Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej gr.I, 9 maja 2006

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Na przestrzeni C[0, 1] rozpatrzmy następujące funkcje:

a) ∥f∥_{1} := ∫_{0}^{1} |f(t)|dt,

b) ∥f∥_{2} := sup_{0 t 1} |f(t)| + ∫_{0}^{1} |f(t)|dt,

c) ∥f∥_{3} := ∫_{0}^{1} \frac{|f(t)|}{1+|f(t)|} dt,

d) ∥f∥_{4} := sup_{0 t 1} |f(t)|. Które z tych funkcji są normami na C[0, 1]? Które wprowadzają na C[0, 1] strukturę przestrzeni Banacha? Odpowiedź uzasadnij.

2. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a T: X → C[0, 1] przekształceniem liniowym. Wykaż, że T jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy

∀_{t∈[0,1]}∃_{C(t)<∞} ∀_{x∈X} | ∫_{0}^{t} T (x)(s)ds| C(t)∥x∥.

3. Niech

X = {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} : ∥x∥ := (∑_{n=1}^{∞} 2^{−n} |x_{n}|^{4})^{1/4} < ∞}.

Czy X jest przestrzenią ośrodkową? Jeśli tak, to podaj przykładowy ośrodek. Czy funkcjonał φ zadany wzorem

φ(x) := ∑_{n=1}^{∞} n2^{−n} x_{n}

jest funkcjonałem ciągłym na X?

4. Przekształcenie T: L^{2}[0, 1] → c_{0} jest zadane wzorem

T f := (∫_{2^{−n}}^{2^{1−n}} f(x)dx)_{n=1}^{∞} .

Czy T jest przekształceniem ciągłym? Oblicz ∥T ∥.

5. Funkcje f_{n} ∈ C[0, 1] spełniają

∀_{g∈L^{1}[0,1]} lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(t)g(t)dt = 0.

Wykaż, że sup_{n} ∥f_{n}∥_{∞} < ∞.

6. Zbiór A jest wypukłym domkniętym podzbiorem przestrzeni Banacha X o niepustym wnętrzu. Wykaż, że A = \overline{Int(A)}.

Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej gr.II, 9 maja 2006

Z podanych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10.

1. Niech

X = {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} : ∥x∥ := (∑_{n=1}^{∞} 3^{−n} |x_{n}|^{3})^{1/3} < ∞}.

Czy X jest przestrzenią ośrodkową? Jeśli tak, to podaj przykładowy ośrodek. Czy funkcjonał φ zadany wzorem

φ(x) := ∑_{n=1}^{∞} n^{2}3^{−n} x_{n}

jest funkcjonałem ciągłym na X?

2. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a T: X → C[0, 1] przekształceniem liniowym. Wykaż, że T jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy

∀_{t∈[0,1]}∃_{C(t)<∞} ∀_{x∈X} | ∫_{t}^{1} T (x)(s)ds| C(t)∥x∥.

3. Na przestrzeni C[0, 1] rozpatrzmy następujące funkcje:

a) ∥f∥_{1} := sup_{0 t 1} |f(t)|,

b) ∥f∥_{2} := (∫_{0}^{1} |f(t)|^{2}dt)^{1/2},

c) ∥f∥_{3} := sup_{0 t 1} |f(t)| + (∫_{0}^{1} |f(t)|^{2}dt)^{1/2},

d) ∥f∥_{4} := ∫_{0}^{1} min(|f(t)|, 1)dt. Które z tych funkcji są normami na C[0, 1]? Które wprowadzają na C[0, 1] strukturę przestrzeni Banacha? Odpowiedź uzasadnij.

4. Funkcje f_{n} ∈ C[−1, 1] spełniają

∀_{g∈L^{1}[−1,1]} lim sup_{n→∞}| ∫_{−1}^{1} f_{n}(t)g(t)dt| < ∞.

Wykaż, że sup_{n} ∥f_{n}∥_{∞} < ∞.

5. Przekształcenie T: L^{2}[0, 1] → c_{0} jest zadane wzorem

T f := (∫_{0}^{1} x^{n}f(x)dx)_{n=1}^{∞} .

Czy T jest przekształceniem ciągłym? Oblicz ∥T ∥.

6. Zbiór A jest wypukłym domkniętym podzbiorem przestrzeni Banacha X o niepustym wnętrzu. Wykaż, że A = \overline{Int(A)}.