Egzamin z Obliczeń Naukowych, 05.06.2000. (2,5 godz.)

1. (5 pkt) Niech $D$ będzie otwartym, niepustym podzbiorem $R^N$. Funkcja $G: D \rightarrow R^M$ nazywa się Hölderowską z wykładnikiem $\alpha$, gdy

   
   

   $$\vert\vert F(x) - F(y) \vert\vert \leq K \vert\vert x-y\vert\vert^\alpha \qquad x,y\in D.$$
   
   

   Udowodnić lub obalić następujące twierdzenie: Jeśli w założeniach standardowych założenie Lipschitzowskości osłabić założeniem Hölderowskości z wykładnikiem $0<\alpha\leq 1$, to metoda Newtona będzie lokalnie zbieżna z wykładnikiem $1+\alpha$.

2. (5 pkt) Rozważmy zadanie rozwiązywania układu równań $Ax=b$, gdzie $A$ jest symetryczną i dodatnio określoną macierzą rozrzedzoną wymiaru $N\times N$. Oszacować z góry liczbę iteracji metody CG potrzebnych do zredukowania normy $\vert\vert\cdot\vert\vert _A$ błędu o czynnik $10^{-6}$, jeśli wiadomo, że $\sigma(A)\subset [\lambda_{\min}, \lambda_{\max}].$

3. (3 pkt) Wyjaśnij, co to jest preconditioning, kiedy się go stosuje i dlaczego. Podaj przykład prostego preconditionera i krótko opisz jego wady i zalety.

4. (3 pkt) Podaj przykład dwóch (matematycznie równoważnych) algorytmów numerycznych, z których jeden źle, a drugi dobrze wykorzystuje hierarchię pamięci współczesnego komputera. Wyjaśnij możliwie precyzyjnie, w czym tkwi różnica.

Oceny: 8..10 pkt - dst, 11..13 pkt - db, 14..16 pkt - bdb.
P O W O D Z E N I A !

Ta strona została stworzona na podstawie pliku w formacie LaTeX2e przy użyciu konwertera Latex2HTML