Ciągłość jednostajna

Dla ustalonej funkcji ff, punktu xx i wartości ε\varepsilon skrypt sam dobiera największą wartość δ\delta spełniającą warunek z definicji ciągłości. Każda z danych do wyboru funkcji ff jest ciągła, więc da się dobrać odpowiednią δ\delta. Mówiąc obrazowo, wyznaczana jest tutaj maksymalna wartość δ\delta, dla której wykres na przedziale (xδ,x+δ)(x-\delta,x+\delta) mieści się w prostokącie (xδ,x+δ)×(f(x)ε,f(x)+ε)(x-\delta,x+\delta) \times (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon) (zaznaczonym przerywaną linią).

Wartość δ(ε,x)\delta(\varepsilon,x) można śledzić na diagramie (czerwony punkt) lub na marginesie. Należy zwrócić uwagę, jak zmienia się ona w zależności od xx. Zgodnie z definicją, funkcja ff jest jednostajnie ciągła dokładnie wtedy, gdy δ(ε,x)\delta(\varepsilon,x) ma wspólne dla wszystkich xx z dziedziny dolne ograniczenie δ0(ε)>0\delta_0(\varepsilon) > 0. Wśród podanych przykładów, warunek ten spełniają funkcje f(x)=xf(x) = \sqrt{x} i f(x)=x2f(x) = x^2. Dla pozostałych dwóch wartość δ(ε,x)\delta(\varepsilon,x) zbiega do zera przy x0x \to 0.

Ogólnie da się stwierdzić, że funkcja ciągła na (0,1](0,1] jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy posiada skończoną granicę przy x0x \to 0. Istotnie:
– Jeśli granica g:=limx0f(x)g := \lim_{x \to 0} f(x) istnieje i jest skończona, to funkcja ff dookreślona przez f(0)=gf(0) = g jest ciągła na [0,1][0,1]. Na mocy twierdzenia Heinego-Cantora jest więc jednostajnie ciągła na [0,1][0,1], tym bardziej na (0,1](0,1].
– Jeśli funkcja ff jest jednostajnie ciągła na (0,1](0,1], to łatwo sprawdzić, że ciąg f(xn)f(x_n). spełnia warunek Cauchy'ego dla dowolnego ciągu xn0x_n \to 0. Stąd można już wywnioskować istnienie granicy limx0f(x)\lim_{x \to 0} f(x).

Michał Miśkiewicz 2021