Algorytmy w algebrze - wykład monograficzny, semestr zimowy 2018/19

Wykład: Maria Donten-Bury, ćwiczenia: Joachim Jelisiejew (bezpośredni link do strony ćwiczeń)

Termin wykładu: czwartki 08:30, sala 2100

Lista tematów na egzamin ustny.

Oficjalna strona wykładu w USOSie, w tym wstępny program, jest tu.
Natomiast w tym miejscu będzie się tworzył spis treści kolejnych wykładów.

  1. (4.10) problemy związane z wyborem zbioru generatorów ideału i wykonywaniem obliczeń z jegu użyciem [CLO'S 2.1]; algorytm dzielenia wielomianu wielu zmiennych przez układ wielomianów i jego wady [CLO'S 2.3]; porządki jednomianowe: lex, grlex i grevlex [CLO'S 2.2]
  2. (11.10) własności porządków jednomianowych [CLO'S 2.2]; ideały jednomianowe, lemat Dicksona [CLO'S 2.4]; twierdzenie Hilberta o bazie (dla pierścienia wielomianów nad ciałem) i wniosek o istnieniu bazy Groebnera [CLO'S 2.5]
  3. (18.10) dzielenie przez bazę Groebnera odpowiada pytanie o należenie do ideału; kryterium Buchbergera - sprawdzanie, czy układ generatorów jest bazą Groebnera ideału [CLO'S 2.6]; przykład algorytmu konstrukcji bazy Groebnera [CLO'S 2.7 Ex. 1]
  4. (25.10) algorytm Buchbergera konstrukcji bazy Groebnera; minimalne i zredukowane bazy Groebnera [CLO'S 2.7]; przykłady zastosowania eliminacji zmiennych do rozwiązywania układów rówmań wielomianowych i znajdowania relacji między wielomianami [CLO'S 2.8]; twierdzenie o eliminacji: opis ideałów eliminacyjnych przez bazy Groebnera [CLO'S 3.1]
  5. (8.11) twierdzenie o rozszerzaniu rozwiązań układu równań [CLO'S 3.1] z dowodem [CLO'S 3.6] używającym między innymi własności rugownika [CLO'S 3.5], twierdzenie o najmniejszym zbiorze algebraicznym zawierającym obraz parametryzacji wielomianowej [CLO'S 3.2, 3.3], szybkie wprowadzenie do rezolwent [Eis: GS 1A]
  6. (15.11) rezolwenty, twierdzenie Hilberta o syzygiach (dowód później), funkcja Hilberta [Eis: GS 1A]; przykłady: krótkie rezolwenty, twierdzenie Hilberta-Burch [Eis: GS, Tw. 3.2]; własności rezolwenty minimalnej, diagramy Bettiego [Eis: GS 1B]
  7. (22.11) konstrukcja rezolwenty minimalnej z dowolnej, własności liczb Bettiego, w tym związek z funkcją Hilberta [Eis: GS 1B]; podstawowe własności modułów Tor [Eis: CA 6.2]; kompleksy symplicjalne etykietowane jednomianami [Eis: GS 2A]
  8. (29.11) kompleks wolnych modułów związany z etykietowanym kompleksem symplicjalnym, kryterium, kiedy taki kompleks jest rezolwentą, przykłady - kompleks Taylor i kompleks Koszula [Eis: GS 2A]; dowód twierdzenia Hilberta o syzygiach przez Tory i kompleks Koszula [Eis: GS 2B]
  9. (6.12) geometryczne przykłady badania rezolwent: 7 punktów w P^3 [Eis: GS 2C], normalne krzywe wymierne [Eis: GS 6A]; związek rezolwenty modułu M i modułu ilorazowego M/fM (dla f niedzielnika zera)
  10. (13.12) badanie rezolwenty przez degenerację do ideału początkowego i zastosowanie do normalnych krzywych wymiernych [Eis: CA 15.8]; rezolwenty pfaffianowe normalnych krzywych eliptycznych w P^4; bazy Groebnera modułów, obliczanie syzygiów za pomocą baz Groebnera [Eis: CA 15.5]
  11. (20.12) obliczanie syzygiów za pomocą baz Groebnera - dowód [Eis: CA 15.5]; bazy Chowańskiego (uogólnienie baz Groebnera na podalgebry) dla pierścieni Coxa-Nagaty na podstawie pracy B. Sturmfelsa i Z. Xu Sagbi bases of Cox-Nagata rings
  12. (10.01) normalność: kryterium w terminach lokalizacji w ideałach pierwszych stowarzyszonych z głównymi, kryterium Serre'a (bez dowodu) [Eis: CA 11.2]; kryterium używane w algorytmach, z pracy T. de Jonga An algorithm for computing the integral closure
  13. (24.01) iloraz (I:J) modułów [KR 1: 3.2.B]; nasycenie (saturacja) - metoda obliczania, wniosek o należeniu do radykału ideału [KR 1: 3.5.B]

Literatura

Zasady zaliczania: