Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej I gr.1, 10 grudnia 2007

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Załóżmy, że f ∈ L_{∞} [0, ∞) oraz lim_{x→∞} ∫_{0}^{x} f(t)g(t)dt istnieje dla dowolnej funkcji g ∈ L_{4}[0, ∞). Czy wynika stąd, że ∫_{0}^{∞} |f(t)|^{4/3}dt < ∞?

2. Niech F := {f ∈ L_{2}[0, 2]: ∫_{0}^{2} f(t)dt = ∫_{0}^{2} t^{2}f(t)dt = 0}. Oblicz

inf_{f∈F} ∫_{0}^{2} |t − f(t)|^{2}dt.

3. Niech X = Cogr(ℝ) oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych ograniczonych na prostej.

a) Wykaż, że (X, ∥ · ∥_{∞} ) jest przestrzenią unormowaną.

b) Czy jest to przestrzeń Banacha?

c) Czy X jest przestrzenią ośrodkową?

4. Dla jakich p istnieje niezerowy funkcjonał liniowy ciągły na L_{p}[0, 1], który zeruje się na wszystkich funkcjach ciągłych?

5. Niech (u_{n})_{n 1} będzie układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta H. Określmy na H operator T wzorem T x := (\frac{n}{n+1} ⟨x, u_{n}⟩)_{n=1}^{∞} . Wykaż, że T jest operatorem liniowym ciągłym między H a c_{0} i znajdź jego normę.

6. Oblicz normę funkcjonału φ zadanego wzorem

φ((x_{n})_{n 1} ) = ∑_{n=1}^{∞} ( − \frac{1}{2})^{n}x_{n}

na przestrzeni l_{p} dla 1 p ∞.

Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej I gr.2, 10 grudnia 2007

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Niech X = Cogr([0, ∞)) oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych ograniczonych na półprostej nieujemnej.

a) Wykaż, że (X, ∥ · ∥_{∞} ) jest przestrzenią unormowaną.

b) Czy jest to przestrzeń Banacha?

c) Czy X jest przestrzenią ośrodkową?

2. Oblicz normę funkcjonału φ zadanego wzorem

φ((x_{n})_{n 1} ) = ∑_{n=1}^{∞} ( − \frac{1}{3})^{n}x_{n}

na przestrzeni l_{p} dla 1 p ∞.

3. Niech F := {f ∈ L_{2}[0, 1]: ∫_{0}^{1} f(t)dt = ∫_{0}^{1} t^{4}f(t)dt = 0}. Oblicz

inf_{f∈F} ∫_{0}^{1} |t − f(t)|^{2}dt.

4. Załóżmy, że f ∈ L_{∞} (ℝ) oraz lim_{x→∞} ∫_{−x}^{x} f(t)g(t)dt istnieje dla dowolnej funkcji g ∈ L_{3}(ℝ). Czy wynika stąd, że ∫_{−∞}^{∞} |f(t)|^{3/2}dt < ∞?

5. Niech (u_{n})_{n 1} będzie układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta H. Określmy na H operator T wzorem T x := (\frac{n}{2n+1} ⟨x, u_{n}⟩)_{n=1}^{∞} . Wykaż, że T jest operatorem liniowym ciągłym między H a c_{0} i znajdź jego normę.

6. Dla jakich p istnieje niezerowy funkcjonał liniowy ciągły na L_{p}[−1, 1], który zeruje się na wszystkich funkcjach ciągłych?

Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej I gr.3, 10 grudnia 2007

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Czy istnieje niezerowy funkcjonał liniowy ciągły φ na L_{∞} [0, 1] taki, że φ(I_{[a,b]}) = 0 dla dowolnego 0 < a < b < 1?

2. Załóżmy, że (a_{k,l})_{k,l 1} jest macierzą taką, że sup_{l} |a_{k,l}| < ∞ dla każdego

k oraz

lim sup_{k→∞} | ∑_{l=1}^{∞} a_{k,l}x_{l}| < ∞, jeśli ∑_{l=1}^{∞} |x_{l}| < ∞.

Wykaż, że sup_{k,l} |a_{k,l}| < ∞.

3. Załóżmy, że (x_{n})_{n=1}^{∞} jest bazą o.n. przestrzeni Hilberta H. Niech

y_{2n−1} = \frac{3}{5}x_{2n−1} + \frac{4}{5}x_{2n}, y_{2n} = \frac{4}{5}x_{2n−1} − \frac{3}{5}x_{2n} dla n = 1, 2, . . ..

Wykaż, że (y_{n})_{n 1} jest układem ortonormalnym w H. Czy jest on zupełny?

4. a) Wykaż, że wzór ∥f∥ = sup_{x∈[0,1]} |x^{2}f(x)| zadaje normę na przestrzeni C[0, 1].

b) Czy przestrzeń C[0, 1] z powyżej określoną normą jest przestrzenią Banacha?

c) Czy jest to przestrzeń ośrodkowa?

5. Dla 1 p ∞ oblicz normę przekształcenia z L_{p}[0, 1] w l_{1} zadanego

wzorem

T f = ( ∫_{2^{−n}}^{2^{1−n}} xf(x)dx) _{n=1}^{∞} .

6. Oblicz

inf_{a,b,c∈ℝ} ∫_{−2}^{2} |x^{4} − a − bx − cx^{2}|^{2}x^{2}dx.

Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej I gr.4, 10 grudnia 2007

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Załóżmy, że (x_{n})_{n=1}^{∞} jest bazą o.n. przestrzeni Hilberta H. Niech

y_{2n−1} = \frac{4}{5}x_{2n−1} + \frac{3}{5}x_{2n}, y_{2n} = \frac{3}{5}x_{2n−1} − \frac{4}{5}x_{2n} dla n = 1, 2, . . ..

Wykaż, że (y_{n})_{n 1} jest układem ortonormalnym w H. Czy jest on zupełny?

2. Dla 1 p ∞ oblicz normę przekształcenia z L_{p}[0, 1] w l_{1} zadanego

wzorem

T f = ( ∫_{3^{−n}}^{3^{1−n}} x^{2}f(x)dx) _{n=1}^{∞} .

3. Załóżmy, że (a_{n,k})_{n,k 1} jest macierzą taką, że sup_{k} |a_{n,k}| < ∞ dla każdego n oraz

lim sup_{n→∞} | ∑_{k=1}^{∞} a_{n,k}x_{k}| < ∞, jeśli ∑_{k=1}^{∞} |x_{k}| < ∞.

Wykaż, że sup_{n,k} |a_{n,k}| < ∞.

4. Oblicz

inf_{a,b,c∈ℝ} ∫_{−1}^{1} |x^{4} − a − bx − cx^{2}|^{2}x^{4}dx.

5. a) Wykaż, że wzór ∥f∥ = sup_{x∈[−1,1]} |xf(x)| zadaje normę na przestrzeni C[−1, 1].

b) Czy przestrzeń C[−1, 1] z powyżej określoną normą jest przestrzenią Banacha?

c) Czy jest to przestrzeń ośrodkowa?

6. Czy istnieje niezerowy funkcjonał liniowy ciągły φ na L_{∞} [−1, 1] taki, że φ(I_{[a,b]}) = 0 dla dowolnego −1 < a < b < 1?