} f(x)e^{−i⟨x,y⟩} dx = iy_{1}f̂(y).

Definicja 11.16. Funkcję f ∈ C^{∞} (ℝ^{n}) nazywamy funkcją szybko malejącą lub funkcją z klasy Schwarza, jeśli dla dowolnego α ∈ ℕ^{n} i dowolnego wielomianu n zmiennych P,

sup_{x∈ℝ^{n}} |P (x)D^{α}f(x)| < ∞.

Przestrzeń S(ℝ^{n}) funkcji szybko malejących nazywamy przestrzenią Schwartza.

Przykłady. Funkcje C^{∞} o nośniku zwartym są oczywiście szybko malejące. Funkcja exp(−a|x|^{2}) dla dowolnego a > 0 należy do przestrzeni Schwartza.

Uwaga 11.17. Oczywiście f ∈ S(ℝ^{n}) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest klasy C^{∞} oraz dla dowolnego multiindeksu α i k = 0, 1, …

lim_{|x|→∞} (1 + |x|^{2})^{k}|D^{α}f(x)| = 0.

Przetrzeń S(ℝ^{n}) jest przestrzenią liniowo-metryczną z metryką

d(f, g) = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−k} min{∥f − g∥_{k}, 1},

gdzie

∥f∥_{k} := sup_{x∈ℝ^{n}} sup_{|α| k} (1 + |x|^{2})^{k}|D^{α}f(x)|.

Twierdzenie 11.18. Transformata Fouriera zachowuje przestrzeń Schwartza, tzn. F(S(ℝ^{n})) = S(ℝ^{n}).

Dowód. Jeśli f ∈ S(ℝ^{n}), to x^{α}f ∈ S(ℝ^{n}) ⊂ L_{1}(ℝ^{n}) dla dowolnego multiindeksu α, stąd, na mocy Twierdzenia 11.15i), f̂ ∈ C^{∞} oraz D^{α} f̂ = ((−ix)^{α}f)ˆ dla dowolnego α.

Ponadto, jeśli f ∈ S(ℝ^{n}), to D^{β}f ∈ S(ℝ^{n}) ⊂ L_{1}(ℝ^{n}) dla dowolnego β, zatem Twierdzenia 11.15ii) implikuje, że (ix)^{α} f̂ = D̂^{α}f jest funkcją ciągłą i ograniczoną. Zamieniając f na g = (−ix)^{β}f dostajemy (ix)^{α} ĝ = (ix)^{α}D^{β} f̂ jest ograniczone, dla dowolnych α, β, zatem f̂ ∈ S(ℝ^{n}).

Wykazaliśmy w ten sposób, że F(S(ℝ^{n})) ⊂ S(ℝ^{n}) By udowodnić, że każda funkcja z klasy Schwarza jest transformatą Fouriera funkcji z klasy Schwartza wystarczy zastosować wzór na transformatę odwrotną.

Literatura

[1] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, wyd II, PWN, Warszawa 1989.

[2] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, wyd. I, PWN, Warszawa 2001.

[3] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, wyd II, PWN, Warszawa 1998.

[4] P. Wojtaszczyk, Teoria falek, wyd. I, PWN, Warszawa 2000,