KARTKÓWKA grupa I 14.15-15.45, 17 XII 1999

1. Operator T : l^{1} → c_{0} jest zadany wzorem

T ((a_{i})) = (\frac{∑_{k=1}^{i} a_{i}}{i}).

a) Wykaż, ze T jest cia̧gły i znajdź jego normȩ

b) Miȩdzy jakimi przestrzeniami Banacha działa operator sprzȩżony T^{∗}?

c) Podaj wzór na T^{∗}

d) Jaka jest norma T^{∗}?

2. Załóżmy, że dane sa̧ cia̧gi liczb rzeczywistych

a_{n} = (a_{n,i}) ∈ l^{∞}, n = 1, 2, …

takie, że dla dowolnego cia̧gu b = (b_{i}) ∈ l^{1}

lim_{n→∞} ∑_{i=1}^{∞} a_{n,i}b_{i} = 0.

Udowodnij, że

sup_{n} sup_{i} |a_{n,i}| < ∞.

KARTKÓWKA grupa II 14.15-14.45, 17 XII 1999

1. Załóżmy, że dane sa̧ cia̧gi liczb rzeczywistych

a_{n} = (a_{n,i}) ∈ l^{2}, n = 1, 2, …

takie, że dla dowolnego cia̧gu b = (b_{i}) ∈ l^{2}

lim_{n→∞} ∑_{i=1}^{∞} a_{n,i}b_{i} = 0.

Udowodnij, że

sup_{n} ∑_{i} |a_{n,i}|^{2} < ∞.

2. Operator T : l^{1} → c_{0} jest zadany wzorem

T ((a_{i})) = (\frac{∑_{k=i}^{∞} a_{i}}{i}).

a) Wykaż, ze T jest cia̧gły i znajdź jego normȩ

b) Miȩdzy jakimi przestrzeniami Banacha działa operator sprzȩżony T^{∗}?

c) Podaj wzór na T^{∗}

d) Jaka jest norma T^{∗}?

KARTKÓWKA, grupa 16.00-17.30, 17 XII 1999

1. Operator T : l^{1} → c_{0} jest zadany wzorem

T ((a_{i})) = (\frac{∑_{k=1}^{i} a_{i}}{\sqrt{i}}).

a) Wykaż, ze T jest cia̧gły i znajdź jego normȩ

b) Miȩdzy jakimi przestrzeniami Banacha działa operator sprzȩżony T^{∗}?

c) Podaj wzór na T^{∗}

d) Jaka jest norma T^{∗}?

2. Załóżmy, że dane sa̧ cia̧gi liczb rzeczywistych

a_{n} = (a_{n,i}) ∈ l^{1}, n = 1, 2, …

takie, że dla dowolnego cia̧gu b = (b_{i}) ∈ c_{0}

lim_{n→∞} ∑_{i=1}^{∞} a_{n,i}b_{i} = b_{1}.

Udowodnij, że

sup_{n} ∑_{i} |a_{n,i}| < ∞.