Funkcje analityczne

1. 3 listopada. Kartkówka z obliczania całek (pierwsza umiejętność podstawowa), jedno zadanie, 15 minut.
2. Przykładowe zadania na kartkówkę. Oblicz całkę $\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2-2x+2}dx$.
3. 1 grudnia. Kartkówka z twierdzenia Rouche i zasady argumentu (dwie kolejne umiejętności podstawowe), dwa zadania, 25 minut. Będzie sprawdzona przed kolokwium.
4. 16 grudnia. Kartkówka z przekształceń, jedno zadanie, 15 minut. Kartkówka będzie zamieniona na zadanie domowe.
5. 12 stycznia. Termin oddania dwóch zadań. Jedno na zaawansowane całki. Drugie na szeregi.
6. 19 stycznia. Kartkówka z zadania na rozumowanie. Dwa zadania, jedno do wyboru, 15 minut. Zadania trudne.

Zadania wymagane są na ocenę 3.5 lub wyższą. Można robić wspólnie, ale każda osoba oddająca zadanie deklaruje, że je rozumie. W razie wątpliwości zastrzegam prawo do dopytania osoby o zrozumienie.

1. Zadanie 1. Oblicz całkę $\int_0^1 \frac{x^{1-p}(1-x)^p}{(1+x)^2}dx$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą z przedziału $(-1,2)$. Wskazówka: rozważ kontur niespójny składający się z dużego okręgu, oraz odpowiednio dobranego cyklu obchodzącego odcinek $[0,1]$.
2. Zadanie 2. Niech $U$ będzie otwartym kołem jednostkowym z wyciętym odcinkiem $(-1,0]$. Przypuśćmy, że $f\colon U\to U$ będzie holomorficznym homeomorfizmem, który przeprowadza $1/2$ na $1/4$, oraz zachowuje punkt $1$ (po ciągłym przedłużeniu). Oblicz pochodną $f$ w $1/3$.
3. Zadanie 3. Wyznacz sumę szeregu $\sum \frac{(-1)^n}{n^2+1}$ metodami funkcji analitycznych. Wskazówka: rozpatrz całki z funkcji $\frac{1}{z^2+1}\cdot\frac{1}{\sin\pi z}$.

1. 6 października. Homografie nad \(\mathbb{R}\), nad \(\mathbb{C}\) i nad ewentualnie innymi ciałami. Podstawowe własności.
2. 13 października. Pochodne zespolone, funkcje sinus, cosinus, tangens nad \(\mathbb{R}\) i ich własności.
3. 20 października. Całki. Obliczanie całek niewłaściwych. Plus jakieś zadanka na dowodzenie.
4. 3 listopada. Poza kartkówką: przekształcanie obszarów. Dalsze zabawy z homografią.

1. 6 października. Przestrzeń prostych w \(\mathbb{R}^2\) i \(\mathbb{C}^2\) (przestrzeń rzutowa) jako \(S^1\) odpowiednio \(S^2\). Homografia jako przekształcenie indukowane na przestrzeni prostych. Złożenie homografii jest homografią. Rozkład homografii na przekształcenia liniowe i $1/z$. Homografia zachowuje dwustosunek i przeprowadza trójkę punktów z \(S^2\) na dowolną inną.
2. 13 października: homografie zachowujące prostą i okrąg (nie dokończyliśmy).
3. 20 października: całkowanie funkcji typu $\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{(1+x^2)(4+x^2)}dx$.
4. 27 października: dalej całkowanie. $\int \frac{\cos x}{(1+x^2)^3}dx$. A później $\int\frac{\sin^2x}{x^2}$ po prostej.
5. 2 listopada. Kartkówka Całka z $x^{-2}\sin^2x$. Potem zadanie na zasadę identyczności i przekształcenie okręgu z wyciętym promieniem na okrąg.
6. 18 listopada. Twierdzenie Rouche. Obliczanie $\sum (n^4+1)^{-1}$.
7. 23 listopada. Twierdzenie Rouche, zasada argumentu.
8. 30 listopada. Zasada argumentu. Szeegi potęgowe.