Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II rok matematyki grupa *

1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - bardzo bliski do programu wykładu, nowocześnie napisany, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - bardzo bliski do programu wykładu, nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza zakres kursu
4. A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku, trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
5. Borovkov Rachunek Prawdopodobieństwa - wydaje mi się nieco "za suchy", ale poczytać nikomu nie zaszkodzi
6. inne podręczniki w języku angielskim np K.L.Chung A Course in Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne polecenia

• 14 lutego 2005 - aksjomatyka Kołmogorowa, przykłady przestrzeni probabilistycznych (prawdopodobieństwo klasyczne, geometryczne, dyskretne przestrzenie probabilistyczne), dobór właściwego modelu probabilistycznego - paradoks Bertranda, język prawdopodobieństwa a teoria mnogości - interpretacja limsup i liminf, podstawowe własności prawdopodobieństwa, I część Lematu Borella-Cantelliego, konstruowanie nowych przestrzeni probabilistycznych - eksperyment częściowy, prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite (wzór Bayesa), iloczyn dwu przestrzeni probabilistycznych.
• 21 lutego 2005 - iloczyn skończonej i nieskończonej liczby przestrzeni probabilistycznych, twierdzenie Caratheodory'ego o przedłużaniu miary, schemat Bernoulliego, twierdzenie o pi-lambda układach, definicja niezależności zdarzeń i sigma-ciał.
• 28 lutego 2005 - sigma-ciała generowane przez rozłączne rodziny niezależnych sigma-ciał są niezależne, niezależność systemów monotonicznych implikuje niezależność sigma-ciał przez nich generowanych, prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa, Lemat Borella-Cantelliego; Zmienne losowe - definicja, rozkład i dystrybuanta zmiennych losowych, dystrybuanta wyznacza rozkład, własności dystrybuant zmiennych i wektorów losowych. Niezależność zmiennych losowych - definicja, niezależność w terminach rozkładów i dystrybuant.
• 7 marca 2005 - rozkłady ciągłe i dyskretne, przegląd ważniejszych rozkładów - dwumianowy, Poissona, geometryczny, ujemny dwumianowy, jednostajny, wykładniczy, normalny, gamma, Cauchy'ego. Rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych, brak pamięci dla rozkładu wykładniczego. Wartość oczekiwana - podstawowe własności. Twierdzenie o zamienie zmiennych - jak liczyć wartość oczekiwaną w przypadku ciągłym i dyskretnym. Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego, Poissona i normalnego.
• 14 marca 2005 - wariancja, definicja i równoważny wzór. Wariancja zmiennej o rozkładzie Poissona i normalnej. Nierówność Markowa i Czebyszewa. Wariancja sumy zmiennych parami niezależnych jest sumą wariancji. Inne charakterystyki - mediana, kwantyle i momenty. Kowariancja zmiennych losowych. Zmienne niezależne są nieskorelowane. Macierz kowariancji i jej podstawowe własności. Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych jest splotem rozkładów. Splot w przypadku rozkładów dyskretnych i ciągłych. Splot rozkładów Poissona jest Poissona, a normalnych jest normalny.
• 21 marca 2005 - Splot rozkładów Gamma o jednakowym parametrze skali ma rozkład Gamma, rozkład chi kwadrat o $n$ stopniach swobody. Wartość oczekiwana pod warunkiem pojedynczego zdarzenia. Warunkowa wartość oczekiwana (wwo) względem sigma ciała atomowego. Ogólna definicja wwo - interpretacja i przykłady. Jednoznaczność wwo.
• 4 kwietnia 2005 - Przestrzeń Hilberta - definicja, przykłady. Istnienie rzutu ortogonalnego na podprzestrzeń domkniętą, twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału. Dowód twierdzenia Radona-Nikodyma. Istnienie wwo. Przegląd własności wwo (w tym nierówność Jensena).
• 11 kwietnia 2005 - kolokwium
• 18 kwietnia 2005 - Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem wwo (zbieżność monotoniczna, zmajoryzowana i Lemat Fatou). Wyprowadzanie czynników mierzalnych przed znak wwo. Krzywa regresji. Wwo jako rzut w L^2. Prawdopodobieństwo warunkowe - definicja i własności. Regularny rozkład warunkowy - definicja, istnienie w przypadku sigma ciała zbiorów borelowskich na prostej. Regularny rozkład warunkowy a liczenie wwo.
• 25 kwietnia 2005 -