Michał Strzelecki

Na ćwiczeniach do zdobycia jest 30 punktów (ponadto będą dwa kolokwia, każde za 35 punktów, i egzamin za 100 punktów). Nieusprawiedliwiona nieobecność na co najmniej 5 zajęciach może prowadzić do otrzymania obniżonej liczby punktów za ćwiczenia.

Punkty ćwiczeń będą się brały z szeroko rozumianej aktywności na zajęciach (od 0 do 4 punktów) i z prac domowych (od 0 do 30 punktów). Będzie pewna liczba pisemnych prac domowych, za które będzie można łącznie uzyskać pewien maksymalny wynik S (który zostanie na koniec odpowiednio przeskalowany).

Jeśli ktoś osiągnie z prac domowych wynik co najmniej 0.9S, to dostanie ostatecznie 30 punktów za ćwiczenia (niezależnie od wyniku aktywności, chyba że obecność będzie bardzo niezadowalająca). Jeśli ktoś osiągnie z prac domowych wynik mniejszy lub równy niż 0.2S, to dostanie 0 punktów za prace domowe (ale będzie mógł i tak dostać jakieś punkty za aktywność).

Osoby, które uzyskają z prac domowych wynik x, gdzie x jest pomiędzy 0.2S i 0.9S, dostaną ((x-0.2S)/(0.9S-0.2S))^a30 punktów za prace domowe; wykładnik a będzie pewną liczbą z przedziału (0,1] dobraną tak, by zapewnić rozsądny rozkład punktów (w szczególności uwzględniający nieznaną na razie trudność zadań domowych). Do tego dojdzie wynik za aktywność (jeśli suma przekroczy 30 punktów, to oceną ostateczną będzie 30 punktów).

• Uwaga. Numeracja zadań w pliku się zmienia, ale wcześniejsze wersje pliku, z odpowiednimi datami w nazwie, są nadal na serwerze.
• Pierwsza pisemna praca domowa. Termin oddania: piątek, 18.10.2024, godz. 14.15.
• Zadanie 1.2 (nierówność Höldera; dopisałem wskazówkę; najbardziej istotny jest podpunkt a), 1 punkt.
• 7 ostatnich podpunktów z zadania 1.23 (obliczyć granice; te bez cosinusa), 2 punkty.
• Zadanie 1.35 (funkcja ciągła wzdłuż wielu krzywych, ale nieciągła), 2 punkty.
• Druga pisemna praca domowa. Termin oddania: piątek, 25.10.2024, godz. 14.15.
• Zadanie 1.10 b) (przykład wielomianu dwóch zmiennych, którego obraz jest otwarty. Wskazówka: pokombinować; można znaleźć przykład, w którym pojawiają sie tylko wyrazy a_{k,l} x^k y^l z małymi k, l), 1 punkt.
• Zadanie 1.17 (norma dualna), 1 punkt.
• Zadanie 1.30 (ciągłość, krzywa y = sin(x)), 1 punkt.
• Zadanie 1.37 (funkcja dwóch zmiennych, wskazówka: to podobne do tego, co robiliśmy na ćwiczeniach, ale chyba nieco prostsze), 1 punkt.
• Trzecia pisemna praca domowa. Termin oddania: środa, 6.11.2024, godz. 8.30.
• Zadanie 1.9 (nieskończenie wiele zer), 1 punkt.
• Zadanie 1.25 (granica, a+b=1), 1 punkt.
• Zadanie A.19 (wokół warunku Carathéodory'ego - proszę przeczytać motywację, treść, plan pracy oraz wskazówki i podumać nad nimi, nawet jeśli zadanie wydaje się abstrakcyjne), 1 punkt.
• Zadanie A.22 (x-y wymierne), 1 punkt.
• Zadanie A.26 (dywan; nie trzeba bardzo drobiazgowo opisywać konstrukcji (dodatkowe pytania z topologii być może są na razie na wyrost, ale można o nich pomyśleć)), 1 punkt.
• Czwarta pisemna praca domowa. Termin oddania: piątek, 15.11.2024, godz. 14.15.
• Zadanie 2.20 (pisemnie tylko podpunkty a+b, podpunkt c proszę przeczytać i przemyśleć), 1 punkt.
• Dwie pierwsze funkcje z zadania 2.23 (zbadać różniczkowalność f, g), 2 punkty.
• Zadanie 2.11 (kresy, sugestia zbadać znak (dlaczego lepiej różniczkować po x niż po y?)), 1 punkt.
• Zadanie 2.12 (minimum po prostych, ale nie lokalne), 1 punkt.
• Zadanie 2.13 (jeden punkt krytyczny), 1 punkt.
• Piąta pisemna praca domowa. Termin oddania: piątek, 22.11.2024, godz. 14.15. Uwaga: delikatnie poprawiłem treści niektórych zadań.
• Zadanie 2.21 (dane df/dx, znaleźć df/dy i pochodną kierunkową), 1 punkt.
• Zadanie 2.40 (wskazówka: można to przeliczyć, ale być może lepiej jest myśleć geometrycznie, np. o poziomicach (być może w R^2 jest łatwiej)?), 1 punkt.
• Zadanie 2.45 (różniczka odwrotnej), 1 punkt.
• Zadanie A.34 (miara wykresu funkcji ciągłej, pisemnie tylko podpunkt a, ale resztę proszę przemyśleć (jak ktoś będzie chciał to spisać, to też sprawdzę)), 1 punkt.
• Zadanie A.37 (istnieje przedział, którego przecięcie ze zbiorem ma dużą miarę), 1 punkt.
• Szósta pisemna praca domowa. Termin oddania: środa, 4.12.2024, godz. 8.30.
• Zadanie 3.13 (istnieje funkcja o zadanych pochodnych cząstkowych; dodatkowa wskazówka: być może warto zerknąć też do dowodu tw. Schwarza), 1 punkt.
• Zadanie 3.14 (nie istnieje funkcja o zadanych pochodnych cząstkowych, mimo zgodności; dodatkowa wskazówka: nie jest potrzeba, bo to łatwe zadanie), 1 punkt.
• Zadanie 2.51 (z różniczkowaniem wyznacznika), 1 punkt.
• Zadanie A.47 (kwadrat i sześcian funkcji mierzalnej), 1 punkt.
• Siódma pisemna praca domowa. Termin oddania: piątek, 13.12.2024, godz. 14.15.
• Zadanie 3.24 (znaleźć punkty krytyczne, czy są lok. ekstrema?), 1,5 punkta.
• Zadanie 3.26 (granica; wskazówka: zasadniczo chodzi o to, żeby znaleźć wielomian Taylora, proszę pamiętać o 1/2!, można korzystać z wiedzy z AM 1), 1 punkt.
• Zadanie 3.27 (wielomian Taylora sumy czterech składników z normami; wskazówka: odpowiedź oczywiście należy uzasadnić, ale może da się skorzystać z symetrii? Można policzyć jakieś pochodne, ale rozwiązania nadmiernie rachunkowe i koszmarne będą oceniane na zero punktów), 1 punkt.
• Zadanie A.42 (tw. Sarda; to jest raczej nie jest zadanie z serii: zupełnie standardowe zadanie na kolokwium, ale ze wskazówką powinno być robialne), 1 punkt.
• Zadanie A.50 (pisemnie tylko podpunkty A, C, E; wskazówka: robiliśmy kiedyś zadanie A.3), 1 punkt.
• Ósma pisemna minipraca domowa. Termin oddania: piątek, 20.12.2024, godz. 14.15 (ale patrz niżej).
• Zadanie 4.24 (na TFU, jedno równanie, y = y(x,z)), 1 punkt.
• Zadanie B.29 (granica, całka po [0,n], sinus; dodatkowa wskazówka: może opłaca się najpierw zamienić zmienne?), 1 punkt.
• Uwaga (i ostrzeżenie). Te zadania są proste, bo materiał jest zupełnie świeży. W szczególności zadania nie są reprezentatywnym przykładem zadania na kolokwium czy normalną pracę domową.
• Uwaga. W środę, 18.12.2024, zobaczymy na ćwiczeniach więcej zadań na TFU -- rozwiązywanie zadania 4.24 można potraktować jako przygotowanie do zajęć.
• Uwaga. Prace, które zostaną oddane do piątku, 20.12.2024, do godziny 10.15 (można będzie zostawiać je np. w kopercie przy drzwiach mojego pokoju) na pewno sprawdzę na ćwiczenia 20.12.

Wcześniejsze wersje pliku, z odpowiednimi datami w nazwie, są nadal na serwerze):

• 8.10.2024 Dodałem zadanie 1.29 (topologia indukowana), co zmieniło numerację dalszych zadań.
• 11.10.2024 Dorzuciłem zadania z teorii miary.
• 18.10.2024 Poprawiłem kilka literówek.
• 23.10.2024 Dorzuciłem zadania z różniczkowania.
• 25.10.2024 Poprawiłem trochę literówek, dopisałem zadanie 2.26 (co zmieniło numerację dalszych zadań z tego rozdziału).
• 30.10.2024 Coś dopisałem w kilku miejscach i coś poprzestawiałem w rozdziale 2 (ale numeracja zadań z bieżącej pracy domowej nie uległa zmianie).
• 06.11.2024 Dalsze drobne zmiany w rozdziale 2. Dodałem kilka zadań z teorii miary: A.18 (pushforward measure), A.21 (luźno wokół rzutów zbiorów borelowskich), A.27 (bloki cyfr w rozwinięciu c.d.), A.34 (miara wykresu), A.38 (A-A zawiera przedział), A.39 (podzbiór niemierzalny), A.40 (brzeg obszaru).
• 15.11.2024 Drobne zmiany w zadaniach z bieżącej, piątej pracy domowej.
• 22.11.2024 Przejrzałem i poprawiłem fragment dotyczący funkcji mierzalnych.
• 27.11.2024 Dodałem wstępną wersję części o pochodnych wyższych rzędów (ale na pewno będą zmiany). Dodałem też m.in. ilustrację współrzędnych biegunowych (Rys. 2.1), zadanie 2.29 i 2.41, dwa zadania z poniedziałkowego kolokwium, zadanie A.51 o mierze wykresu funkcji mierzalnej (przez co zmieniłą się numeracja).
• 28.11.2024 Dodałem jeszcze jakiś tekst o drugiej różniczce i przekształceniach wieloliniowych (3.18, 3.19).
• 4.12.2024 Dodałem jakies zadania o laplasjanie (3.20, 3.21), drobne poprawki w kilku miejscach.
• 6.12.2024 Dodałem zadania o całkach. Uwaga 1: ten rozdział na pewno się jeszcze rozrośnie (być może w najbliższej przyszłości, być może później). Uwaga 2: do niektórych rzeczy (tw. Fubiniego, tw. o zamianie zmiennych dojdziemy zapewne dopiero w styczniu).
• 10.12.2024 Dodałem zadania na TFU i okolice. Uwaga: dyfeomorfizmy będziemy omawiać zapewne w styczniu.
• 13.12.2024 Drobne poprawki.
• 20.12.2024 Dopisałem zadanie 3.27, 3.31 (wokół Taylora/ekstremów lokalnych) i 4.26 (ekstrema lokalne funkcji uwikłanej), przestawiłem nieco kolejność zadań m.in. w rozdziale o całkach, tak by odpowiadała temu, co było na ćwiczeniach.