Semestr letni 2020/2021 - Geometria z algebrą liniową II* - wykład i ćwiczenia
Wykład odbywa się we wtorki o 8.30 i czwartki o 10:15. Obecność nie jest obowiązkowa.
Ćwiczenia odbywają się we wtorki o 12:15 i piątki o 14:15. Obecność jest obowiązkowa.
Konsultacje odbywają się w poniedziałki w godzinach 14:15-15:45. Link na Moodle.
Zasady zaliczenia i dostęp na Moodle
- Kolokwium pierwsze - 15 kwietnia, przykładowe rozwiązania
- Kolokwium drugie - 20 maja, przykładowe rozwiązania
- Egzamin pisemny, pierwszy termin - 14 czerwca, niektóre rozwiązania
Cenne odnośniki
- Materiały prof. A. Webera (2018)
- Materiały prof. H. Toruńczyka
- Skrypt prof. J. Chabera i prof. R. Pola
- Zbiór zadań dr. Ł. Kubata
- Kolekcja 50 filmów Sheldona Axlera
Zadania z algebry (liniowej) z IMC
Slajdy do wykładów
- Wykład 1. Endomorfizmy, podobieństwo, wektory i wartości własne, wielomian charakterystyczny
- Wykład 2. Diagonalizowalność i jej zastosowania oraz triangularyzowalność
- Wykład 3. Podprzestrzenie cykliczne, wielomian minimalny, twierdzenie Cayleya-Hamiltona, twierdzenie o rozkładzie prymarnym
- Wykład 4. Rozkład na podprzestrzenie pierwiastkowe, endomorfizmy nilpotentne, diagramy Younga
- Wykład 5. Baza Jordana endomorfizmu nilpotentnego, przestrzenie ilorazowe, twierdzenie Jordana
- Wykład 6. Macierze podobne nad dowolnym ciałem, macierze wielomianowe, postaci kanoniczne Smitha i Frobeniusa
- Wykład 7. Rozkłady Jordana-Chevalleya. Wspólna diagonalizowalność i triangularyzowalność
- Wykład 8. Formy dwuliniowe, macierz formy, macierze kongruentne, istnienie bazy prostopadłej
- Wykład 9. Przestrzenie euklidesowe, macierz Grama, kryterium Sylvestera
- Wykład 10. Tw. Jacobiego, grupa klas kwadratów ciała, izometrie, tw. Witta o przedłużaniu, tw. o inercji
- Wykład 11. Izometrie, macierze ortogonalne, rozkład na symetrie, skończone grupy odbić
- Wykład 12. Endomorfizmy samosprzężone, twierdzenie spektralne
- Wykład 13. Przestrzenie unitarne, rozkład biegunowy, SVD
- Wykład 14. Formy kwadratowe, zamiana zmiennych, diagonalizacja, reprezentowalność form całkowitych
- Wykład 15. Przestrzenie hiperboliczne, rozkład Witta
- Wykład 16. Przestrzenie metryczne, ciała z normą, liczby p-adyczne
- Wykład 17. Szeregi p-adyczne, zasada lokalno-globalna, lemat Hensela
- Wykład 18. Przestrzenie afiniczne: kombinacje afiniczne, niezależność, baza punktowa i układ bazowy
- Wykład 19. Przekształcenia afiniczne
- Wykład 20. Afiniczne przestrzenie euklidesowe, izometrie afiniczne, miara i mierzalność
- Wykład 21. Miara sympleksu. Iloczyn wektorowy
- Wykład 22. Wstęp do przestrzeni rzutowych
- Wykład 23. Wielomiany, zbiory algebraiczne i hiperpowierzchnie
- Wykład 24. Hiperpowierzchnie stopnia 2 - klasyfikacja (typ afiniczny)
- Wykład 25. Hiperpowierzchnie stopnia 2 - typ izometryczny i rzutowy
- Wykład 26. Algebra wieloliniowa i iloczyn tensorowy - wprowadzenie
Lektury nieobowiązkowe (ale rozwijające horyzonty)
- Lektura 0. Matousek J.: Thirty-three Miniatures: Mathematical and Algorithmic Applications of Linear Algebra.
- Lektura 1. Barot M.: Introduction to the representation theory of algebras. Chapter 1. Matrix problems
- Lektura 2. Behrend K., Dynamical Systems and Matrix Algebra.
- Lektura 3. Ciesielska B., Kowalczyk A., Twierdzenie Perrona-Frobeniusa i PageRank
- Lektura 4. Szymiczek K., Algebra liniowa 3, §6.2. Endomorfizmy nilpotentne
- Lektura 5. Cardon, Tuckfield: The Jordan Canonical Form for a Class of Zero-One Matrices
- Lektura 6. Kaczorek T., Zastosowanie macierzy wielomianowych i wymiernych...
- Lektura 7. Gedeon K., Simultaneous Triangularization...
- Lektura 8. Conrad K., Semisimplicity
- Lektura 9. Babai, Frankl: Linear algebra methods in combinatorics
- Lektura 10. W. Tomaszewski, Twierdzenie Ostrowskiego
- Lektura 11. Newcomb: Symmetry Groups of Platonic Solids
- Lektura 12. Gratz: Amazing Diagrams Everywhere
- Lektura 13. Besenyei: Stochastic matrices and geometry...
- Lektura 14. Dvořák: Spectral radius, symmetric and positive matrices
- Lektura 15. Serrano: SVD and Image Compression (YouTube)
- Lektura 16. Quinlan: Spectral Graph Theory
- Lektura 17. Williams: "Four Integers" i "Five Integers"
- Dostęp do JSTOR przez BUW
- Lektura 18. Casacuberta: Open Problems with Factorials
- Lektura 19. Gamzon: The Hasse-Minkowski Theorem
- Lektura 20. Sablan: Monsky Theorem
- Materiał pomocniczy (Q_p)
- Lektura 21. Męcel: Wokół twierdzenia Helly'ego
- Wykład T. Tkocza z geometrii wypukłej
- Lektura 22. Kordos: Trochę o XVIII i III problemie Hilberta
- Lektura 23. Hitchin: Projective Geometry
- Lektura 24. Gorodentsev: Projective Geometry
- Lektura 25. Kocik: A theorem on circle configurations
- Lektura 26. Pfiefer, Van Hook: Circles, Vectors, and Linear Algebra
- Lektura 27. Hunt: A Gallery of Algebraic Surfaces
- Lektura 28. Lam: Finite Projective Plane of Order 10
- Lektura 29. Bashelor, Ksir, Traves: Enumerative Algebraic Geometry of Conics
- Lektura 30. Eilenberg, MacLane: General theory of natural equivalences
Ćwiczenia
- 1. Endomorfizmy, podobieństwo, wektory i wartości własne
- 2. Diagonalizowalność. Macierz sąsiedztwa grafu prostego
- 3. Podprzestrzeń cykliczna. Macierz towarzysząca
- 4. Podprzestrzenie niezmiennicze. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
- 5. Wyznaczanie postaci Jordana
- 6. Bazy Jordana. Macierze incydencji funkcji i ich postać Jordana
- 8. Formy dwuliniowe i ich własności. Kongruentność macierzy
- 9. Przykłady kombinatorycznych zastosowań form dwuliniowych
- 10. Przestrzenie euklidesowe, dwuliniowe i bazy prostopadłe
- 11. Formy dwuliniowe, iloczyny skalarne, twierdzenie o inercji
- 12. Izometrie i macierze ortogonalne
- 13. Macierze nieujemnie określone
- 14. Twierdzenie spektralne w teorii grafów
- 15. Wstęp do form kwadratowych
- 16. Norma p-adyczna i liczby p-adyczne
- 17. Przestrzenie afiniczne - wprowadzenie
- 18. Przestrzenie afiniczne cd. Przekształcenia afiniczne
- 19. Długość i objętość
- 20. Wypukłość
- 21. Funkcje wielomianowe na przestrzeni afinicznej i rzutowej
- 22. Hiperpowierzchnie stopnia 2
Prace domowe
- Zestaw 1 na 16.03
- Zestaw 2 na 23.03
- Zestaw 3 na 30.03
- Zestaw 4 na 27.04
- Zestaw 5 na 6.05
- Zestaw 6 na 13.05
- Zestaw 7 na 22.05
- Zestaw dodatkowy na 8.06
S. Potoczak: Survey of Graph Embeddings into Compact Surfaces