KOLOKWIUM Z ANALIZY FUNKCJONALNEJ grupa I, 14.15-15.45, 14 stycznia 2000

1. Dla funkcji f ∈ C[0, 1] i p ∈ [1, ∞) zdefiniujmy operator T_{f} : L^{p}[0, 1] → L^{p}[0, 1] wzorem T_{f}g = fg. Udowodnij, że ∥T_{f}∥ = ∥f∥_{∞}. Dla jakich funkcji f operator T_{f} jest odwracalny, jak wygla̧da T_{f}^{−1}?

2. Które z nastȩpuja̧cych przestrzeni sa̧ przestrzeniami Banacha w normie ∥(a_{n})∥ = ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|: a)X_{1} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : lim sup_{n→∞} |na_{n}| = 0} b)X_{2} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : a_{1}a_{2} = a_{3}a_{4}} c)X_{3} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : a_{1} + a_{2} = a_{3} + a_{4}}?

3. Niech X bȩdzie przestrzenia̧ Banacha. Udowodnij, że przekształcenie liniowe T : X → C[0, 1] jest cia̧głe wtedy i tylko wtedy gdy

∀_{t∈[0,1]} ∃_{C(t)<∞} |T x(t)| ≤ C(t)∥x∥ dla wszystkich x ∈ X.

4. Cia̧g funkcji f_{n} ∈ L^{2}[0, 1] spełnia nastȩpuja̧cy warunek

∀_{g∈L^{2}[0,1]} lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)g(x)dx = 0.

Wykaż, że sup_{n} ∫_{0}^{1} f_{n}^{2}dx < ∞. Czy ponadto musi zachodzić

lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}^{2}dx = 0?

5. Cia̧g wektorów x_{i}, i = 1, 2, … jest baza̧ o.n. przestrzeni l^{2}. Zdefiniujmy wektory y_{i} wzorami y_{2k−1} = \frac{1}{2}(x_{2k−1} + x_{2k}) i y_{2k} = \frac{1}{2}(x_{2k−1} − x_{2k}) dla k = 1, 2, . . ..

a) Czy (y_{i}) jest układem ortogonalnym w l^{2}, czy jest ortonormalny?

b) Czy (y_{i}) jest baza̧ l^{2}?

c) Oblicz normȩ wektora u = ∑_{i=1}^{∞} 2^{−i}y_{i}.

6. Operator T : L^{2}[0, 1] → l^{1} jest dany wzorem

T f = (∫_{2^{−n}}^{2^{−n+1}} f(x)dx)_{n=1,2,...}

a) Udowodnij, że T jest dobrze określony tzn T f ∈ l^{1} dla f ∈ L^{2}[0, 1]

b) Znajdź ∥T ∥, czy T jest cia̧gły?

c) Miȩdzy jakimi przestrzeniami działa operator sprzȩżony T^{∗}, podaj wzór na T^{∗}.

KOLOKWIUM Z ANALIZY FUNKCJONALNEJ grupa II 14.15-15.45, 14 stycznia 2000

1. Które z nastȩpuja̧cych przestrzeni sa̧ przestrzeniami Banacha w normie ∥(a_{n})∥ = ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|: a)X_{1} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : lim sup_{n→∞} |n^{2}a_{n}| = 0} b)X_{2} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : a_{1} = a_{2} + a_{3}} C)X_{3} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : a_{1}^{2} = a_{2}a_{3}}?

2. Cia̧g funkcji g_{n} ∈ L^{2}[0, ∞) spełnia nastȩpuja̧cy warunek

∀_{f∈L^{2}[0,∞)} lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} f(x)g_{n}(x)dx = 0.

Wykaż, że sup_{n} ∫_{0}^{∞} g_{n}^{2}dx < ∞. Czy ponadto musi zachodzić

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} g_{n}^{2}dx = 0?

3. Dla funkcji f ∈ C[0, 1] zdefiniujmy operator T_{f} : L^{4}[0, 1] → L^{4}[0, 1] wzorem T_{f}g = fg. Udowodnij, że ∥T_{f}∥ = ∥f∥_{∞}. Dla jakich funkcji f operator T_{f} jest odwracalny, jak wygla̧da T_{f}^{−1}?

4. Niech X bȩdzie przestrzenia̧ Banacha. Udowodnij, że przekształcenie liniowe T : X → C[0, 1] jest cia̧głe wtedy i tylko wtedy gdy

∀_{t∈[0,1]} ∃_{C(t)<∞} |T x(t)| ≤ C(t)∥x∥ dla wszystkich x ∈ X.

5. Operator T : L^{2}[0, 1] → l^{1} jest dany wzorem

T f = (∫_{3^{−n}}^{3^{−n+1}} f(x)dx)_{n=1,2,...}

a) Udowodnij, że T jest dobrze określony tzn T f ∈ l^{1} dla f ∈ L^{2}[0, 1]

b) Znajdź ∥T ∥, czy T jest cia̧gły?

c) Miȩdzy jakimi przestrzeniami działa operator sprzȩżony T^{∗}, podaj wzór na T^{∗}.

6. Cia̧g wektorów x_{i}, i = 1, 2, … jest baza̧ o.n. przestrzeni l^{2}. Zdefiniujmy wektory y_{i} wzorami y_{2k−1} = \frac{1}{3}(x_{2k−1} + 2x_{2k}) i y_{2k} = \frac{1}{3}(2x_{2k−1} − x_{2k}) dla k = 1, 2, . . ..

a) Czy (y_{i}) jest układem ortogonalnym w l^{2}, czy jest ortonormalny?

b) Czy (y_{i}) jest baza̧ l^{2}?

c) Oblicz normȩ wektora u = ∑_{i=1}^{∞} 3^{−i}y_{i}.

KOLOKWIUM Z ANALIZY FUNKCJONALNEJ grupa 16.00-17.30, 14 stycznia 2000

1. Niech X bȩdzie przestrzenia̧ Banacha. Udowodnij, że przekształcenie liniowe T : X → l^{p} jest cia̧głe wtedy i tylko wtedy gdy

∀_{n} ∃_{C(n)<∞} |(T x)_{n}| ≤ C(t)∥x∥ dla wszystkich x ∈ X.

(Uwaga: (T x)_{n} oznacza n-ta współrzȩdna̧ wektora T x)

2. Dla funkcji f ∈ C[0, 1] zdefiniujmy operator T_{f} : L^{1}[0, 1] → L^{1}[0, 1] wzorem T_{f}g = fg. Udowodnij, że ∥T_{f}∥ = ∥f∥_{∞}. Dla jakich funkcji f operator T_{f} jest odwracalny, jak wygla̧da T_{f}^{−1}?

3. Które z nastȩpuja̧cych przestrzeni sa̧ przestrzeniami Banacha w normie ∥(a_{n})∥ = sup_{n} |a_{n}|: a)X_{1} = {(a_{n}) ∈ c_{0} : lim sup_{n→∞} |na_{n}| = 0} b)X_{2} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : a_{1}a_{2} = 0} c)X_{3} = {(a_{n}) ∈ l_{1} : a_{1} + a_{2} = 0}?

4. Cia̧g funkcji f_{n} ∈ L^{2}[−1, 1] spełnia nastȩpuja̧cy warunek

∀_{g∈L^{2}[0,1]} lim_{n→∞} ∫_{−1}^{1} f_{n}(x)g(x)dx = 0.

Wykaż, że sup_{n} ∫_{−1}^{1} f_{n}^{2}dx < ∞. Czy ponadto musi zachodzić

lim_{n→∞} ∫_{−1}^{1} f_{n}^{2}dx = 0?

5. Cia̧g wektorów x_{i}, i = 1, 2, … jest baza̧ o.n. przestrzeni l^{2}. Zdefiniujmy wektory y_{i} wzorami y_{3k−2} = \frac{1}{2}(x_{3k−2} + x_{3k−1}) y_{3k−1} = \frac{1}{2}(x_{3k−2} − x_{3k−1}) i y_{3k} = x_{3k} dla k = 1, 2, . . ..

a) Czy (y_{i}) jest układem ortogonalnym w l^{2}, czy jest ortonormalny?

b) Czy (y_{i}) jest baza̧ l^{2}?

c) Oblicz normȩ wektora u = ∑_{i=1}^{∞} 2^{−i}y_{i}.

6. Operator T : L^{2}[0, 1] → c_{0} jest dany wzorem

T f = (∫_{1−2^{−n+1}}^{1−2^{−n}} f(x)dx)_{n=1,2,...}

a) Udowodnij, że T jest dobrze określony tzn T f ∈ c_{0} dla f ∈ L^{2}[0, 1]

b) Znajdź ∥T ∥, czy T jest cia̧gły?

c) Miȩdzy jakimi przestrzeniami działa operator sprzȩżony T^{∗}, podaj wzór na T^{∗}.