%!TEX TS-program = pdflatex
%
\documentclass[10pt]{beamer}

\mode<presentation>
{

%\usetheme{CambridgeUS}
\usetheme{metropolis}
%\usecolortheme{dove}
%\usetheme{Pittsburgh}
%\usecolortheme{wolverine}

}


\usepackage[english]{babel}
% or whatever

\usepackage[utf8]{inputenc}  
\usepackage[OT4]{polski}     
% or whatever
                
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{relsize} 
\usepackage{multimedia}
\usefonttheme{professionalfonts} 
\usepackage[condensed]{iwona}%,
\usepackage{eulervm}
\usepackage[T1]{fontenc}
% Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1
% does not look nice, try deleting the line with the fontenc.

% SOME MACROS BELOW
\def\bbbr{\mathbb{R}}

\def\R{\mathbb{R}} 
\def\Z{\mathbb{Z}} 
\def\C{\mathbb{C}}      
\def\H{\mathbb{H}}      
\def\N{\mathbb{N}} 
\def\eS{\mathbb{S}} 




%\renewcommand{\H}{\mathcal{H}}
\renewcommand{\sup}{\mathop{\mbox{sup}}}
\renewcommand{\liminf}{\mbox{lim}\,\mbox{inf}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
\newcommand{\U}{\mathcal{U}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}
\newcommand{\Hau}{\mathcal{H}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\Amn}{\mathcal{A}_{m,n}^{\E}}  
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand\dist{\mathop{\mbox{dist\,}}\nolimits}
\newcommand\diam{\mathop{\mbox{diam\,}}\nolimits}
\newcommand{\HD}{d_{\mathcal{H}}}
\def\osc{\mathop{\mbox{osc\,}}}         % oscillation  %
\newcommand\ang{\mathop{\mbox{$<\!\!\!)$}}\nolimits}  
\newcommand{\rtp}{r_{\text{tp}}}

\title[Perelman i HP]{O (mojej) przygodzie z upowszechnianiem matematyki:\\ od Marka Kordosa do Griszy Perelmana}


\author[P. Strzelecki]
{Pawe\l{} Strzelecki,   Instytut Matematyki UW
}
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the \inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.


 
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date[SMP] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{\small Maraton wykładowy \emph{Delty}, 8 listopada 2018}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online
     

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

\pgfdeclareimage[height=1.2cm]{university-logo}{UW-transparent.png}
\logo{\pgfuseimage{university-logo}}
\newcommand{\myalert}[1]{\alert{\textbf{{#1}}}}   

 

\begin{document}
\frenchspacing

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{Plan}
%\begin{itemize}
%	\item Sformułowanie HP i preprinty Perelmana
%	\item O składnikach i praźródłach dowodu Perelmana dla każdego
%	\begin{itemize}
%		\item Równanie ciepła
%		\item Przykłady potoków geometrycznych 
%		\item Naiwna opowieść o hipotezie geometryzacyjnej Thurstona
%		\item Potok Ricciego z chirurgiami   	
%	\end{itemize}
%	\item Reakcja społeczności matematycznej na prace Perelmana
%	\item Rzut oka wstecz
%\end{itemize}	



%\end{frame}



%\section{Sformułowanie HP i preprinty Perelmana}     





\begin{frame}{Hipoteza Poincar\'{e}go}     
	
\textbf{Hipoteza.} \emph{Jeśli $M=M^3$ jest trójwymiarową rozmaitością zamkniętą i~$\pi_1(M)=0$, to $M$ jest homeomorficzna ze sferą $\eS^3$.}   

\vfill
\begin{itemize}
	\item Henri Poincar\'{e}, 1904; od 2000 r. jeden z problemów milenijnych
	\item Anons dowodu: Grigorij J. Perelman, trzy preprinty XI.2002--VII.2003; łącznie \myalert{68 stron}; \myalert{nieoczekiwana metoda (potoki geometryczne)}
	\item Pełna akceptacja dowodu przez ekspertów w ciągu ok. 2 lat
	\item Perelman nie przyjął
	\begin{itemize}
		\item ani Medalu Fieldsa w 2006 roku,
		\item ani Nagrody Instytutu Claya w 2010 roku.
	\end{itemize}
	\item \myalert{2006:} czasopismo \emph{Science} uznaje wyniki Perelmana za najważniejsze osiągnięcie roku w \myalert{całej} nauce.
\end{itemize}

\vfill

\end{frame}
      


%\begin{frame}{Początek burzy: pierwszy preprint Perelmana} 
%\begin{center}
%\hspace*{-.8cm}\includegraphics[height=6.75cm]{Perelman1.png} 
%\end{center} 
%\end{frame}




%\section{O składnikach i praźródłach dowodu Perelmana dla każdego } 





\begin{frame}{Potok krzywiznowy na płaszczyźnie}

\begin{itemize}
	\item Dana w chwili $t=0$: gładka krzywa zamknięta $\Gamma_0\subset \R^2$;
	\item Przepis na ruch: $\vec{\mbox{\textbf{v}}}=\kappa\cdot \vec{\mbox{\textbf{n}}}$, gdzie $\kappa$ oznacza krzywiznę ze znakiem, a $\vec{\mbox{\textbf{n}}}$ jest wektorem normalnym \emph{wewnętrznym}
\end{itemize}  

\textbf{Najprostsze własności:}
\begin{itemize}
	%\item To jest potok gradientowy funkcjonału $\mathcal{F}[\gamma]=\text{długość }\gamma$;
	\item Lokalne istnienie rozwiązań,  $\Gamma_t$ dla  $t\in [0,t_{\dagger})$;
	\item ``Zakaz wyprzedzania'' (zasada maksimum);
	\item Okrąg pozostaje okręgiem;   
	\item Pole ograniczone krzywą maleje w stałym tempie.
\end{itemize}
	
\end{frame}  

\begin{frame}{Zachowanie rozwiązań dla dużych czasów}
	
\textbf{Twierdzenie (Gage, Hamilton).} Krzywe zamknięte \myalert{wypukłe} kurczą się w skończonym czasie do tzw. \myalert{okrągłych punktów}.     

\vfill

\textbf{Twierdzenie (Grayson).} Każda krzywa zamknięta w skończonym czasie stanie się \myalert{wypukła}.  
	      
\vfill	      
	
\myalert{Morał:} nie ma osobliwości; potok krzywiznowy jest ilustracją istnienia homeomorfizmu, o którym mowa w twierdzeniu Jordana.
	
\end{frame}

\begin{frame}{Twierdzenie Graysona na obrazku}
	
\begin{center}
\hspace*{-.8cm}\includegraphics[height=6.85cm]{Grayson-theorem.png} 
\end{center}
Żywot skomplikowanej krzywej niewypukłej (po przeskalowaniu)
	
\end{frame}  


\begin{frame}{Inny przykład: potok średniokrzywiznowy} 
	
 \begin{itemize}
		\item Dana w chwili $t=0$: zamknięta gładka powierzchnia $\Gamma_0\subset \R^3$;
		\item Przepis na ruch: $\vec{\mbox{\textbf{v}}}=H\cdot \vec{\mbox{\textbf{n}}}$, gdzie $H$ oznacza krzywiznę średnią, a $\vec{\mbox{\textbf{n}}}$ jest wektorem normalnym \emph{wewnętrznym}
	\end{itemize}  
	\textbf{Własności:}
	\begin{itemize}
		\item Lokalne istnienie rozwiązań,  $\Gamma_t$ dla  $t\in [0,t_{\dagger})$;
		\item ``Zakaz wyprzedzania'' (zasada maksimum) ;
		\item Sfera pozostaje sferą;
		\item \textbf{Twierdzenie (Huisken).} Powierzchnie zamknięte \myalert{wypukłe} kurczą się w skończonym czasie do tzw. \emph{okrągłych punktów}.
\end{itemize}  
\myalert{Istotna różnica}: \textbf{mogą pojawiać się osobliwości}
	
\end{frame}  

\begin{frame}{Osobliwości potoku średniokrzywiznowego: hantelek Graysona}
	
\begin{center}
\hspace*{-.8cm}\includegraphics[height=6.15cm]{Hantelek-Graysona.png} 
\end{center}
Długa cienka rurka kurczy się znacznie szybciej niż okrągłe bąble (prosty argument z wykorzystaniem `zakazu wyprzedzania')
	
\end{frame}  








\begin{frame}{Geometria wg. Williama Thurstona}
	
\myalert{Geometria} to jednorodna i jednospójna rozmaitość Riemannowska $X$, która ma dyskretną grupę izometrii $G$ taką, że iloraz $X/G$ jest zwarty.

\myalert{Przykład:} $X=\R^2$, $G=\Z^2$; iloraz $X/G$ jest torusem.
	             
	
\myalert{Geometrie dwuwymiarowe są trzy:} $\R^2$, $\eS^2$ i $\H^2$.

\myalert{Geometrii trójwymiarowych jest osiem:} 
\begin{itemize}
	\item oczywiste $\R^3$, $\eS^3$ i $\H^3$; 
dość oczywiste $\eS^2\times \R$ i $\H^2\times \R$;  
	\item trzy wyjątkowe, bardziej egzotyczne.
\end{itemize}        

\myalert{Struktura geometryczna:} metryka zupełna, lokalnie jednorodna. 

\myalert{Hipoteza Geometryzacyjna (W. Thurston):} Zwartą rozmaitość  $M^3$ można pociąć (wzdłuż sfer i~torusów) na części i każdej nadać strukturę geometryczną.
  
   
\end{frame}     


	           
\begin{frame}{Potok Ricciego i pomysł Hamiltona}
\begin{itemize}
	\item \myalert{Potok Ricciego:} trójwymiarowy odpowiednik poprzednich dwóch --- deformacja metryki na rozmaitości $M^3$ w tempie zależnym od zakrzywienia. 

\vfill

\item Analogia: równanie ciepła, \myalert{ale z dodatkową kwadratową nieliniowością}.

\vfill	           


\item \myalert{Hamilton, 1983:}  Hipoteza Poincar\'{e}go zachodzi dla tych $M^3$, na których istnieje metryka riemannowska o dodatniej krzywiźnie Ricciego.   


\vfill

\item \myalert{Pomysł Hamiltona:} wykorzystać potok Ricciego do dowodu HP w pełnej ogólności.  

\vfill
\item \myalert{Wkład Perelmana}: rozwiązanie głównego problemu, tzn. analiza \\ osobliwości i metoda chirurgii\ldots 
\end{itemize}

\end{frame} 






\begin{frame}{William Thurston o Perelmanie (laudacja z lata 2010):}




\begin{quote} Awersja, jaką Perelman darzy publiczne spektakle, zaszczyty i~bogactwo, jest dla wielu osób zagadką (\ldots) Nie mam prawa wypowiadać się w~jego imieniu, ale chcę powiedzieć, że darzę pełną empatią i~podziwem jego wewnętrzną siłę i~jasność myśli oraz zdolność świadomego dochowania wierności samemu sobie. 
	                     
	\bigskip
	
	Nasze prawdziwe potrzeby są głębsze -- jednak we współczesnym świecie większość z nas odruchowo i~nieustępliwie walczy o bogactwo, dobra doczesne i~podziw innych. Uczyliśmy się od Perelmana matematyki. Może powinniśmy zatrzymać się na chwilę, zastanowić nad sobą i wynieść lekcję także ze stosunku Perelmana do życia.     

	
  \end{quote}
  
  \pause  
  
\myalert{Ja to samo mogę powiedzieć o Marku Kordosie. \\ Nie mam lepszych i trafniejszych słów, niż powyższe.}

\end{frame}  


             

\end{document}               


