skrypt prof. Adama Osękowskiego - formalnie napisany do wykładu na zwykłym potoku,
ale zawiera większość omawianego materiału i dużo ciekawych zadań.
J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa -
- najbliższy podręcznik do programu wykładu RP1 i RP2, dobrze i starannie napisany, wiele ciekawych
zadań o zróżnicowanym poziomie trudności
P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - godny polecenia podręcznik,
dobrze się czyta, ciekawe zadania
W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II -
szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością,
ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza
zakres kursu
A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski
Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku,
trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
inne podręczniki w języku angielskim, np. K.L.Chung A Course in
Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne
polecenia
4 października 2023 - Zbieżność według rozkładu miar probabilistycznych i
zmiennych losowych (o wartościach w przestrzeniach metrycznych),
motywacja, przykłady, zbieżność wg rozkładu nie implikuje zbieżności
miar zbiorów ani wartości oczekiwanych zmiennych losowych, twierdzenie portmanteau
o warunkach równoważnych zbieżności wg rozkładu (wystarcza testować zbieżność na ograniczonych
funkcjach Lipschitzowskich, charakteryzacja zbieżności wg rozkładu za pomocą zbieżności miar zbiorów otwartych/domkniętych/o zerowym brzegu), w przypadku R^d wystarczy testować zbieżność wg rozkładu na funkcjach ciągłych (a nawet gładkich) o nośniku zwartym,
zbieżność według rozkładu a zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości
(dowód odłożony na kolejny wykład).
11 października 2023 - uwaga o jednoznaczności granicy wg rozkładu miar probabilistycznych,
dowód twierdzenia o równoważności zbieżności według rozkładu ze zbieżnością dystrybuant w punktach ciągłości, uwaga, że w przypadku ciągłej granicznej dystrybuanty zbieżność jest jednostajna, metryki Kołmogorowa, Levy'ego i Levy'ego-Prochorowa, ciasność rodziny rozkładów,
twierdzenie Prochorowa (na R) o równoważności ciasności z relatywną zwartością rodziny względem
zbieżności wg rozkładu, uwaga o ogólniejszym twierdzeniu na przestrzeniach polskich. Funkcja charakterterystyczna - definicja, przykłady, podstawowe własności.
18 października 2023 - dalsze własności funkcji charakterystycznej w tym nieujemna określoność,
sformułowanie twierdzenia Bochnera, momenty zmiennej losowej a pochodne
funkcji charakterystycznej, funkcja charakterystyczna wyznacza rozkład, funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych. Przykłady - f.ch. zmiennych gaussowskich, suma niezależnych zmiennych gaussowskich ma rozkład gaussowski.
Twierdzenie Levy'ego-Cramera, równoważność zbieżności punktowej funkcji charakterystycznych i zbieżności rozkładów.
25 października 2023 - wielowymiarowe funkcje charakterystyczne - definicja, podstawowe własności. Charakteryzacja niezależności w terminach funkcji charakterystycznej, zbieżność
wg rozkładu wektorów losowych jest równoważna zbieżności wg rozkładu kombinacji liniowych współrzędnych. Twierdzenie o odwróceniu funkcji charakterystycznej (z dowodem), funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy'ego. Dowód twierdzenia Bochnera.
8 listopada 2023 - Centralne Twierdzenie Graniczne w przypadku iid, twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a (bez szacowania błędu
przybliżenia). Układy trójkątne. Warunek Lindeberga. Znormalizowany ciąg iid spełnia warunek Lindeberga. Dowód centralnego
twierdzenia granicznego w wersji Lindeberga poprzez funkcje charakterystyczne. Konieczność warunku Lindeberga przy założeniu
zbieżności maksymalnej wariancji w wierszu do zera.
15 listopada 2023 - Wielowymiarowe wektory gaussowskie - równoważność różnych definicji,
podstawowe własności. Współrzędne wektora gaussowskiego są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane. Wielowymiarowe Centralne Twierdzenie Graniczne w wersji Lindeberga. Dowód
Centralnego Twierdzenia Granicznego bez użycia funkcji charakterystycznych.
22 listopada 2023 - Twierdzenie Berry'ego-Esseena (bez dowodu), przykład, że szybkość
zbieżności w CTG nawet dla sum ograniczonych zmiennych iid nie może być bez dodatkowych założeń
szybsza niż n^{-1/2}. Filtracje, momenty zatrzymania, sigma-ciało zdarzeń obserwowalnych do
ustalonego momentu zatrzymania - motywacja, definicje, przykłady. Tożsamość Walda. Definicja martyngału.
29 listopada 2023 - definicja (nad, pod) martyngału i podstawowe uwagi/obserwacje. Przykłady - suma niezależnych zmiennych losowych o średniej 0, martyngały prawostronnie domknięte, funkcja wypukła od martyngału jest podmartyngałem, transformata martyngałowa. Twierdzenie Dooba optional sampling - dowód i przykłady zastosowania (tożsamość Walda, prawodpodobieństwo ruiny w grze monetą symetryczną). Sformułowanie twierdzenia o zbieżności p.n. nadmartyngałów.
6 grudnia 2023 - przejścia w górę przez przedział, związek ze zbieżnością ciągów. Oszacowanie
średniej liczby przejść w góre przez przedział dla nadmartyngałów i dowód twierdzenia o
zbieżności p.n. Jednostajna całkowalność - dwie równoważne definicje. Przykłady - skończona rodzina zmiennych całkowalnych, rodzina dominowana przez zmienną całkowalną, uśrednienia ustalonej całkowalnej zmiennej losowej. Jednostajna całkowalność |X_n|^p i zbieżność wg prawdopodobieństwa implikuje zbieżność w L^p.
13 grudnia 2023 - nierówności maksymalne Dooba. Twierdzenia o zbieżności martyngałów w L^1 i L^p. Zbieżność w L^1 i p.n. martyngałów z czasem odwróconym. Zastosowanie twierdzeń o zbieżności martyngałów - prawo 0-1 Kołmogorowa i Mocne Prawo Wielkich Liczb.
20 grudnia 2023 - Łańcuchy Markowa - definicja i przykłady. Macierze stochastyczne. Rozkład
początkowy i macierz przejścia w ntym kroku łańcucha Markowa. Charakteryzacja własności Markowa
za pomocą rozkładów skończonych. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozkładu łańcucha Markowa o zadanym rozkładzie początkowym i ciągu macierzy przejścia. Jednorodne łańcuchy Markowa - wzory na rozkłady skończone, wzór faktoryzacyjny.
10 stycznia 2024 - klasyfikacja stanów łańcucha Markowa, przykłady, nieprzywiedlność
łańcucha Markowa. Powracalność i chwilowość. Kryterium powracalności w terminach
rozbieżności szeregu prawdopodobieństw powrotu w n krokach.
17 stycznia 2024 - okres łańcucha Markowa, łańcuchy nieokresowe, przykłady i
własności. Rozkłady stacjonarne - definicja i przykłady. Twierdzenie ergodyczne dla
nieprzywiedlnych, nieokresowych łańcuchów Markowa o skończonej przestrzeni stanów
24 stycznia 2024 - łańcuch Markowa o skończonej przestrzeni stanów ma rozkład stacjonarny.
Nieprzywiedlny chwilowy łańcuch Markowa nie ma rozkładu stacjonarnego. Twierdzenie ergodyczne
dla nieprzywiedlnych, nieokresowych łańcuchów Markowa posiadających rozkład stacjonarny.