Materiały pozakółkowe
Użytkownicy online
Naszą witrynę przegląda teraz 2 gościNierówności dodatkowe 4.11.10 |
Zadania II |
Wpisany przez Joachim Jelisiejew |
piątek, 29 października 2010 09:42 |
Źródło zadań w texu. % File: nierownosci-trudniejsze.tex % Created: Thu Oct 28 02:00 PM 2010 C % Last Change: Thu Oct 28 02:00 PM 2010 C \documentclass[10pt]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \textwidth 16cm \textheight 24cm \oddsidemargin 0cm \topmargin 0pt \headheight 0pt \headsep 0pt \usepackage[polish]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{import} %\usepackage{MnSymbol} % ---------------------------------------------------------------- \vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small \hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small % THEOREMS ------------------------------------------------------- \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{cor}[thm]{Wniosek} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{defn}[thm]{Definicja} \newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość} \newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza} \newtheorem{useless}[thm]{} \newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}} {\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par} \newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{ \noindent\textsc{#1}} {\hfill\par} \newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\} {\hfill\par} \def\deg{^{\circ}} \def\source#1{\\Źródło: #1} \subimport{./}{style} %\include{style} \begin{document} \section{Alfowanie i denormalizacja} \subsection{Grupowanie} \begin{enumerate} \item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi $$\frac{\sqrt{a^2bc} + \sqrt{ab^2c} + \sqrt{abc^2} + (a+b+c)^2}{\sqrt{a+b+c}\sqrt{abc}} \geq 4\sqrt{3}$$ \source{Koło PTMu - 6 młodsi grudzień 2006} %odp.\ grupowanie \item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b$ zachodzi $$\frac{a^2+b^2}{ab} + \frac{ab}{a^2 + b^2} \geq \frac{5}{2}$$ \source{Zadania przygotowawcze do konkursu PTM} %odp.\ grupowanie \item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi $$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} \geq 4\left(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\right)$$ %odp.\ grupowanie \source{Pawłowski} \end{enumerate} \subsection{Alfowanie} \begin{enumerate} \item Niech $a,b$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $a+b = 1$. Udowodnić, że $$\frac{a^2}{a+1} + \frac{b^2}{b+1} \geq \frac{1}{3}$$ \source{Jungary 1996, Hoojoo Lee} %comment: można też z Jensena %przyblizenie wymierne \item Wykazać, że dla liczb dodatnich $a,b,c,d$ zachodzi nierówność $$\frac{a^4}{a^3 + a^2b + b^3} + \frac{b^4}{b^3 + b^2c + c^3} + \frac{c^4}{c^3 + c^2d + d^3} + \frac{d^4}{d^3 + d^2a + a^3} \geq \frac{a+b+c+d}{3}$$ \source{Staszic} %przyblizenie wymierne \end{enumerate} \subsection{Denormalizacja, nowe horyzonty} \begin{enumerate} \item Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność Nesbitta $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$ %szacowanie przez a^{3/2}/suma \source{known} \item Niech $a,b,c$ będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Udowodnij, że \[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ac}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \] \end{enumerate} \end{document} |
Poprawiony: środa, 17 listopada 2010 12:26 |