Ciągłość jednostajna

Przypomnijmy definicje ciągłości i jednostajnej ciągłości funkcji $f$ na tej samej dziedzinie: \forall \, \varepsilon > 0 \ {\color{green} \forall \, x} \ {\color{blue} \exists \, \delta > 0} \ \forall \, y \quad & |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon && \text{(ciągłość)} \\ \forall \, \varepsilon > 0 \ {\color{blue} \exists \, \delta > 0} \ {\color{green} \forall \, x} \ \forall \, y \quad & |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon && \text{(jedn. ciągłość)} Kolejność kwantyfikatorów odpowiada za to, do czego możemy dobierać $\delta$. W pierwszym przypadku osobno dla każdego $\varepsilon$ i $x$, a w drugim tylko do $\varepsilon$ – ta sama $\delta$ musi wystarczyć dla wszystkich $x$. Definicje można przeformułować, żeby lepiej to oddać: \forall \, \varepsilon > 0 \ \forall \, x \ \forall \, y \quad & |x-y| < {\color{blue} \delta(\varepsilon,x)} \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon && \text{(ciągłość)} \\ \forall \, \varepsilon > 0 \ \forall \, x \ \forall \, y \quad & |x-y| < {\color{blue} \delta(\varepsilon)} \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon && \text{(jedn. ciągłość)}

Dla ustalonej funkcji $f$, punktu $x$ i wartości $\varepsilon$ skrypt sam dobiera największą wartość $\delta$ spełniającą warunek z definicji ciągłości. Każda z danych do wyboru funkcji $f$ jest ciągła, więc da się dobrać odpowiednią $\delta$. Mówiąc obrazowo, wyznaczana jest tutaj maksymalna wartość $\delta$, dla której wykres na przedziale $(x-\delta,x+\delta)$ mieści się w prostokącie $(x-\delta,x+\delta) \times (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)$ (zaznaczonym przerywaną linią).

Wartość $\delta(\varepsilon,x)$ można śledzić na diagramie (czerwony punkt) lub na marginesie. Należy zwrócić uwagę, jak zmienia się ona w zależności od $x$. Zgodnie z definicją, funkcja $f$ jest jednostajnie ciągła dokładnie wtedy, gdy $\delta(\varepsilon,x)$ ma wspólne dla wszystkich $x$ z dziedziny dolne ograniczenie $\delta_0(\varepsilon) > 0$. Wśród podanych przykładów, warunek ten spełniają funkcje $f(x) = \sqrt{x}$ i $f(x) = x^2$. Dla pozostałych dwóch wartość $\delta(\varepsilon,x)$ zbiega do zera przy $x \to 0$.

Ogólnie da się stwierdzić, że funkcja ciągła na $(0,1]$ jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy posiada skończoną granicę przy $x \to 0$. Istotnie:
– Jeśli granica $g := \lim_{x \to 0} f(x)$ istnieje i jest skończona, to funkcja $f$ dookreślona przez $f(0) = g$ jest ciągła na $[0,1]$. Na mocy twierdzenia Heinego-Cantora jest więc jednostajnie ciągła na $[0,1]$, tym bardziej na $(0,1]$.
– Jeśli funkcja $f$ jest jednostajnie ciągła na $(0,1]$, to łatwo sprawdzić, że ciąg $f(x_n)$. spełnia warunek Cauchy'ego dla dowolnego ciągu $x_n \to 0$. Stąd można już wywnioskować istnienie granicy $\lim_{x \to 0} f(x)$.

Michał Miśkiewicz 2021