Równania Różniczkowe Zwyczajne
semestr letni 2019/20
Kolokwium 1
Termin kolokwium 16 kwietnia 2020, 14-18, sala 3180
Cztery zadania po 10 punktów każde. Materiał:
- Ta część jest przeterminowana ze względu na zamknięcie uczelni.
- Badanie istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań typu \(y'=f(x)g(y)\). Na przykład: zbadaj czy rozwiązanie równania \(y'=\frac{y^{2/3}}{1+x^2}\) z warunkiem początkowym \(y(0)=-1/2\) jest jednoznaczne
w przód.
- Badanie uciekania do nieskończoności bądź zbiegania do jakiegoś punktu równań \(y'=f(x,y)\), również w zależności od warunku początkowego.
- Analiza własności równań niejednorodnych \(y'=a(x)y+b(x)\), również opierająca się na postaci rozwiązania.
- Obliczenia i oszacowania z wykorzystaniem nierówności Gronwalla.
- Zadania z wykorzystywaniem wzoru na współrzędne biegunowe w przypadku równań postaci \(\dot x=f(x,y),\ \dot y=g(x,y)\). Współrzędne biegunowe to $r=\sqrt{x^2+y^2}$ i $\phi=\atn\frac{y}{x}$. Spełniona jest
zależność \(\dot r=\frac1r(\dot xx+\dot yy)\), \(\dot\phi=\frac{1}{r^2}(\dot yx-\dot xy)\).
Kolokwium 2
Termin kolokwium 21 maja 2020, 14-18, sala 3180
Cztery zadania po 10 punktów każde. Materiał:
- Ta część jest przeterminowana ze względu na zamknięcie uczelni.
- Równania liniowe o stałych współczynnikach. Asymptotyka, na przykład: dane jest równanie \(y'=Ay\) (macierz \(A\) jest dana). Wyznacz zbiór warunków początkowych \(B\) takich, że dla rozwiązania
z warunkiem \(y(0)=y_0\in B\) zachodzi \(\lim_{x\to\infty} ||y(x)e^{-x}||=0\).
- Równania liniowe wyższych rzędów postaci \(\sum a_iy^{(i)}=0\).
- Całki pierwsze.
- Równania z parametrem (bardziej zaawansowane). Na przykład: rozpatrujemy równanie \(y'=\mu x+y^2\) z warunkiem początkowym \(y(0)=0\). Niech \(y_1(x)\) będzie sumą zerowego i pierwszego
wyrazu rozwinięcia \(y\) w szereg potęgowy od \(\mu\). Oszacuj różnicę \(y-y_1\) (przez stałą) dla \(x\in[-1/4,1/4]\), \(\mu\in[-1/2,1/2]\).
Punkty z ćwiczeń
- Egzamin kończy się, gdy egzaminator nabierze pewności, jaką ocenę chce wystawić.
- Uwaga! W egzaminie jednocześnie może brać kilka osób, pod warunkiem, że egzaminator tak chce.
- Lista zagadnień z teorii będzie podana pod koniec maja.
- Za ćwiczenia do zdobycia jest od 0 do 20 punktów.
- Decyzja o sposobie przydziału jest wyłącznie w rękach ćwiczeniowców, przy czym:
- W przypadku dużych różnic punktowych pomiędzy grupami (przy korelacji z wynikami kolokwiów i egzaminu) wyniki poszczególnych grup mogą zostać przeskalowane.
Egzamin
- Ta część jest przeterminowana ze względu na zamknięcie uczelni.
- Egzamin będzie dwuczęściowy.
- Pierwsza część jest testowa (test wielokrotnego wyboru) i do zdobycia za nią jest 20 punktów.
- Druga część składa się z 5 zadań, obejmujących materiał obu kolowkiów a także:
- Linearyzację w otoczeniu punktu osobliwego w \(R^2\).
- Badanie stabilności punktu krytycznego.
- Ostateczna ocena zależy od łącznej sumy punktów. Przewidywany próg na ocenę dostatecznę: 75 punktów, na ocenę dobrą: 100 punktów.
- Osoba, która za żadne zadanie na egzaminie i kolokwiach nie uzyskała co najmniej 7 punktów (na 10 możliwych) nie zdaje egzaminu niezależnie od sumy uzyskanych punktów.
Egzamin. Nowa wersja
Wersja z 11 maja
- Podane są zadania do rozwiązania z terminem do 16. czerwca. W zadaniach mogą być jeszcze luki, do 18. maja można zgłaszać uwagi, że czegoś się nie rozumie.
- Każde zadanie za 1 punkt, podzielony przez liczbę osób, które je poprawnie rozwiążą. Minimalna liczba punktów za zadanie wynosi 0.05 punkta, to
znaczy, że jeśli zadanie odda 40 osób, to i tak każdy dostanie 0.05 punkta.
- Liczba punktów jest przeliczana jako 100 razy punkty z zadań domowych plus punkty z ćwiczeń, przy czym w wypadku uzyskania mniej niż 5 punktów z ćwiczeń, albo więcej niż 18, ta liczba może być modyfikowana (\(100\to 80\) gdy liczba punktów jest mniejsza niż 5 i \(100\to 120\), jeśli liczba punktów jest 19 lub 20).
- Ocena z części zadaniowej jest wypadkową liczby punktów. Orientacyjnie, na ocenę dostateczną wymagane będzie 50 punktów, ale na ocenę dobrą około 100 punktów.
- Egzamin ustny jest obowiązkowy dla wszystkich i może zasadniczo zmienić ocenę. Jest on odpowiednikiem planowanej części teoretycznej.
Omówienie zadań
- Pod linkiem można znaleźć omówienie zadań. Pełne wyniki będą w poniedziałek.
Egzamin ustny
Procedury ogólnie
- Osoby z oceną od 3 do 4.5 zdają egzamin u jednego z ćwiczeniowców wskazanego w mailu. Pozostałe bezpośrednio u wykładowcy.
- Egzamin będzie odbywał się za pomocą Google Meet (ewentualnie Zooma). Stan prawny na dziś jest taki, że egzamin musi być nagrywany (wymóg ministerstwa).
- Proszę, aby egzaminy zakończyły się do 10 lipca. W szczególnych przypadkach proszę o kontakt ze mną.
- Egzamin ma odbywać się w zgodzie zasadami obowiązującymi na UW zgodnie z tymi wytycznymi.
Przebieg egzaminu
- Poniższe informacje odnoszą się do osób które z części zadaniowych uzyskały inną ocenę niż 2 lub 5!. W przypadku tych osób, egzamin może przebiegać w nieco
inny sposób.
- Rozmowa o zadaniach. Egzaminujący mają dostęp do sprawdzonych rozwiązań zadań. Celem egzaminu jest sprawdzenie, czy piszący rozumie rozwiązanie zadania.
Rozmowa o zadaniach dotyczy wyłącznie zadań, za które zdający dostał punkt. Jeśli zdający zdecydowanie
nie rozumie trzech kolejnych zadań, które
oddał, egzamin kończy się, a zdający dostaje drugą szansę jesienią.
- Jeśli pierwsza część przeszła gładko, a zdający ma ocenę 3.5 lub lepszą, może zrezygnować z dalszej części egzaminu z oceną o 0.5 niższą, niż miał
na egzaminie pisemnym. Jeśli się zdecyduje zdawać dalej, i tak nie dostanie oceny niższej niż ocena z egzaminu pomniejszona o 0.5.
- W drugiej części można dostać do trzech pytań z teorii (w wyjątkowych wypadkach więcej). Poprawna odpowiedź z teorii skutkuje utrzymaniem oceny z egzaminu,
bardzo dobra odpowiedź oznacza podwyższenie oceny z egzaminu pisemnego o pół stopnia.
- W wyjątkowych wypadkach można podwyższyć ocenę o więcej niż pół stopnia, dzieje się tak wtedy, gdy zdający odpowie dobrze na trzy pytania z teorii. W naprawdę rzadkim przypadku, można podnieść ocenę o 1.5 stopnia.
- Egzaminator podniesię ocenę do bardzo dobrej tylko w wypadku pełnej odpowiedzi na 3 pytania.
- Uwaga Tryb egzaminu wymusza, aby zdający wykazywał zrozumienie treści, a nie umiał na pamięć dowody ,,do ostatniego epsilona''.
Zagadnienia na egzamin ustny.
- Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Obowiązuje znajomość dowodu twierdzenia Cauchy'ego--Picarda o istnieniu i jednoznaczności na ocenę dostateczną.
- Twierdzenia o ciągłej zależności od warunku początkowego. Idea dowodu na ocenę 4.5 lub wyższą.
- Przykłady równań o niejednoznacznym rozwiązaniu.
- Metody rozwiązywania równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych. Analiza tych równań.
- Rozwiązanie wysycone i jego istnienie. Definicja potoku rozwiązania.
- Definicja eksponenty macierzy. Dowód poprawności definicji obowiązuje na ocenę 4.5 lub wyższą.
- Układy równań liniowych o stałych współczynnikach i metody rozwiązywania.
- Analiza jakościowa równań o stałych współczynnikach.
- Równania wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
- Stabilność rozwiązań stacjonarnych. Twierdzenia Lapunowa i Czetajewa. Dowody tych twierdzeń na ocenę bardzo dobrą.
- Sformułowanie twierdzenia Grobmana-Hartmana.
- Całki pierwsze.
- Dodatkowo, na ocenę bardzo dobrą, co najmniej jedno z zagadnień: komutator pól wektorowych, lemat Morse'a, równania Eulera--Lagrange'a, dowód twierdzenia Peano.
O programie w tym roku
- Ten przedmiot nazywa się Równania Różniczkowe Zwyczajne a nie Rozwiązywanie Równań Różniczkowych Zwyczajnych. Dlatego będzie położony nacisk na rozumienie równań
a nie na opanowanie technik rozwiązywania. W szczególności
- Żadne zadanie na kolokwium ani na egzaminie nie będzie polegało na rozwiązaniu równania.
- Równania Bernoulliego, quasi-jednorodne itp. powinny być zrobione i wymagane wyłącznie na ćwiczeniach. Ich umiejętność nie będzie sprawdzana na egzaminie ani na kolokwiach.
- Równania liniowe wielu zmiennych, takie jak \(y'=Ay+B(x)\) lub \(\sum a_iy^{(i)}=f(x)\) powinny pojawić się raczej informacyjnie.
- Nie będzie wymagana umiejętność rozkładu Jordana macierzy większych niż 2x2 lub 3x3, w tym ostatnim przypadku wartości własnie powinny być całkowite lub sumą liczby całkowitej i liczby całkowitej pomnożonej przez \(i\).
- Duży nacisk będzie położony na zrozumienie dowodu twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności (przez zasadę kontrakcji Banacha). Z tego dowodu będziemy uzyskiwać twierdzenia o zależności rozwiązań od parametru jak i
o regularności rozwiązań. Znajomość dowodu tego twierdzenia może być sprawdzona na egzaminie, czy to w teście, czy przez zadanie praktyczne oparte o ten dowód.
- Rysowanie portretów fazowych w \(R^2\) powinno być wyćwiczone. Na wykładzie pojawi się wyłącznie przykład \(y''=-U'(y)\) (równanie z potencjałem). Nie będzie zadań bezpośrednio na rysowanie portretu fazowego, ze względu
na trudność w obiektywnej ocenie. Niemniej, już na pierwszym kolokwium może pojawić się zadanie typu: dany jest układ \(\dot x=x^2-y^2,\ \dot y=2xy\), wykaż, że trajektoria nie zawarta w zbiorze \(\{y=0\}\) zbiega
do \((0,0)\) w granicy \(t\to\infty\).
- Równania liniowe o stałych współczynnikach \(\sum a_iy^{(i)}=0\) będą rozwiązywane metodą operatorową, być może również zostanie pokazana metoda Fourierowska jako komplementarna.
- Planuję sporo prostych zadań nietypowych. Typu: czy zagadnienie \(\{y''=-2y,\ y(0)=0,\ y(2\pi)=1\}\) ma rozwiązanie. Jest to zadanie sprawdzające rozumienie równań o stałych współczynnikach.
- Równania liniowe \(y'=Ay\) są pretekstem to wprowadzenia pojęcia e do operatora a nie na odwrót. W dobrych grupach można zrobić zadanie: co to jest \(e^{td/dx}\) dla parametru \(t\neq 0\). W bardzo dobrych grupach można dyskutować, na jakiej przestrzeni określony jest operator \(e^{td/dx}\).
- W czasie przedmiotu zastosowania (fizyczne, biologiczne czy geometryczne) mają służyć ilustracji wprowadzanych pojęć, a nie są celem samym w sobie.
- Równania typu \(y'=a(x)b(y)\) rozwiązuje się normalnie pisząc \(\int \frac{1}{b(y)}dy=\int a(x)dx\). Na naszym wykładzie będziemy kłaść nacisk na to, że całka w tym wzorze może być całką oznaczoną. Ten wzór będzie mówił
wtedy o czasie dojścia do punktu szczególnego, możliwości ucieczki do nieskończoności.
Ramowy plan wykładów
Uwaga! To jest ramowy program wykładu, który może ulec zmianie. Informacje o tym, co można robić na ćwiczeniach jest wskazówką dotyczącą korelacji z wykładu i w żaden sposób nie może być
użyta do wymuszania czegokolwiek na prowadzących.
- Uwagi wstępne, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności (sformułowanie). Równania postaci \(y'=a(x)b(y)\). Początek dowodu tw. o istnieniu i jednoznaczności. zrobione, wykład 1.
- Dokończenie dowodu twierdzenia o istnieniu. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązań od parametru. Twierdzenie o rozwiązaniu wysyconym. Nierówność Gronwalla. Wykłady 2 i 3. Nierówność Gronwalla będzie 31.03
- Twierdzenie o regularności rozwiązań i gładkiej zależności rozwiązań od parametru: dowód w przypadku \(C^1\). Pojęcie potoku pola i portretu fazowego. Przykłady. Zrobione. Wykład 4, 4.5 i 5, gładka zależność będzie na wykładzie 5.5.
- Całki pierwsze. Portrety fazowe równań postaci \(x''=-U'(x)\). Wykład 5.
- Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązania (z dowodem). Wykład 6.
- Równania liniowe \(y'=Ay\). Pojęcie \(e^{tA}\) jako grupy rozwiązań. Związki z algebrą i ewentualnie z równaniami cząstkowymi. Obliczanie \(e^A\) przez postać Jordana.
- Lokalny portret fazowy równania liniowego. Klasyfikacja punktów osobliwych równań liniowych w \(R^2\).
- Równania postaci \(\sum a_iy^{(i)}=0\). Metoda operatorowa rozwiązań. Przykłady.
- Pojęcie stabilności i asymptotycznej stabilności rozwiązania. Twierdzenia Lapunowa i Czetajewa. Stabilność punktu krytycznego.
- Linearyzacja równania w otoczeniu punktu osobliwego. Twierdzenie Hadamarda--Perrona (bez dowodu).
- Równania Eulera--Lagrange'a. Przykłady.
- Elementy geometrii różniczkowej: pola wektorowe, komutator, związki z formami różniczkowymi. Ewentualnie: pochodna Liego.
W tym czasie na ćwiczeniach można:
- Od pierwszych zajęć:
- Analizować i rozwiązywać równania postaci \(y'=a(x)b(y)\)
- Wprowadzać i rozwiązywać równania liniowe jednorodne i niejednorodne (metoda uzmienniania stałej nie będzie wprowadzana na wykładzie.
- Rozwiązywać zadania geometryczne typu: znajdź krzywą, która jest prostopadła do każdej paraboli \(y=ax^2\).
- Analizować jednoznaczność rozwiązania równania \(y'=h(y)\), jeśli \(h\) jest ciągła (uwaga: w tym szczególnym przypadku twierdzenie o funkcji odwrotnej z Analizy I daje lokalną jednoznaczność wszędzie tam, gdzie \(h\) się nie zeruje.
- Mniej więcej od trzecich zajęć:
- Rozwiązywać równania z parametrem od niskiego stopnia trudności. Moja ulubiona metoda dla równania postaci \(y'=f(x,y,\mu)\) (kiedy rozwijamy wokół parametru \(\mu=0\))
polega na formalnym rozwinięciu w szereg
potęgowy funkcji \(y\): czyli \(y=y_0+\mu y_1+\dots\) i wstawieniu do równania wyjściowego. Otrzymujemy pierwsze równanie \(y_0'=f(x,y_0,0)\), następne równanie na \(y_1\) i ewentualnie
dalsze stopnie uzyskujemy rekurencyjnie. Wszystkie równania poza być może pierwszym są liniowe niejednorodne.
- Szkicować portrety fazowe równań na płaszczyźnie. Jak dla mnie, portret fazowy to "obrazek dający wyobrażenie o zachowaniu układu", dlatego nie chcę oceniać tej umiejętności na kolokwiach i egzaminach. Niemniej, zasadniczo na ćwiczeniach dopuszczam wszystkie chwyty, aby narysować poprawny portret. W tym: wprowadzenie linearyzacji wcześniej, bawić się w analizy typu tw. retraktowe czy nawet Poincare-Bendixsona, zależnie od inwencji prowadzącego i od jakości grupy.
- Szacować rozwiązania przez nierówność Gronwalla.
-
Od 07.04.2020.
- Równania liniowe, w tym obliczanie $e^A$
- Analiza równań liniowych, badanie asymptotyki.
- Układy równań liniowych o stałych współczynnikach (prawdopodobnie 28.04)
- Na wykładzie 12.05 opowiem o stabilności, 19.05 sformułuję tw. Hadamarda-Perrona.
Notatki z wykładów
Literatura
- Zbiór zadań Filipowa.
- Piąty tom książki "Anty-Demidowicz" (dostępnej wyłącznie po rosyjsku) zawiera sporo rozwiązanych zadań z równań różniczkowych zwyczajnych. Ma mocno niepuste przecięcie
ze zbiorkiem Filipowa.
- Równania różniczkowe Arnolda są trudną książką do nauczenia się od podstaw, znakomicie uzupełniają wiedzę, gdy już się coś umie.
- Garret Birkhoff, Gian-Carlo Rota "Ordinary differential equations" to książka standardowo używana do nauki. Dowód jednoznaczności rozwiązań jest inny niż ten, który podamy
na wykładzie.
- Skrypt F. Przytyckiego dostępny tutaj
- Fajnie wygląda książka Schaeffer, Cain "Ordinary differential equation. Basics and beyond."
- Wykłady Palczewskiego mają dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności mocno zbliżony do tego, jaki będzie na wykładzie.
Z czego będziemy korzystać?
To jest lista pojęć i twierdzeń, którymi będziemy się posługiwać na wykładzie.
- warunek Lipshitza
- zupełność przestrzeni metrycznej
- twierdzenie o funkcji odwrotnej jednej zmiennej
- twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej
- twierdzenie o odzwzorowaniu zwężającym (przypomnę na wykładzie)
- postać Jordana macierzy, pojęcie wartości własnej
- pochodna kierunkowa
- zwartość (podzbiorów $R^n$
- spójność
-
Powrót do strony głównej