Semestr letni 2020/2021 - Geometria z algebrą liniową II* - wykład i ćwiczenia
Wykład odbywa się we wtorki o 8.30 i czwartki o 10:15. Obecność nie jest obowiązkowa.
Ćwiczenia odbywają się we wtorki o 12:15 i piątki o 14:15. Obecność jest obowiązkowa.
Konsultacje odbywają się w poniedziałki w godzinach 14:15-15:45. Link na Moodle.
Kolokwia i egzaminy z GAL II z poprzednich lat
Kolokwia i egzaminy z GAL II* z poprzednich lat
Kolokwium pierwsze - 15 kwietnia, przykładowe rozwiązania
Kolokwium drugie - 20 maja, przykładowe rozwiązania
Egzamin pisemny, pierwszy termin - 14 czerwca, niektóre rozwiązania
Cenne odnośniki
Materiały prof. H. Toruńczyka
Skrypt prof. J. Chabera i prof. R. Pola
Zbiór zadań dr. Ł. Kubata
Kolekcja 50 filmów Sheldona Axlera - twórcy słynnej ,,Linear algebra done right"
Zadania z algebry (liniowej) z IMC
Slajdy do wykładów
Wykład 2. Diagonalizowalność i jej zastosowania oraz triangularyzowalność
Wykład 3. Podprzestrzenie cykliczne, wielomian minimalny, twierdzenie Cayleya-Hamiltona, twierdzenie o rozkładzie prymarnym
Wykład 4. Twierdzenie o rozkładzie na podprzestrzenie pierwiastkowe, endomorfizmy nilpotentne, diagramy Younga
Wykład 5. Konstrukcja bazy Jordana endomorfizmu nilpotentnego, przestrzenie ilorazowe, twierdzenie Jordana
Wykład 6. Macierze podobne nad dowolnym ciałem, macierze wielomianowe, postaci kanoniczne Smitha i Frobeniusa
Wykład 7. Rozkłady Jordana-Chevalleya. Wspólna diagonalizowalność i triangularyzowalność
Wykład 8. Formy dwuliniowe, macierz formy, macierze kongruentne, istnienie bazy prostopadłej
Wykład 9. Przestrzenie euklidesowe, macierz Grama, kryterium Sylvestera
Wykład 10. Twierdzenie Jacobiego, grupa klas kwadratów ciała, izometrie, twierdzenia Witta o przedłużaniu, twierdzenie o inercji
Wykład 11. Izometrie przestrzeni euklidesowej, macierze ortogonalne, rozkład na symetrie, skończone grupy odbić
Wykład 12. Endomorfizmy samosprzężone, twierdzenie spektralne, spektrum macierzy rzeczywistej
Wykład 13. Przestrzenie unitarne, twierdzenie spektralne, rozkład biegunowy, SVD
Wykład 14. Formy kwadratowe, zamiana zmiennych, diagonalizacja, reprezentowalność form całkowitych
Wykład 15. Reprezentowalne formy kwadratowe, przestrzenie hiperboliczne, rozkład Witta
Wykład 16. Przestrzenie metryczne, ciała z normą, liczby p-adyczne
Wykład 17. Szeregi p-adyczne, zasada lokalno-globalna, Lemat Hensela
Wykład 18. Przestrzenie afiniczne, kombinacje afiniczne, afiniczna niezależność, baza punktowa i układ bazowy
Wykład 19. Przekształcenia afiniczne
Wykład 20. Afiniczne przestrzenie euklidesowe, izometrie afiniczne, miara i mierzalność
Wykład 21. Miara sympleksu i jej elementarne zastosowania. Iloczyn wektorowy
Wykład 22. Wstęp do przestrzeni rzutowych. Geometria elementarna w (rzutowej wersji) przestrzeni Minkowskiego
Wykład 23. Wielomiany i funkcje wielomianowe, zbiory algebraiczne i hiperpowierzchnie
Wykład 24. Hiperpowierzchnie właściwe stopnia 2 - klasyfikacja według typu afinicznego
Wykład 25. Hiperpowierzchnie właściwe stopnia 2 - typ izometryczny i rzutowy
Wykład 26. Algebra wieloliniowa i iloczyn tensorowy - wprowadzenie
Lektury nieobowiązkowe (ale rozwijające horyzonty)
Lektura 1. Barot M.: Introduction to the representation theory of algebras. Chapter 1. Matrix problems
Lektura 2. Behrend K., Dynamical Systems and Matrix Algebra.
Lektura 3. Ciesielska B., Kowalczyk A., Twierdzenie Perrona-Frobeniusa i jego zastosowanie w algorytmie Page Rank.
Lektura 4. Szymiczek K., Algebra liniowa 3, paragraf 6.2. Endomorfizmy nilpotentne.
Lektura 5. Cardon, D. A., Tuckfield B., The Jordan Canonical Form for a Class of Zero-One Matrices.
Lektura 6. Kaczorek T., Zastosowanie macierzy wielomianowych i wymiernych w teorii układów dynamicznych
Lektura 7. Gedeon K., Simultaneous Triangularization of Certain Sets of Matrices
Lektura 8. Conrad K., Semisimplicity
Lektura 9. Babai L., Frankl P., Linear algebra methods in combinatorics
Lektura 10. W. Tomaszewski, Twierdzenie Ostrowskiego
Lektura 11. D. Newcomb, Symmetry Groups of Platonic Solids
Lektura 12. S. Gratz, Amazing Diagrams Everywhere
Lektura 13. A. Besenyei, Stochastic matrices and geometry: a gem from Dmitriev and Dynkin
Lektura 14. Z. Dvořák, Spectral radius, symmetric and positive matrices
Lektura 15. L. Serrano. Singular Value Decomposition (SVD) and Image Compression (YouTube)
Lektura 16. R. Quinlan. Spectral Graph Theory (lecture notes)
Lektura 17. K. Williams: "Four Integers" Theorem and a "Five Integers" Theorem (dostęp do JSTOR przez BUW tutaj)
Lektura 18. S. Casacuberta. Open Problems with Factorials.
Lektura 19. A. Gamzon. The Hasse-Minkowski Theorem.
Lektura 20. W. Sablan. An exposition of Monsky Theorem (bardziej techniczny tekst, bazujący na alg. domkn. Q_p: tutaj)
Lektura 21. Męcel A., Wokół twierdzenia Helly'ego (dalece bardziej kompetentny materiał: wykład T. Tkocza z geometrii wypukłej).
Lektura 22. Kordos M., Trochę o XVIII i trochę o III problemie Hilberta
Lektura 23. N. Hitchin, Projective Geometry.
Lektura 24. A. Gorodentsev. Projective Geometry.
Lektura 25. J. Kocik, A theorem on circle configurations.
Lektura 26. R. E. Pfiefer and C. Van Hook, Circles, Vectors, and Linear Algebra
Lektura 27. B. Hunt, A Gallery of Algebraic Surfaces
Lektura 28. C. W. H. Lam, The Search for a Finite Projective Plane of Order 10
Lektura 29. A. Bashelor, A. Ksir, W, Traves, Enumerative Algebraic Geometry of Conics
Lektura 30. S. Eilenberg, S. MacLane, General theory of natural equivalences
Ćwiczenia
2. Diagonalizowalność. Macierz sąsiedztwa grafu prostego
3. Podprzestrzeń cykliczna. Macierz towarzysząca.
4. Podprzestrzenie niezmiennicze. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
5. Wyznaczanie postaci Jordana
6. Bazy Jordana. Macierze incydencji funkcji i ich postać Jordana
8. Formy dwuliniowe i ich własności. Kongruentność macierzy
9. Przykłady kombinatorycznych zastosowań form dwuliniowych
10. Przestrzenie euklidesowe, dwuliniowe i bazy prostopadłe
11. Formy dwuliniowe, iloczyny skalarne, twierdzenie o inercji
12. Izometrie i macierze ortogonalne
13. Macierze nieujemnie określone
14. Twierdzenie spektralne w teorii grafów
15. Wstęp do form kwadratowych
16. Norma p=adyczna i liczby p-adyczne
17. Przestrzenie afiniczne - wprowadzenie
18. Przestrzenie afiniczne cd. Przekształcenia afiniczne
19. Długość i objętość
20. Wypukłość
21. Funkcje wielomianowe na przestrzeni afinicznej i rzutowej
22. Hiperpowierzchnie stopnia 2
Prace domowe
Zestaw 2 na 23.03
Zestaw 3 na 30.03
Zestaw 4 na 27.04
Zestaw 5 na 6.05
Zestaw 6 na 13.05
Zestaw 7 na 22.05
Zestaw dodatkowy na 8.06
S. Potoczak: Survey of Graph Embeddings into Compact Surfaces