Kartkówka 2 gr.I, 30 maja 2006

1. Funkcje (f_{n}(t))_{n 0} stanowią bazę ortonormalną przestrzeni L^{2}[0, 1]. Niech g_{n}(t) := f_{n}(2t)I_{[0,1/2]}(t).

a) Czy układ (g_{n})_{n 0} jest ortogonalny w L^{2}[0, 1]. Czy jest ortonormalny?

b) Czy jest to układ zupełny?

c) Oblicz ∥ ∑ _{n=0}^{∞} 2^{−n} g_{n}∥.

2. Znajdź rzut funkcji f(t) = \frac{1}{t} na przestrzeń rozpiętą przez funkcje f_{1}(t) = 1 i f_{2}(t) = t w L^{2}[1, 2].

Kartkówka 2 gr.II, 30 maja 2006

1. Znajdź rzut funkcji f(t) = \frac{1}{t+1} na przestrzeń rozpiętą przez funkcje f_{1}(t) = 1 i f_{2}(t) = t w L^{2}[0, 1].

2. Funkcje (f_{n}(t))_{n 0} stanowią bazę ortonormalną przestrzeni L^{2}[−1, 1]. Niech g_{n}(t) := f_{n}(3t)I_{[−1/3,1/3]} (t).

a) Czy układ (g_{n})_{n 0} jest ortogonalny w L^{2}[−1, 1]. Czy jest ortonormalny?

b) Czy jest to układ zupełny?

c) Oblicz ∥ ∑ _{n=0}^{∞} 3^{−n} g_{n}∥.