Kartkówka 3 gr.1, 14 stycznia 2008

1. Jaki warunek musi spełniać ciąg a_{n}, by funkcje f_{n} = a_{n}I_{[0,1/n]} zbiegały słabo do zera

a) w L_{1}[0, 1]

b) w L_{2}[0, 1]?

2. Załóżmy, że T x = (T_{1}x, T_{2}x, …) oraz T jest operatorem liniowym między przestrzenią Banacha X a c_{0}. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n, x → ∑ _{i=1}^{n} T_{i}x jest ciągłym funkcjonałem na X.

Kartkówka 3 gr.2, 14 stycznia 2008

1. Załóżmy, że T x = (T_{1}x, T_{2}x, …) oraz T jest operatorem liniowym między przestrzenią Banacha X a l_{1}. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n, x → ∑ _{i=1}^{n} T_{i}x jest ciągłym funkcjonałem na X.

2. Jaki warunek musi spełniać ciąg a_{n}, by funkcje f_{n} = nI_{[0,a_{n}]} zbiegały słabo do zera

a) w L_{1}[0, 1]

b) w L_{2}[0, 1]?

1. Wykaż, że operator T dany wzorem

T x = (x_{1}, \frac{1}{2}(x_{1} + x_{2}), \frac{1}{3}(x_{1} + x_{2} + x_{3}), …)

jest zwartym operatorem z l_{1} w c_{0}.

2. Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzenią Banacha X a C[0, 1]. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego t ∈ [0, 1], x → ∫_{0}^{t} T x(s)ds jest ciągłym funkcjonałem na X.

Kartkówka 3 gr.4, 14 stycznia 2008

1. Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzenią Banacha X a C[0, 1]. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego t ∈ [0, 1], x → ∫_{t}^{1} T x(s)ds jest ciągłym funkcjonałem na X.

2. Wykaż, że operator T dany wzorem

T x = (x_{1}, \frac{1}{\sqrt{2}}(x_{1} + x_{2}), \frac{1}{\sqrt{3}}(x_{1} + x_{2} + x_{3}), …)

jest zwartym operatorem z l_{1} w c_{0}.