For potential Ph.D. students

Please reconsider. Learning how to do research is painful, with little reward at the beginning.
You may spend 8 hours a day for months over a blank sheet of paper. This is heavily depressing. But this is a stage many people go through.
You will see your colleagues from other fields having tons of papers, while you haven't even started. This is depressing.
You'll be tempted to resign from research on behalf of teaching. This is more rewarding. But teaching will not make you a researcher.
You will prove great theorems and write papers, just to realize that the proof has been known for 40 years. You have to live with that.
You will come up with fantastic ideas, which will turn out to be stupid next morning. Learn the idiom: 灰飞烟灭 by heart.
Sometimes your fantastic ideas will survive the morning, but will turn out to be bad after writing 30 pages of the paper (good) or after submitting the paper in the referee report (bad). Withdrawing paper from the arxiv is a shame. It might happen to you.

Read previous comments once again.
Talk to people. Advisor is not your husband or wife. You are allowed to do research with other people as well. Actually, you are encouraged to do so.
Talk to people. Go for conferences not just for lectures but for talking to people in person.
Talk to people. Especially young researchers (postdocs) might have plenty of ideas which they can share with you. And you can learn a lot from collaborating with them.
Check the arxiv everyday. Except for weekends. If some of your colleagues write papers on the arxiv, you might give them feedback or ask questions. Sometimes you can do it with people whom you don't know.
Learn LaTeX as much as you can. Let it not distract you from doing research, though.
Use as standard LaTeX layout as you can: preferably amsart style. Otherwise you will have constant clashes of packages, files compiling differently on different machines, sudden compatibility issues.
Use git. Of course, people use overleaf or dropbox for sharing files. Git is way more effective. Git + latexdiff is an extremely powerful combination.
Learn emacs or vim. WYSIWYG editors are not so good for typing text quickly, or for finding errors.
Basic programming in Python, Sage, C++ can be very helpful.
Drawing pictures for papers is a painful task. MetaPost is very hard to learn, but exceeds inkscape, tikz, pstricks and asymptote in many ways.
Read papers, read books.

You don't have to read all of them. But the more you read, the better for you.

Rolfsen, Knot theory.
Scorpan, Wild world of 4-manifolds.
Gompf, Stipsicz, Introduction to 4-manifolds.
Eisenbud, Neumann, Three-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities.
Milnor, Lectures on $h$-cobordism theorem.
Milnor, Morse theory.
Milnor, Singular points of complex hypersurfaces.
Milnor, Stasheff, Characteristic classes.
Weibel, Introduction to homological algebra.
Weibel, The K-book.
Arnold, Varchenko, Gussein-Zade, Singularities of differentiable maps, vol. 1
Golubitsky, Guilleminm, Stable maps and their singularities.
Brown, Cohomology of groups.

Sprawy do przerobienia na ćwiczeniach (to znaczy, nie będą omawiane na wykładzie, a na pewno nie w sposób wystarczający)

Różniczkowalność funkcji $e^x(\cos y+i\sin y)$.
Własności (ograniczoność, symetrie) funkcji $\exp,\cos,\sin,\tan$ w dziedzinie zespolonej. Na początek definiujemy $\exp$ jak wyżej. Funkcje trygonometryczne definiujemy wtedy $\cos z = \frac12(e^{iz}+e^{-iz})$. Szeregi potęgowe pojawią się później.
Homografie, punkty stałe homografii
Homografie zachowujące koło, zachowujące górną półpłaszczyznę
Homografie o współczynnikach całkowitych, dowód tego, że zbiór $A:=\{(x,y)\in\mathbb{C}\colon |y|<\frac12, x^2+y^2>1\}$ jest obszarem fundamentalnym:
- Wykazanie, że jeśli $z,z'\in A$ oraz $h(z)=z'$ jest homografią o współczynnikach całkowitych, to $h$ jest identycznością.
- Wykazanie, że dla każdego $z\in\mathbb{C}$ istnieje homografia o współczynnikach całkowitych która przeprowadza $z$ na element z domknięcia $A$.
Obliczanie całek typu $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos z}{1+z^2}dz$. Można to robić bez twierdzenia o residuach, już w zasadzie od trzecich ćwiczeń! Na to powinien być położony największy nacisk
Obliczanie sum szeregów typu $\sum\frac{1}{1+n^2}$ za pomocą funkcji holomorficznych.
Obliczanie bardziej zaawansowanych całek po krzywych, np. jak niżej.
Rozwijanie funkcji typu $\sin z$ w szereg funkcyjny i w produkt nieskończony.

Oczekiwane umiejętności podstawowe
1. Student umie obliczać całki oznaczone o stopniu trudności \[\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos z}{(1+z^2)(1+z^4)}\] lub \[\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^3 x}{x^3}dx\]
2. Student umie badać liczbę rozwiązań równania stosując twierdzenie Rouche, w sytuacji nie trudniejszej niż: znajdź liczbę rozwiązań równania $e^z+z^8-2z+3=0$ w zbiorze $\frac12<|z|<2$.
3. Student stosuje zasadę argumentu do badania liczby pierwiastków wielomianu w zbiorze $\operatorname{Re} z>0$ lub podobnym.
Oczekiwane umiejętności rozszerzone
1. Student wyznacza nietrywialne automorfizmy zbiorów jednospójnych lub z grupą podstawową $\mathbb{Z}$. Na przykład, wyznacza automorfizm koła $|z|<1$ z wyciętym odcinkiem $(-1,0)$, który przeprowadza $i/2$ na $1/2$.
2. Student wykorzystuje całkowanie po konturach do wyznaczania sum szeregu typu $\sum\frac{1}{n^4+1}$.
3. Student oblicza całki oznaczone o wyższym stopniu złożoności, w tym wykorzystujące funkcje wieloznaczne. Dla przykładu, umie obliczyć całkę \[\int_0^1 \frac{x^{1-p}(1-x)^p}{(1+x)^3}dx.\] gdy $p\in(-1,2)$ oraz jeśli podana jest wskazówka, jaki kontur należy rozważyć.
4. Student stosuje zasadę identyczności do analizowania funkcji, jak w przykładzie: czy istnieje funkcja analityczna, na dysku, która w punkcie $\frac{1}{n}$ przyjmuje wartość $(-1)^n\frac{1}{n}$?
5. Student znajduje rozwinięcie funkcji meromorficznej w szereg Laurenta.
6. Student znajduje punkty osobliwe funkcji, określa ich charakter, oblicza residua.
Oczekiwane umiejętności zaawansowane
Student przeprowadza rozumowanie i argumentację wykorzystującą metody i idee funkcji zespolonych. Dla przykładu, rozwiązuje zadania typu:
- Wykaż, że nie istnieje funkcja holomorficzna w kole, ciągła na domknięciu, która przyjmuje wartość $\overline{z}$ w punkcie $z\in S^1$.
- Przypuśćmy, że funckja całkowita $f$ dla $|z|>r_0$ spełnia oszacowanie $ |f(z)|\le C|z|^N $. Wykaż, że $f$ jest wielomianem.

Na ocenę dostateczną potrzeba i wystarcza zaliczyć wszystkie umiejętności podstawowe.
Na ocenę dostateczną z plusem potrzeba i wystarcza zaliczyć wszystkie umiejętności podstawowe oraz co najmniej 3 umiejętności rozszerzone.
Na ocenę dobrą należy zaliczyć wszystkie umiejętności podstawowe oraz 5 umiejętności rozszerzonych.
Na ocenę dobrą z plusem i bardzo dobrą należy spełnić warunki oceny dobrej, oraz wykazać się umiejętnością zaawansowaną (przeprowadzaniem rozumowania).
Na ocenę bardzo dobrą należy dodatkowo wykazać się znajomością dowodów wybranych twierdzeń.
Uwaga Niespełnienie warunku na ocenę dostateczną oznacza niezaliczenie. Nawet jeśli student udowodni hipotezę Riemanna.

Jedno kolokwium, 4 grudnia, 15-18. 4 zadania, 2h30. Dwie umiejętności podstawowe, jedna rozszerzona i zadanie ,,na myślenie''.
Egzamin pisemy, termin ustalony później. 5 zadań, 3h. Dwie umiejętności podstawowe, dwie rozszerzone, zadanie ,,na myślenie''.
Ćwiczenia: ocena TAK/NIE z trzech umiejętności podstawowych, TAK/NIE z trzech umiejętności rozszerzonych i 0,1, lub 2 za "myślenie". Sposób weryfikacji umiejętności ustala ćwiczeniowiec.

Umiejętności podstawowe sprawdzane są na kolokwium (pierwsza i jedna z dwóch), na egzaminie (pierwsza i jedna z dwóch) w skali: 0,1. Prowadzący ćwiczenia oceniają wszystkie umiejętności w skali 0,1. Tak więc z każdej umiejętności łącznie można mieć 0,1, lub 2 punkty. Uznaje się, że student spełnił wymagania na ocenę dostateczną, jeśli z każdej umiejętności ma co najmniej 1 punkt, a łącznie co najmniej 4 punkty.
Umiejętności 1-3 z rozszerzonych oceniane są na ćwiczeniach.
Umiejętności 4-6 sprawdzane są na kolokwium lub egzaminie (kolokwium: jedna, egzamin: dwie).
Umiejętność rozumowania sprawdzana jest na kolokwium (jedno zadanie) w skali 0-2, na egzaminie (jedno zadanie) w skali 0-2 oraz na ćwiczeniach: w skali 0-2. Łącznie: 0-6. Wymagany próg: 3 punkty.
Znajomość dowodów jest sprawdzana na egzaminie ustnym, do którego dopuszczone są osoby spełniające warunki na 4.5.

Some notes for potential Ph.D. students.

in low-dimensional topology