\documentclass[notitlepage]{article} 
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{anysize}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\marginsize{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}

\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemat}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Propozycja}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Wniosek}


\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{definition}{Definicja}
\newtheorem{example}{Przykład}
\newtheorem{remark}[theorem]{Uwaga}

\title{Analiza I.1, seria VII}  
\author{Adam Michalik}

\begin{document}
\maketitle

Niektóre rozwiązania są niepełne, jeżeli komuś zależy na poznaniu
reszty rozwiązania, proszę dać mi znać.

\paragraph{Zadanie 1}
Obydwa szeregi rozbijamy na sumę na skończenie wielu szeregów
geometrycznych, bazując w a) na wartości $n \mod 4$, a w b) na znaku
$n$. 

\paragraph{Zadanie 2}
Oznaczmy ciąg sum częściowych przez $S_n = \sum_{k = 1}^n
\frac{(-1)^{[\ln k]}}{k}$. Rozpatrzmy jego podciąg $\{S_{[e^k]}\}_{k 
  \in \mathbb{N}}$. Gdyby szereg był zbieżny, to również ten podciąg
byłby zbieżny. Ten podciąg jest jednak ciągiem sum częściowych szeregu 
\begin{equation}
  \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \sum_{i = 0}^{[e^{k+1}] - [e^k] - 1}
  \frac{1}{[e^k] + i}
\end{equation}
którego wyraz ogólny nie zbiega do zera, bo 
\begin{equation}
  \frac{{[e^{k+1}] - [e^k] - 1}}{[e^{k+1}]} \leq \sum_{i =
    0}^{[e^{k+1}] - [e^k] - 1} \frac{1}{[e^k] + i} 
\end{equation}
a ciąg o wyrazach po lewej stronie nierówności dla $k = 1, 2, \ldots$
ma granicę $1 - \frac{1}{e} > 0$. Stąd jego ciąg sum częściowych nie
jest zbieżny, zatem $S_n$ nie ma granicy.

\paragraph{Zadanie 3}
Wszystkie szeregi poniżej to szeregi potęgowe postaci $\sum a_n x^n$,
są zatem bezwzględnie zbieżne wewnątrz kuli zbieżności, oraz rozbieżne
poza nią. Promień zbieżności jest równy $R = \lim \rm{sup}
\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} $
\subparagraph{a)}
Wyznaczmy promień zbieżności. Mamy:
\begin{eqnarray}
  e \left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n! \leq e \left(\frac{n+1}{e}
  \right)^{n+1} 
\end{eqnarray}
skąd widzimy z tw. o trzech ciągach, że:
\begin{eqnarray}
  \lim \sqrt[n]{\frac{(n-1)!}{n^n}} = \frac{1}{e}
\end{eqnarray}
zatem promień zbieżności jest równy $e$. 

\subparagraph{b)}
Wyznaczmy promień zbieżnosci. Mamy
\begin{equation}
  \lim \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n^2}} = \lim
  \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n = e^{\frac{1}{2}}
\end{equation}

Zatem dla $|x| < e^{-\frac{1}{2}}$ szereg jest bezwzględnie zbieżny,
dla $|x| > e^{-\frac{1}{2}}$ szereg jest rozbieżny. 

\subparagraph{c)}
Mamy oczywiście:
\begin{equation}
  \lim \sqrt[n]{\frac{1}{n \ln n (\ln \ln n)^2}} = 1
\end{equation}
skąd szereg jest bezwzględnie zbieżny dla $|x| < 1$ i rozbieżny dla
$|x| > 1$. Dla $x = 1$ szereg jest zbieżny -- wystarczy zastosować
kryterium o zagęszczaniu, bo wyraz ogólny monotonicznie zbiega do 0,
jest też zatem zbieżny dla $x = -1$.

\end{document}
