\documentclass[notitlepage]{article} 
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{anysize}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\marginsize{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}

\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemat}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Propozycja}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Wniosek}


\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{definition}{Definicja}
\newtheorem{example}{Przykład}
\newtheorem{remark}[theorem]{Uwaga}

\title{Analiza I.1, seria VI}  
\author{Adam Michalik}

\begin{document}
\maketitle

\paragraph{Zadanie 1}
Oczywiście mamy:
\begin{equation}
  0 \leq \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} \leq \sqrt{x_n}
\end{equation}
zatem jeżeli $\sum x_n$ jest zbieżny, to teza wynika z kryterium
porównawczego. 

Jeżeli natomiast $\sum \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}}$ jest zbieżny, to
oczywiście $ \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} \to 0$, stąd dla d.d.d. $n$:
\begin{eqnarray}
  \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} &<& \frac{1}{2} \\
  \sqrt{x_n} &<& \frac{1}{2} \sqrt{1+x_n} \\
  x_n &<& \frac{1}{4}(1 + x_n)  \\
  \frac{3}{4} x_n &<& \frac{1}{4} \\
  x_n &<& \frac{1}{3} 
\end{eqnarray}
zatem:
\begin{equation}
  0 < \sqrt{\frac{x_n}{1 + \frac{1}{3}}} < \sqrt{\frac{x_n}{1+x_n}} 
\end{equation}
skąd $\sum \sqrt{\frac{x_n}{1 + \frac{1}{3}}}$ jest zbieżny, ale wtedy
również $\sum \sqrt{x_n}$ zbieżny.

\paragraph{Zadanie 2}
\subparagraph{a)}
Oczywiście szereg nie jest zbieżny: 
\begin{eqnarray}
  \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n + n^2(1+(-1)^{n+1})} &=&
  \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n + n^2(1+(-1)^{n+1})}[n\,
  \rm{parzyste}] \\ 
  &+& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n +
    n^2(1+(-1)^{n+1})}[n\, \textrm{nieparzyste}] \\  
  &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1 +2
  (2n-1)^2}
\end{eqnarray}

Oczywiście pierwszy ze składników nie jest rozbieżny, a drugi jest
zbieżny (bo jest bezwzględnie zbieżny, gdyż wyraz ogólny jest
ograniczony z góry przez bewzględnie zbieżny szereg $\sum
\frac{1}{n}$), zatem gdyby wyjściowy szereg był zbieżny, to zbieżny
byłby również szereg:
\begin{equation}
  \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n + n^2(1+(-1)^{n+1})} +
  \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1 +2 (2n-1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}
\end{equation}

\subparagraph{b)}
Oczywiste jest, że dla $|a| > 2$ wyraz ogólny nie zbiega do 0, szereg
zatem jest rozbieżny.

Skorzystajmy z kryterium Cauchy'ego:
\begin{equation}
  \sqrt[n]{\left|\frac{a(n+1)}{2n+1}\right|^{3n}} =
  \left|\frac{a(n+1)}{2n+1}\right|^{3} \to \frac{|a|^3}{8}
\end{equation}
stąd dla $|a| < 2$ szereg jest bezwzględnie zbieżny. 

Niech $a = 2$. Wtedy 
\begin{eqnarray}
  \left(\frac{2n+2}{2n+1}\right)^{3n} &=& \left(1 +
    \frac{1}{2n+1}\right)^{3n} \\
  &=& \left(\left(1 +
      \frac{1}{2n+1}\right)^{2n+1}\right)^{\frac{3n}{2n+1}} \to e^{\frac{3}{2}}
\end{eqnarray}
zatem dla $a=2$ szereg jest rozbieżny. Oczywiście podciąg złożony z
wyrazów o parzystym indeksie jest również zbieżny do
$e^{\frac{3}{2}}$, ale jest on również podciągiem ciągu wyrazów
szeregu dla $a = -2$, skąd ciąg wyrazów szeregu dla $a = -2$ ma
podciąg, który nie jest zbieżny do $0$, zatem dla $a=-2$ szereg
również jest rozbieżny. 

\paragraph{Zadanie 3}
Zbadajmy najpiew bezwzględną zbieżność. Oczywiście:
\begin{equation}
  \sum_{n=0}^\infty |x^n - x^{n+1}| = \sum_{n=0}^\infty |x^n| |1 - x|
  = |1-x| \sum_{n=0}^\infty |x^n|
\end{equation}
więc mamy szereg geometryczny, który oczywiście jest zbieżny dla $|x|
< 1$, oraz $x = 1$, bo wtedy wszystkie wyrazy równają się zeru. 

Badając zbieżność warunkową widzimy, że ciąg sum cześciowych szeregu
ma postać:
\begin{equation}
  \sum_{n=0}^{N} (x^n - x^{n+1}) = 1 -  x^{N+1}
\end{equation}
skąd w sposóbo oczywisty widać, że szereg jest zbieżny tylko wtedy,
gdy $|x| < 1$, a suma jest równa $1$.

\paragraph{Zadanie 4}
Oczywiście szereg nie jest bezwzględnie zbieżny: wystarczy przyjąć za
$a_n = 1$, wtedy szereg $\sum \frac{1}{\ln n}$ jest rozbieżny.

Oczywiście szereg $\sum (-1)^n(g-a_n)$ jest zbieżny z kryterium
Leibniza. Oznaczmy jego sumę przez $C$. Wtedy d.d.d. $N$ mamy:
\begin{eqnarray}
|\sum_{n=1}^N (-1)^n(g-a_n)| &<& 2C \\
|\sum_{n=1}^N (-1)^na_n - \sum_{n=1}^N (-1)^n g| &<& 2C \\
|\sum_{n=1}^N (-1)^na_n| - |\sum_{n=1}^N (-1)^n g| &<& 2C \\
|\sum_{n=1}^N (-1)^na_n| &<& 2C+g  
\end{eqnarray}
zatem ciąg sum częściowych $(-1)^n a_n$ jest ograniczony,
$\frac{1}{\ln n}$ zbiega monotonicznie do 0, więc teza wynika z
kryterium Dirichleta.

\end{document}
