Dla ustalonej funkcji f, punktu x i wartości ε skrypt sam dobiera największą wartość
δ spełniającą warunek z definicji ciągłości.
Każda z danych do wyboru funkcji f jest ciągła, więc da się dobrać odpowiednią δ.
Mówiąc obrazowo, wyznaczana jest tutaj maksymalna wartość
δ, dla której wykres na przedziale (x−δ,x+δ) mieści się w prostokącie
(x−δ,x+δ)×(f(x)−ε,f(x)+ε) (zaznaczonym przerywaną linią).
Wartość δ(ε,x) można śledzić na diagramie (czerwony punkt) lub na marginesie.
Należy zwrócić uwagę, jak zmienia się ona w zależności od x. Zgodnie z definicją, funkcja f jest
jednostajnie ciągła dokładnie wtedy, gdy δ(ε,x) ma wspólne dla wszystkich x z dziedziny
dolne ograniczenie δ0(ε)>0. Wśród podanych przykładów, warunek ten spełniają funkcje
f(x)=x i f(x)=x2. Dla pozostałych dwóch wartość δ(ε,x) zbiega do zera
przy x→0.
Ogólnie da się stwierdzić, że funkcja ciągła na (0,1] jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy
posiada skończoną granicę przy x→0. Istotnie:
– Jeśli granica g:=limx→0f(x) istnieje i jest skończona,
to funkcja f dookreślona przez f(0)=g jest ciągła na [0,1]. Na mocy twierdzenia Heinego-Cantora
jest więc jednostajnie ciągła na [0,1], tym bardziej na (0,1].
– Jeśli funkcja f jest jednostajnie ciągła na (0,1], to łatwo sprawdzić, że ciąg f(xn).
spełnia warunek Cauchy'ego dla dowolnego ciągu xn→0.
Stąd można już wywnioskować istnienie granicy limx→0f(x).