Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej I* 4 grudnia 2012

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Wykaż, że f_{n} zbiega słabo do zera w L_{p}[0, 1] dla 1 < p < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy sup_{n} ∥f_{n}∥_{p} < ∞ oraz

lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} x^{k}f_{n}(x)dx = 0 dla k = 0, 1, 2 . . ..

2. Załóżmy, że μ_{n} są regularnymi miarami zespolonymi na ([−1, 1], B([−1, 1])) takimi, że

sup_{n}Re( ∫_{−1}^{1} fdμ_{n}) < ∞ dla f ∈ C[−1, 1].

Wykaż, że

sup{|μ_{n}(A)|: A ∈ B([−1, 1]), n = 1, 2, …} < ∞.

3. Niech Y będzie podprzestrzenią przestrzeni Banacha X, zaś T: Y → l_{∞} ciągłym odwzorowaniem liniowym. Wykaż, że istnieje przekształcenie liniowe S: X → l_{∞} takie, że S_{|Y} = T oraz ∥S∥ = ∥T ∥.

4. Niech (f_{n})_{n 1} będzie bazą o.n. przestrzeni L_{2}[0, 1].

a) Oblicz

∑_{n=1}^{∞} | ∫_{0}^{t} x^{3}f_{n}(x)dx|^{2}, 0 t 1.

b) Przyjmując, że f_{n}(t) = 0 dla t ∉ [0, 1] wykaż, że (f_{n}(· − k))_{n 1,k 0} jest bazą o.n. L_{2}[0, ∞).

5. Określmy

X := {f ∈ C^{1}(ℝ): ∫_{−∞}^{∞} |f′(x)|dx < ∞}.

Wykaż, że X z normą ∥f∥ = |f(0)| + ∫_{−∞}^{∞} |f′(x)|dx jest przestrzenią unormowaną. Czy jest to przestrzeń Banacha? Czy jest to przestrzeń ośrodkowa?

6. Zbiór A jest zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha X. Wykaż, że \overline{conv(A)} jest zwarty. Czy zbiór conv(A) musi być zwarty?