\documentclass[12pt,a4paper]{article}


\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumerate}

\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage[UTF8]{inputenc} 

\newtheorem{zad}{}
\newcommand{\zadg}{\za\kern-9pt $^*$ \kern-1pt}

\newcommand{\zadk}{\za\kern-8pt!  }

\newcommand{\za}{\zad \hskip -5pt \rm. \ }

\newtheorem{zaj}[zad]{\phantom1}

%\renewcommand{\thesection}{\roman{subsection}}

\newcommand{\zza}{\zaj \hskip -5pt \rm. \ }

\setlength{\topmargin}{-1.0truecm} \addtolength{\oddsidemargin}{-1.0truecm}
\setlength{\textwidth}{17.9truecm} \setlength{\textheight}{25truecm}
\voffset=-5truemm \hoffset=-15truemm


\usepackage{hyperref}

\pagestyle{empty}

\begin{document}
\setcounter{zad}{200}

O funkcjach wypukłych pisałem opowiadania dla studentów matematyki:

 \noindent\url{https://www.mimuw.edu.pl/~krych/matematyka/AM1skrypt/am1_0708_cz\_07-wlasnosci_funkcji_ciag_wyp.pdf} 

\bigskip



od strony 12 oraz 

\medskip

\url{https://www.mimuw.edu.pl/~krych/matematyka/AM1skrypt/am1_0708_cz_08_rozniczk.pdf}

\smallskip

str 25 ---29, str 59 --- 64

a także dla studentów ekonomii, dla których wypukłość jest ważna

\url{https://www.mimuw.edu.pl/~krych/ekonomia/krych.pdf} na stronach 123 --- 135 (tu jeszcze bez pochodnych) oraz na stronach 165 --- 172 (z pochodnymi)

Wydaje mi się, że tam jest wszystko, co może być potrzebne Państwu w najbliższym czasie. W każdym razie należy pamiętać (to nieprecyzyjne zdania), że wykres funkcji wypukłej leży pod sieczną, ale nad styczną.


\parshape 2 0mm 178mm 14mm 164mm
\za Udowodnić, że jeśli dziedziną funkcji wypukłej\\ jest przedział otwarty,\break to jest ona ciągła. Podać przykład funkcji wypukłej określonej na przedziale $[0,1)$, która ma punkt nieciągłości.

\za Udowodnić, że jeśli $0<x<\frac{11x+13y} 4$, to $\frac{2\sqrt[3]2}\pi x<\sin x<x$.


$\left[  \begin{array}{ccc}1&-2&11\\
5&7&-13\\0&6&-1\end{array}                                      \right]$ \ \ \ $\left[  \begin{array}{crr}1&-2&11\\
5&7&-13\\0&6&-1\end{array}                                      \right]$  \ \ \ $\left|  \begin{array}{crr}1&-2&11\\
5&7&-13\\0&6&-1\end{array}                                      \right|$  \ \ \ $\left\{  \begin{array}{crr}1&-2&11\\
5&7&-13\\0&6&-1\end{array}                                      \right]$

\za Udowodnić, że $\ln x<\frac12(x^2-1)$ dla $x\in(0,1)\cup(1,\infty)$  --  x ---  y.


$$\frac{12}{15} \ \ \  \  \  \ 0<x<\frac{11x+13y}{4} \ \ \ \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{12}{7}}} $$


$f'(x)$    \ $f''(x)$  $f^{(n+5)}(x)$  \ \ $\lim e^{-x}$   \ \ $\lim_{x\to \infty} e^{-x}$  $$\lim_{x\to \infty} e^{-x}$$

${\displaystyle \lim_{x\to \infty}} e^{-x}$ Ala ma kota  $\int x^3 dx$\ \  $1+2+\dots+k$ \ \  $1+2+\ldots+k$  \ \  $1+2+\vdots+k$ \ \ $1+2+\ddots+k$  $\emptyset$

\za Udowodnić, że równanie $\tg x=ax+b$ ma w przedziale $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ jedno, dwa lub trzy rozwiązania w zależności od wartości parametrów $a,b\in R$.

\zadg Czy funkcja $x\ln x$ określona na $(0,\infty)$ jest wypukła?

\za Dane są liczby dodatnie $a,b,c$, nie wszystkie trzy są równe. Udowodnić, że $$\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\right)^{a+b+c}>a^ab^bc^c>\left(\frac{a+b+c}3\right)^{a+b+c}.$$

\za Udowodnić, że jeśli $a,b>0$, to $(2-\sqrt3)a^{2+\sqrt3}+(2+\sqrt3)b^{2-\sqrt3}\geq4\sqrt[4]{ab}$. Dla jakich $a,b$ zachodzi równość?

\za Wykazać, że jeśli funkcja $f$ jest wypukła na każdym z przedziałów $[a,b]$ i $[b,c]$ oraz ma skończoną pochodną w punkcie $b$, to jest wypukła na przedziale $[a,c]$. Podać przykład funkcji ciągłej świadczący o nieprawdziwości tezy bez założenia różniczkowalności funkcji w punkcie~$b$.

\za Wykazać, że jeśli funkcja $f$ jest ściśle wypukła i \bf nie \rm jest monotoniczna, to ma najmniejszą wartość i ta najmniejsza wartość jest przyjmowana w dokładnie jednym punkcie dziedziny $f$, przy czym jest to punkt wewnętrzny dziedziny.    
\bigskip

\'o   \c a   \c k    $\bar z$  $\overline{ z^2+w}$   \quad $a\leq b$  \quad $a\leqslant b$  \quad $\min (a,b)$ \quad $min (a,b)$  \v s

\bigskip\bigskip

D.E. Knuth ,,TeX Book''  \qquad \qquad Overleaf \qquad\qquad Miktex \qquad\qquad Texworks




\end{document}


D.E. Knuth ,,TeX Book''