Matematyka obliczeniowa - laboratorium

• Omawiane treści
• Programy
• Zasady zaliczenia
• Ciekawe linki

Aktualności

W laboratorium będziemy pracowali w systemie Linux. Programy będziemy pisać w

1. systemie obliczeń numerycznych Octave (darmowym klonie MATLABa)
2. języku C (jeśli w ogóle).

Ze względu na prawie stuprocentową przenośność kodu w języku C, można będzie testować tworzone w LABie programy w innych środowiskach programistycznych, takich, jak popularne w systemie Windows środowiska Microsoft Visual Studio, czy Borland C++.

MATLAB i Octave

Są to bardzo wygodne w użyciu środowiska obliczeń numerycznych i wizualizacji. W naszym labie są dostępne oba, leczy tylko Octave jest darmowy. Warto zaznaczyć, że z Octave można także korzystać wprost przez przeglądarkę internetową, dzięki narzędziu opracowanemu jako jeden z projektów Koła Naukowego Numeryków przy naszym wydziale.

Matlab w akcji. Zwróć uwagę na zintegrowane środowisko użytkownika

Octave w akcji. Zwróć uwagę na ascetyczny, tekstowy interfejs.

Komendy MATLABa i Octave są praktycznie identyczne, a różnice dotyczą tylko subtelności składni (fajniejsza jest w Octave) oraz interfejsu i narzędzi użytkownika/programisty (tu zdecydowanie wygrywa MATLAB). MATLAB też często działa szybciej, co jednak w naszym przypadku nie będzie odgrywało żadnej roli.

Szybki wstęp do Octave i MATLABa. Więcej dowiesz się o tych systemach, sięgając po dodatkowe materiały.

Treści omawiane na zajęciach

Możesz także przeglądać wybrane programy wykorzystywane/opracowywane na zajęciach.

LAB 1

Wprowadzenie do Octave

1. Wprowadzenie do Octave/MATLABa: macierze, działania arytmetyczne i macierzowe.
2. Numeryczne wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu o zadanych miejscach zerowych roots( poly(x) ) w MATLABie/Octave:
   1. x = [1,2,...,n] - bardzo dobrze, nawet dla n = 15.
   2. x = [1,1,...,1] (n-krotne miejsce zerowe) - już dla n = 3 są kłopoty z dokładnością
3. Rysowanie wykresĂłw: plot(x,y)
4. Po drodze uczymy się kilku poĹźytecznych umiejętności w MATLABie/Octave. W codziennej pracy z Octave moĹźe Ci się przydać ściągawka do Octave, zawierająca na dwóch kartkach formatu A4 zestawienie najczęściej używanych poleceń. MoĹźna ją wydrukować, zgiąć na trzy części i mieć pod ręką poczas pracy. PoniĹźej przebieg krĂłtkiej sesji w Octave.

LAB 2

Eksperymenty z arytmetyką fl.

1. Skrypty w Octave.
2. Własności arytmetyki fl i metoda wyznaczania precyzji arytmetyki.
3. Jak wygląda wykres (x-2)¹³ w małym otoczeniu 2? (w szczegĂłlności, ile ma miejsc zerowych)
4. Co to jest epsilon maszynowy eps i jak odległe są od siebie kolejne liczby rzeczywiste w komputerze (to zaleĹźy od tego, jaka jest ich wartość...).
5. Komputerowy "dowód", że pochodne bardzo wielu funkcji są równe zero. Czy potrafisz wskazać funkcję o niezerowej pochodnej, dla której jednak dostaniemy dobre wartości?
6. Wyznaczamy exp(x) z szeregu Maclaurina: dlaczego działa niespodziewanie źle dla ujemnych x?

LAB 3

RĂłwnania nieliniowe

1. Funkcje w Octave.
2. Implementacja metody Newtona w Octave/MATLAB-ie. Warto porĂłwnać z wbudowaną funkcją MATLAB-a fzero.
3. Testy zbieżności metody Newtona dla

   x²-2, x₀ = 2

   bardzo szybka zbieżność (kwadratowa)

   cos(x), x₀ = 1.5

   strasznie szybka zbieżność (sześcienna! - dlaczego?)

   sin(x), x₀ = 1.5

   odlot w nieznanym kierunku, potem zbieżność j.w.

   (x-1)⁴, x₀ = 2

   dziwnie wolna zbieżność (liniowa zbieżność residuów ze współczynnikiem około 0.3 - dlaczego?)

   x²-2, x₀ = 10⁶

   początkowo bardzo wolna, ale potem znów obserwujemy kwadratową zbieżność (dlaczego?)

4. Wyznaczamy miejsce zerowe f(x) = (x-2)¹³ metodą Newtona z x₀ = 4 i tolerancją 10^-6, czyli efekt złego uwarunkowania. Wyznacznone rozwiązanie spełnia warunek |f(x)| < TOL, ale wciąż jest bardzo daleko od rozwiązania dokładnego!

LAB 3

RĂłwnania liniowe i nie tylko.

1. Rozkłady typu LU w MATLABie i Octave i jak ich używać
2. Rozwiązywanie układu równań, także z wieloma prawymi stronami
3. Macierz, dla ktĂłrej eliminacja Gaussa z wyborem w kolumnie jest niestabilna.
4. Macierz, której uwarunkowanie rośnie wykładniczo z wymiarem
5. Macierze losowe są "łatwe".
6. Informacja o bibliotekach BLAS, LAPACK i ogłoszenie konkursu.

Zasady zaliczenia

• Na kaĹźdym labie (z wyjątkiem pierwszego) będzie 10-minutowa wejściĂłwka z poprzedniego tematu. Za kaĹźdą wejściĂłwkę moĹźna dostać max. 5 punktĂłw. Na zakończenie suma punktĂłw zostanie przeskalowana do poziomu ustalonego przez Wykładowcę.

• Nie ma instytucji poprawiania wejściĂłwki, ale w przypadku usprawiedliwionej nieobecności, moĹźna ją napisać (oczywiście z innym zadaniem) w innym terminie.

Punkty uzyskane na labie liczą się do końcowej oceny z przedmiotu.

Ciekawe linki

Więcej o Octave i MATLABie

• Podręcznik do MATLAB-a i Octave, uwzględniający zadania matematyki obliczeniowej:
  • P. Krzyżanowski, Obliczenia inżynierskie i naukowe, PWN, 2011.
• Kermit Sigmon, MATLAB Primer, klasyczna ściągawka do starej wersji MATLABa - wciąż aktualna.
• Desmond i Nicholas Higham, MATLAB guide, znakomita książka o MATLABie napisana przez wybitnych numeryków.
• Cleve Moler, Numerical computing with MATLAB, zestaw ciekawych historyjek o intrygujących problemach numerycznych, spisanych przez samego Twórcę MATLABa.

Kolekcja instrukcji wideo do MATLABa i Octave

Paul Nissenson z UC Irvine (USA), opracował serię krótkich filmików, jak używać Octave, do obejrzenia na YouTube. Po angielsku, ale warto!

Na stronie producenta MATLAB-a, jest mnóstwo tutoriali wideo, oczywiście nie po polsku. Wiele z filmów można obejrzeć za darmo. Gdyby zapomnieć o graficznym środowisku, większość podanych w nich informacji można zastosować do Octave'a. Na początek proponuję:

• Getting Started with MATLAB - wprowadzenie do MATLAB-a
• Writing a MATLAB program - jak tworzyć własne funkcje
• Basic plotting functions - proste wykresy

MATLAB ma nawet swój kanał na YouTube. Dla koneserów.