Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Analizy Funkcjonalnej I grupa I, 2 lutego 2008

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z wybranych zadań napisać na osobnej kartce podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy i zadania. Za podpunkty oznaczone gwiazdką można zdobyć dodatkowe punkty. Można korzystać z faktów z wykładu i ćwiczeń pod warunkiem ich dokładnego sformułowania.

1. (8pkt) a) Czy przestrzeń funkcji C[0, 1] z normą ∥f∥ = ∫_{0}^{1} |f(x)|dx jest przestrzenią unormowaną? Czy jest to przestrzeń Banacha? Czy jest ośrodkowa? b*) Czy istnieje norma na przestrzeni wszystkich wielomianów, która zadaje strukturę przestrzeni Banacha?

2. (8pkt) Wektory u_{n} z przestrzeni Hilberta H spełniają warunek

lim_{n→∞} ⟨x, u_{n}⟩ = 0 dla wszystkich x ∈ H.

Wykaż, że przekształcenie x → (⟨x, u_{n}⟩)_{n 0} jest ciągłe z H w c_{0}.

3. (8pkt) Niech

X_{0} := {x = (x_{n})_{n 1} ∈ l_{2}: x_{1} + 2x_{2} = 0, 2x_{3} − x_{4} = 0, x_{i} = 0 dla i 5}.

Czy X_{0} jest domkniętą podprzestrzenią l_{2}? Znajdź odległość wektora (1, 1/2, 1/4, …) od X_{0}.

4. (8pkt) Na przestrzeni L_{2}(ℝ) określamy operator T wzorem T f(x) = e^{−|x|} f(x + 1). a) Czy T jest ciągły? Oblicz ∥T ∥.

b) Znajdź operator hilbertowsko sprzężony T^{∗} i oblicz jego normę.

5. (8pkt) Niech

T f(x) = ( ∫_{3^{−n}}^{2^{−n}} f(x)dx) _{n=1}^{∞} , f ∈ C[0, 1].

a) Wykaż, że T jest ciągłym operatorem z C[0, 1] w c_{0}.

b) Czy T jest zwarty? c*) Wykaż, że każdy zwarty operator o wartościach w c_{0} jest granicą w normie operatorów skończenie wymiarowych.

6. (8pkt) Określmy ciąg przekształceń T_{n} ∈ B(l_{4}, l_{4}) wzorem T_{n}x = (x_{n+1} , x_{n+2} , …). Czy a) ∥T_{n}∥ → 0,

b) ∥T_{n}x∥ → 0 dla każdego x ∈ l_{4},

c) ∥T_{n}^{∗}φ∥ → 0 dla każdego φ ∈ l_{4}^{∗}?

Część testowa

Proszę uzupełnić wykropkowane miejsca i podać odpowiedzi na zadane pytania.

1. (4pkt) Id: L_{p}[−1, 2] → L_{q}[−1, 2] jest dobrze określona i ciągła wtedy i tylko wtedy gdy .................. Ponadto ∥Id∥_{L_{p} [−1,2]→L_{q}[−1,2]} = ...................................

2. (3pkt) Podaj przykład bazy ortonormalnej przestrzeni L_{2}[−1, 1].

3. (3pkt) Sformułuj twierdzenie o diagonalizacji operatorów zwartych samosprzężonych dla ośrodkowych przestrzeni Hilberta nieskończonego wymiaru.

4. (4pkt) Niech f_{n} = a_{n}I_{[n,2n]} . Wówczas f_{n} i) zbiega w normie do zera w L_{4}([0, ∞)) wtedy i tylko wtedy gdy ......................... ii) zbiega słabo do zera w L_{4}([0, ∞)) wtedy i tylko wtedy gdy ............................

5. (3pkt) Niech

X = {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} : ∥x∥ = ( ∑_{n=1}^{∞} n|x_{n}|^{3})^{1/3} < ∞}.

Wówczas X jest przestrzenią (podkreśl prawidłowe odpowiedzi):

unormowaną, Banacha,  Hilberta,  ośrodkową,  izometryczną z l_{3}.

6. (3pkt) Niech X będzie przestrzenią z poprzedniego zadania oraz dla y = (y_{n})_{n=1}^{∞} i x ∈ X, φ_{y}(x) = ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n}. Wówczas φ_{y} ∈ X^{∗} wtedy i tylko wtedy gdy .............................. Ponadto ∥φ_{y}∥_{X^{∗}} =

7. (4pkt) Operator T: l_{2} → l_{2} jest dany wzorem T x = (x_{1} −2x_{2}, 2x_{1} +x_{2}, ix_{3}, ix_{4}, …). Wówczas σ(T) = ..................................................... oraz σ(T^{∗}) = ...................................................

8. (4pkt) Niech T: l_{2} → l_{1}

T x = ( x_{1} + \frac{1}{2}x_{2}, \frac{1}{2}x_{2} + \frac{1}{4}x_{3}, \frac{1}{4}x_{3} + \frac{1}{8}x_{4}, …) .

Wówczas T^{∗} działa z przestrzeni ..... w przestrzeń ...... i ma postać

T^{∗}y = ...............................................................................

9. (2pkt) Podaj definicję operatora zwartego.

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Analizy Funkcjonalnej I grupa II, 2 lutego 2008

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i pełne rozwiązanie każdego z wybranych zadań napisać na osobnej kartce podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy i zadania. Za podpunkty oznaczone gwiazdką można zdobyć dodatkowe punkty. Można korzystać z faktów z wykładu i ćwiczeń pod warunkiem ich dokładnego sformułowania.

1. (8pkt) Niech

T f(x) = ( ∫_{5^{−n}}^{3^{−n}} f(x)dx) _{n=1}^{∞} , f ∈ C[0, 1].

a) Wykaż, że T jest ciągłym operatorem z C[0, 1] w c_{0}.

b) Czy T jest zwarty? c*) Wykaż, że każdy zwarty operator o wartościach w c_{0} jest granicą w normie operatorów skończenie wymiarowych.

2. (8pkt) Niech

X_{0} := {x = (x_{n})_{n 1} ∈ l_{2}: 3x_{1} + x_{2} = 0, x_{3} − 3x_{4} = 0, x_{i} = 0 dla i 5}.

Czy X_{0} jest domkniętą podprzestrzenią l_{2}? Znajdź odległość wektora (1, 1/3, 1/9, …) od X_{0}.

3. (8pkt) Na przestrzeni L_{2}(ℝ) określamy operator T wzorem T f(x) = arctg(x)f(x − 1). a) Czy T jest ciągły? Oblicz ∥T ∥.

b) Znajdź operator hilbertowsko sprzężony T^{∗} i oblicz jego normę.

4. (8pkt) a) Czy przestrzeń funkcji C[−1, 1] z normą ∥f∥ = (∫_{−1}^{1} |f(x)|^{3}dx)^{1/3} jest przestrzenią unormowaną? Czy jest to przestrzeń Banacha? Czy jest ośrodkowa? b*) Czy istnieje norma na przestrzeni wszystkich wielomianów, która zadaje strukturę przestrzeni Banacha?

5. (8pkt) Określmy ciąg przekształceń T_{n} ∈ B(l_{3}, l_{3}) wzorem T_{n}x = (x_{2n+1} , x_{2n+2} , …). Czy a) ∥T_{n}∥ → 0,

b) ∥T_{n}x∥ → 0 dla każdego x ∈ l_{3},

c) ∥T_{n}^{∗}φ∥ → 0 dla każdego φ ∈ l_{3}^{∗}?

6. (8pkt) Wektory u_{n} z przestrzeni Hilberta H spełniają warunek

lim_{n→∞} ⟨x, u_{n}⟩ = 0 dla wszystkich x ∈ H.

Wykaż, że przekształcenie x → (⟨x, u_{n}⟩)_{n 0} jest ciągłe z H w c_{0}.

Część testowa

Proszę uzupełnić wykropkowane miejsca i podać odpowiedzi na zadane pytania.

1. (3pkt) Niech

X = {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} : ∥x∥ = ( ∑_{n=1}^{∞} (n + 1)|x_{n}|^{4})^{1/4} < ∞}.

Wówczas X jest przestrzenią (podkreśl prawidłowe odpowiedzi):

unormowaną, Banacha,  izometryczną z l_{4},  Hilberta,  ośrodkową.

2. (3pkt) Niech X będzie przestrzenią z poprzedniego zadania oraz dla y = (y_{n})_{n=1}^{∞} i x ∈ X, φ_{y}(x) = ∑ _{n=1}^{∞} x_{n}y_{n}. Wówczas φ_{y} ∈ X^{∗} wtedy i tylko wtedy gdy .............................. Ponadto ∥φ_{y}∥_{X^{∗}} =

3. (3pkt) Podaj przykład bazy ortonormalnej przestrzeni L_{2}[0, 5].

4. (2pkt) Podaj definicję operatora zwartego.

5. (4pkt) Id: L_{p}[0, 2] → L_{q}[0, 2] jest dobrze określona i ciągła wtedy i tylko wtedy gdy .................. Ponadto ∥Id∥_{L_{p} [0,2]→L_{q}[0,2]} = ...................................

6. (4pkt) Niech T: l_{2} → c_{0}

T x = ( x_{1} − \frac{1}{2}x_{2}, \frac{1}{2}x_{2} − \frac{1}{4}x_{3}, \frac{1}{4}x_{3} − \frac{1}{8}x_{4}, …) .

Wówczas T^{∗} działa z przestrzeni ..... w przestrzeń ...... i ma postać

T^{∗}y = ...............................................................................

7. (4pkt) Niech f_{n} = a_{n}I_{[\sqrt{n},n]}. Wówczas f_{n} i) zbiega w normie do zera w L_{3}([0, ∞)) wtedy i tylko wtedy gdy ......................... ii) zbiega słabo do zera w L_{3}([0, ∞)) wtedy i tylko wtedy gdy ............................

8. (4pkt) Operator T: l_{2} → l_{2} jest dany wzorem T x = (2x_{1} − 3x_{2}, 3x_{1} + 2x_{2}, ix_{3}, ix_{4}, …). Wówczas σ(T) = ..................................................... oraz σ(T^{∗}) = ...................................................

9. (3pkt) Sformułuj twierdzenie o diagonalizacji operatorów zwartych samosprzężonych dla ośrodkowych przestrzeni Hilberta nieskończonego wymiaru.