Kartkówka 2 gr.1, 19 listopada 2007

1. Niech M = {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ l_{2}: x_{2n−1} = x_{2n} dla n = 1, 2, …} Znajdź przestrzeń M^{⊥} oraz rzut wektora e_{1} = (1, 0, 0, …) na M.

2. Czy przestrzeń funkcji ciągłych na (−∞, ∞) zbieżnych do 0 przy |x| dążącym do nieskończoności z normą supremum jest przestrzenią ośrodkową? W przypadku pozytywnej odpowiedzi, podaj przykład przeliczalnego zbioru gęstego.

Kartkówka 2 gr.2, 19 listopada 2007

1. Czy przestrzeń funkcji ciągłych na [0, ∞) zbieżnych do 0 w nieskończoności z normą supremum jest przestrzenią ośrodkową? W przypadku pozytywnej odpowiedzi, podaj przykład przeliczalnego zbioru gęstego.

2. Niech M = {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ l_{2}: x_{2n−1} = −x_{2n} dla n = 1, 2, …} Znajdź przestrzeń M^{⊥} oraz rzut wektora e_{2} = (0, 1, 0, 0, …) na M.

Kartkówka 2 gr.3, 19 listopada 2007

1. Czy przestrzeń C^{1}[−1, 1] funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale [−1, 1] z normą ∥f∥_{∞} + ∥f′∥_{∞} jest przestrzenią ośrodkową? W przypadku pozytywnej odpowiedzi, podaj przykład przeliczalnego zbioru gęstego.

2. Znajdź rzut funkcji f(t) = t^{4} na przestrzeń rozpiętą przez funkcje f_{1}(t) = 1, f_{2}(t) = t^{2} w L_{2}[−1, 1].

Kartkówka 2 gr.4, 19 listopada 2007

1. Znajdź rzut funkcji f(t) = \sqrt{t} na przestrzeń rozpiętą przez funkcje f_{1}(t) = 1, f_{2}(t) = t w L_{2}[0, 4].

2. Czy przestrzeń C^{1}[0, 1] funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale [0, 1] z normą |f(0)| + ∥f′∥_{∞} jest przestrzenią ośrodkową? W przypadku pozytywnej odpowiedzi, podaj przykład przeliczalnego zbioru gęstego.