Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa 2 - III rok matematyki

• poniedziałki 8.30-10.00 s.5820 Adam Osękowski
• poniedziałki 12.15-14.00 s.5820 Radosław Adamczak
• wtorki 12.15-14.00 s.3250 Witold Bednorz

1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - bardzo bliski programu wykładu, nowocześnie napisany, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - bliski programu wykładu, nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza zakres kursu
4. A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku, trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
5. inne podręczniki w języku angielskim np K.L.Chung A Course in Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne polecenia

• 6 października 2003 Słaba zbieżność miar probabilistycznych i zbieżność zmiennych według rozkładu (na przestrzeniach metrycznych), charakteryzacja zbieżności wg rozkładu za pomocą zbieżności miar zbiorów otwartych/domkniętych/o zerowym brzegu, zbieżność według rozkładu a zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości, uwagą, że w definicji zbieżności wg rozkładu można się ograniczyć do "porządnych" funkcji (jednostajnie ciągłych, Lipschitzowskich);
• 13 października 2003 Ciasność rodziny rozkładów probabilistycznych, twierdzenie Prochorowa o równoważności ciasności z istnieniem podciągu zbieżnego według rozkładu w dowolnym ciągu elementów rodziny. Funkcja charakterystyczna - definicje, przykłady (w tym funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego), podstawowe własności, uwaga o twierdzeniu Bochnera (charakteryzacja f.ch. rozkładów probabilistycznych na prostej).
• 20 października 2003 Momenty zmiennej losowej a pochodne funkcji charakterystycznej, funkcja charakterystyczna wyznacza rozkład, twierdzenie Levy'ego-Cramera (równoważność zbieżności punktowej funkcji charakterystycznych i zbieżności rozkładów).
• 27 października 2003 Uwagi o wielowymiarowych funkcjach charakterystycznych, wspolrzedne wektora losowego sa niezalezne wtedy i tylko wtedy gdy funkcja charakterystyczna jest produktowa, zbieznosc wedlug rozkladu wektorow losowych jest rownowazna zbieznosci dowolnych kombinacji liniowych wspolrzednych. Centralne twierdzenie graniczne - przypadek jednakowych rozkladow, warunek Lindeberga, CTG w wersji Lindeberga-Levy'ego.
• 3 listopada 2003 Wnioski z CTG; Wielowymiarowe rozkłady gaussowskie równoważność różnych definicji, związki między parametrami, niezależność jest równoważna nieskorelowaniu dla wektorów gaussowskich, wielowymiarowe Centralne Twierdzenie Graniczne.
• 17 listopada 2003 Warunkowa wartość oczekiwana, pod warunkiem pojedynczego zdarzenia, sigma-ciała atomowego i w przypadku ogólnym. Istnienie i jednoznaczność wwo. Przegląd podstawowych własności.
• 24 listopada 2003 Dalsze własności warunkowej wartości oczekiwanej, w tym twierdzenia o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej; WWO jako rzut ortogonalny na L^2; krzywa regresji; Prawdopodobieństwo warunkowe - definicja, podstawowe własności. Filtracje i martyngały (nad, pod) z czasem dyskretnym - definicja, równoważne postacie podstawowej własności, przykłady.
• 1 grudnia 2003 Momenty zatrzymania względem ustalonej filtracji - definicja, przykłady, podstawowe własności, tożsamość Walda. Twierdzenie "Optional Sampling" Dooba i przykładowe zastosowania. Przejścia w górę przez przedział - definicja i związek ze zbieżnością ciągu.
• 8 grudnia 2003 Oszacowanie liczby przejść w górę przez przedział przez nadmartyngał, twierdzenie o zbieżności nadmartyngałów i uwaga o równoważnych formach głównego warunku. Jednostajna całkowalność rodziny zmiennych losowych dwie równoważne definicje i przykłady (rodzina jednoelementowa złożona ze zmiennej całkowalnej, rodzina majoryzowana przez zmienną całkowalną, rodzina uśredniej ustalonej zmiennej losowej), zbieżność według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność według p-tego momentu, jeśli p-te potęgi zmiennych są jednostajnie całkowalne.
• 15 grudnia 2003 Twierdzenie o zbieżności martyngału w L^1, przykład martyngału zbieżnego prawie na pewno, ale nie w L^1, uwaga o zbieżności martyngałów w L^p. Łańcuchy Markowa - definicja ogólna, przykłady, rozkład początkowy i macierz przejścia w n-tym kroku, jak z rozkładów n-wymiarowym odczytać własność Markowa i postać macierzy przejścia. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozkładu łańcucha Markowa z zadanym rozkładem początkowym i macierzami przejścia. Definicja jednorodnego łańcucha Markowa
• 5 stycznia 2004 Klasyfikacja stanów i przykłady,łańcuchy nieprzywiedlne, faktoryzacja prawdopodobieństw dla jednorodnych łańcuchów Markowa i przykłady (w tym postać macierzy przejścia w n krokach, stany chwilowe i powracające, kryterium powracalności, błądzenie losowe w Z^k jest powracające wtedy i tylko wtedy gdy k<=2
• 12 stycznia 2004 Prawdopodobieństwo dojścia do pewnego zbioru stanów przed osiągnięciem innego zbioru, średni czas oczekiwania na dojście do pewnego zbioru stanów, łańcuchy okresowe, stany komunikujące się mają ten sam okres, rozkład stacjonarny i jego istnienie dla skończonej przestrzeni stanów , twierdzenie ergodyczne dla nieprzywiedlnych nieokresowych łańcuchów Markowa ze
skończoną przestrzenią stanów (szkic dowodu).