Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Analizy Funkcjonalnej I* 1 lutego 2013

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać cztery i napisać ich pełne rozwiązania na osobnych kartkach podpisanych imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i zadania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–10 pkt. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Załóżmy, że T jest ciągłym operatorem liniowym na przestrzeni Banacha X. Określmy

e^{T} = Id + ∑_{k=1}^{∞} \frac{T^{k}}{k!}.

Udowodnij, że

a) powyższy szereg jest zbieżny w normie operatorowej;

b) e^{T} jest granicą w normie operatorowej ciągu (Id + \frac{T}{n})^{n};

c) e^{T} jest odwracalny i (e^{T})^{−1} = e^{−T} ;

d) e^{T} − Id jest zwarty, jeśli T jest zwarty.

2. Niech X będzie przestrzenią unormowaną oraz

Y := {(x_{n})_{n=1}^{∞} : x_{n} ∈ X, ∥(x_{n})∥ := ( ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥^{2})^{1/2} < ∞}

Wykaż, że

a) Y jest przestrzenią unormowaną;

b) Y jest ośrodkowe wtedy i tylko wtedy, gdy X jest ośrodkowe;

c) Y jest Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy X jest Banacha;

d) Y jest przestrzenią Hilberta, jeśli X jest przestrzenią Hilberta.

3. Operator T: L_{1}[0, ∞) → l_{2} jest dany wzorem

T f = ( ∫_{n−1}^{n} f(x)dx) _{n=1}^{∞} .

a) Wykaż, że T jest ciągły i oblicz ∥T ∥.

b) Znajdź T^{∗} i oblicz ∥T^{∗}∥.

c) Czy T jest operatorem zwartym?

4. Operator T na przestrzeni C[−2, 2] jest dany wzorem

T f(x) = \{ \begin{matrix}−f(x) & dla x ∈ [−2, −1] \\ xf(x) & dla x ∈ [−1, 0] \\ ∫_{0}^{x} f(y)dy & dla x ∈ [0, 2]. \end{matrix}

a) Oblicz ∥T ∥.

b) Znajdź wartości własne T.

c) Znajdź widmo T. (Wskazówka. Operator T �obcięty” do C[0, 2] jest zwarty.)

5. Załóżmy, że T jest liniowym przekształceniem przestrzeni Banacha X w C[0, 1] takim, że dla każdego n = 0, 1, 2, … przekształcenie x ↦ ∫_{0}^{1} t^{n}T x(t)dt jest ciągłym funkcjonałem liniowym na X. Czy wynika stąd, że przekształcenie T jest ciągłe?

Część testowa

1. (3pkt) Sformułuj twierdzenie o postaci zwartego operatora na ośrodkowej przestrzeni Hilberta nieskończonego wymiaru.

2. (5pkt) a) Podaj definicję transformaty Fouriera

f̂(t) = ................................................

b) Dla f(x) = e^{−2x^{2}} sinx, f̂(t) =......................................

c) Jeśli f̂(t) = e^{−|t|} , to f(x) =.........................................

3. (3pkt) Kula jednostkowa w L_{p}[0, 1] jest zwarta w słabej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy ..............................................

4. (3pkt) Niech f_{n} = a_{n}I_{[n,2n]} . Wówczas f_{n} zbiega w normie do zera w L_{4}([0, ∞) wtedy i tylko wtedy, gdy .............................. zbiega słabo do zera w L_{4}([0, ∞) wtedy i tylko wtedy, gdy ...................................

5. (3pkt) Sformułuj twierdzenie Banacha-Steinhausa.

6. (3pkt) Podaj przykład operatora samosprzężonego na l_{2}, którego widmo jest równe [0, 1]. Czy operator taki może być zwarty?

7. (4pkt) Niech

M := {f ∈ L_{2}[0, ∞): ∫_{n}^{n+1} xf(x) = 0, n = 0, 1, 2, …}.

Wówczas M^{⊥} = ........................................................................................................... oraz P_{M} (e^{−x} ) = .............................................

8. (3pkt) Podaj przykład bazy ortonormalnej przestrzeni L_{2}([0, ∞)).

9. (3pkt) Opisz przestrzeń sprzężoną do C[0, 1].