Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej I* gr.1, 15 grudnia 2009

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha, a T liniowym przekształceniem X w C[0, 1]. Wykaż, że T jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy ciagłe są wszystkie funkcjonały postaci x ↦ ∫_{a}^{b}T x(s)ds, 0 < a < b < 1.

2. Załóżmy, że x_{n} jest bazą o.n. ośrodkowej przestrzeni Hilberta H. Określmy przekształcenie T na H wzorem T x = (\frac{1}{n}⟨x, x_{n}⟩)_{n=1}^{∞} .

i) Wykaż, że przekształcenie T jest dobrze określone i ciągłe z H w l_{p} dla 1 p ∞. ii) Oblicz normę przekształcenia T: H → l_{1} i T: H → l_{∞} .

3. Niech x_{n} będzie słabo zbieżnym do zera ciągiem elementów przestrzeni Banacha X. Wzór T = (x^{∗}(x_{n}))_{n=1}^{∞} zadaje wówczas przekształcenie z X^{∗} w c_{0}. Czy przekształcenie to musi być ciągłe? Czy musi być zwarte?

4. Niech

X = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ∈ l_{2}: a_{2n−1} = a_{2n} dla n = 1, 2, …}.

Znajdź odległość wektora (1, 1/3, 1/9, …) od przestrzeni X.

5. Przekształcenie T na l_{4} ma postać T x = (a_{1}x_{1}, a_{2}x_{2}, a_{3}x_{3}, …). Wykaż, że następujące warunki są równoważne:

i) ∑ _{n 1} |a_{n}|^{4/3} < ∞, ii) T jest ciągłe z l_{4} w l_{1}, iii) T jest operatorem zwartym z l_{4} w l_{1}.

6. Dla jakich p ∈ [1, ∞] istnieje niezerowy ciągły funkcjonał na L_{p}[0, 1] taki, że φ(w) = 0 dla dowolnej funkcji wielomianowej w?

Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej I* gr.2, 15 grudnia 2009

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Dla jakich p ∈ [1, ∞] istnieje niezerowy ciągły funkcjonał na L_{p}[−1, 1] taki, że φ(w) = 0 dla dowolnej funkcji wielomianowej w?

2. Załóżmy, że x_{n} jest bazą o.n. ośrodkowej przestrzeni Hilberta H. Określmy przekształcenie T na H wzorem T x = (\frac{1}{n+1} ⟨x, x_{n}⟩)_{n=1}^{∞} .

i) Wykaż, że przekształcenie T jest dobrze określone i ciągłe z H w l_{p} dla 1 p ∞. ii) Oblicz normę przekształcenia T: H → l_{1} i T: H → l_{∞} .

3. Przekształcenie T na l_{3} ma postać T x = (a_{1}x_{1}, a_{2}x_{2}, a_{3}x_{3}, …). Wykaż, że następujące warunki są równoważne:

i) ∑ _{n 1} |a_{n}|^{3/2} < ∞, ii) T jest ciągłe z l_{3} w l_{1}, iii) T jest operatorem zwartym z l_{3} w l_{1}.

4. Niech

X = {(a_{n})_{n=1}^{∞} ∈ l_{2}: a_{2n−1} = −a_{2n} dla n = 1, 2, …}.

Znajdź odległość wektora (1, 1/2, 1/4, …) od przestrzeni X.

5. Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha, a T liniowym przekształceniem X w C[−1, 1]. Wykaż, że T jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy ciagłe są wszystkie funkcjonały postaci x ↦ ∫_{a}^{b}T x(s)ds, −1 < a < 0 < b < 1.

6. Niech x_{n} będzie słabo zbieżnym do zera ciągiem elementów przestrzeni Banacha X. Wzór T = (x^{∗}(x_{n}))_{n=1}^{∞} zadaje wówczas przekształcenie z X^{∗} w c_{0}. Czy przekształcenie to musi być ciągłe? Czy musi być zwarte?