A.D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych, PWN, Warszawa 1980 - nieco archaicznie napisany
i dawno nie wznawiany, ale warty polecenia podręcznik, pokrywający znaczącą część wykładu
I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, Springer, 2nd edition 1998 - bardzo
dobry podręcznik, zawierający bardzo dużo treści, polecany dla osób zainteresowanych tematyką i szukających
uzupełnienia wykładu
D. Revuz, M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Springer, 3rd edition 1999 - wymagająca lektura, dla osób chcących się specjalizować w teorii procesów stochastycznych.
2 października 2024 - Proces stochastyczny - definicja, niezależność i stacjonarność przyrostów. Definicja
procesu Wienera i intuicje za nią stojące. Proces Wienera jako proces gaussowski. Charakteryzacja procesu
Wienera jako (odpowiednio znormalizowanego) ciągłego procesu o niezależnych, stacjonarnych przyrostach,
przy założeniu istnienia 4go momentu. Informacja o konstrukcji procesu Wienera przy pomocy układu Haara.
7 października 2024 - Sigma ciało zbiorów cylindrycznych, przykłady zdarzeń należących i nie należących
do tego sigma ciała, rozkład procesu stochastycznego, rozkłady skończenie wymiarowe procesu, warunki
zgodności, rozkłady skończenie wymiarowe wyznaczają rozkład procesu, twierdzenie Kołmogorowa o zgodności
i wnioski z niego, procesy Gaussowskie, funkcje wartości średniej i kowariancji wyznacza rozkład procesu gaussowskiego, istnienie procesu gaussowskiego o zadanej funkcji wartości średniej i symetrycznej, nieujemnie
określonej funkcji kowariancji
14 października 2024 - Modyfikacja procesu stochastycznego, procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne,
stochastyczna równoważność implikuje nierozróżnialność przy założeniu prawostronnej ciągłości trajektorii.
Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu ciągłej modyfikacji procesu - przypadek przedziału skończonego
i nieskończonego, (lokalna) hoelderowskość ciągłej modyfikacji przy założeniu warunku Kołmogorowa, istnienie
procesu Wienera, lokalna hoelderowskość jego trajektorii z wykładnikiem mniejszym niż 1/2. Inne rodzaje
ciągłości procesów. Definicja filtracji i momentu zatrzymania w czasie ciągłym, filtracja generowana przez proces
stochastyczny, niezależność przyrostów w terminach niezależności przyrostów i sigma ciał z naturalnej filtracji.
Moment dojścia do zbioru domkniętego jest momentem zatrzymania, jeśli proces ma prawostronnie ciągłe trajektorie.
21 października 2024 - Filtracja F_{t+}, filtracje spełniające zwykłe warunki (prawostronnie ciągłe i zawierające
zbiory miary zero), progresywna mierzalność, progresywna mierzalność jest równoważana adaptowalności, jeśli
proces ma prawostronnie ciągłe trajektorie, progresywna mierzalność się zachowuje przy zatrzymaniu procesu
oraz implikuje F_{\tau} mierzalność X_\tau. Martyngały z czasem ciągłym - definicja i przykłady (uśrednienia całkowalne zmiennej losowej, W_t, W_t^2-t). Definicja wielowymiarowego proces Wienera. Funkcja harmoniczna od
wielowymiarowego procesu Wienera jest martyngałem.
28 października 2024 - nierówności maksymalne Dooba dla martyngałów/nieujemnych podmartyngałów o prawostronnie
ciągłych trajektoriach (przypomnienie postaci w przypadku dyskretnym i wyprowadzenie z niego przypadku ciągłego),
szacowanie ogona supremum procesu Wienera, prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera (z dowodem przełożonym
na ćwiczenia). Zbieżność p.n. podmartyngałów o prawostronnie ciągłych trajektoriach (bez dowodu), dyskusja
równoważnych postaci warunku gwarantującego zbieżność. Jednostajna całkowalność rodzinny zmiennych losowych,
definicja, równoważna postać, przykłady (w tym rodzina uśrednień ustalonej całkowalnej zmiennej losowej).
Zbieżność wg prawdopodobieństwa implikuje zbieżność w L^p, jeśli |X_n|^p jest jednostajnie całkowalna.
Dyskretna i ciągła wersja twierdzenia Dooba o stopowaniu (dowód na kolejnym wykładzie).
4 listopada 2024 - Dowód ciągłej wersji twierdzenia Dooba o stopowaniu, zastosowanie - martyngał
zatrzymany w momencie \tau jest martyngałem zarówno względem ,,zatrzymanej", jak i wyjściowej
filtracji. Twierdzenie o zbieżności martyngałów w L^1 i L^p, p>1. Całka Stieltjesa-Riemanna -
definicja, krótki przegląd własności. Funkcje ciągłe są całkowalne względem funkcji o wahaniu
skończonym i na odwrót jeśli wszystkie funkcje ciągłe są całkowalne względem ustalonej funkcji to
musi mieć ona wahanie skończone (bez dowodu). Całka Stieltjesa-Lebesgue'a. Każdy martyngał o
ciągłych trajektoriach jest stały p.n. na zbiorze trajektorii o wahaniu skończonym (bez dowodu),
zatem nie można definiwiać cąłki względem ciągłych martyngałów ,,trajektoryjnie"
18 listopada 2024 - całka funkcji deterministycznych względem procesu Wienera (całka Paleya-Wienera)
jako izometryczne włożenie L^2[0,t] w L^2(\Omega) - definicja (przedłużenie izometrycznego włożenia podprzestrzeni funkcji schodkowych), podstawowe własności. Elementarne procesy prognozowalne. Całka z elementarnych procesów prognozowalnych jest martyngałem ciągłym, całkowalnym z kwadratem. Przestrzeń martyngałów ciągłych, całkowalnych z kwadratem jest przestrzenią Hilberta.
25 listopada 2024 - procesy prognozowalne, każdy proces lewostronnie ciągły i adaptowalny jest prognozowalny. Przestrzeń procesów prognozowalnych całkowalnych z kwadratem jest domknięciem
(w normie L^2) przestrzeni procesów elementarnych. Całka stochastyczna Ito jako izometria
z przestrzeni procesów prognozowalnych całkowalnych z kwadratem w przestrzeń martyngałów ciągłych,
całkowalnych z kwadratem. Twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej i wniosek: różnica
kwadratu całki stochastycznej i całki kwadratu procesu jest martyngałem.
2 grudnia 2024 - Uogólnienie definicji całki stochastycznej na całkę z procesów prognozowalnych
o trakektoriach lokalnie całkowalnych z kwadratem - definicja i jej jednoznaczność. Twierdzenie
o zatrzymaniu uogólnionej całki stochastycznej.
Martyngały lokalne. Uogólniona całka stochastyczna jako martyngał lokalny.
Nierówność maksymalna Dooba dla uogólnionej całki stochastycznej. Nawias skośny martyngału
całkowalnego z kwadratem (bez dowodu istnienia i ze szkicem dowodu jednoznaczności). Całka
procesów elementarnych względem martyngału całkowalnego z kwadratem.
9 grudnia 2024 - definicja całki izometrycznej względem ciągłego martyngału całkowalnego
z kwadratem, twierdzenie o zatrzymaniu takiej całki. Uogólnienie definicji
na całkę z procesów prognozowalnych o trajektoriach lokalnie całkowalnych z kwadratem
względem ciągłego martyngału lokalnego. Podstawowe własności takiej całki, w twierdzenie o
zatrzymaniu. Nawias skośny martyngału ciągłego jako granica wariancji kwadratowej. Definicja
nawiasu skośnego pary ciągłych martyngałów .
16 grudnia 2024 - własności nawiasu skośnego pary ciągłych martyngałów. Twierdzenie o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy w całce stochastycznej. Twierdzenie o całkowaniu przez
podstawienie dla całki stochastycznej. Twierdzenie o całkowaniu przez części dla całki stochastycznej. Semimartyngały ciągłe - definicja, jednoznaczność rozkładu. Nawias skośny
semimartyngału ciągłego. Twierdzenie o całkowaniu przez części dla semimartyngałów ciągłych.