Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II rok matematyki grupa *

1. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - zdecydowanie najbliższa do programu wykładu, nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
2. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza zakres kursu
3. A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku, trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
4. Borovkov Rachunek Prawdopodobieństwa - wydaje mi się nieco "za suchy", ale poczytać nikomu nie zaszkodzi
5. inne podręczniki w języku angielskim np K.L.Chung A Course in Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne polecenia

• 14 luty 2000 - aksjomatyka Kołmogorowa, przykłady przestrzeni probabilistycznych (prawdopodobieństwo klasyczne, geometryczne, dyskretne przestrzenie probabilistyczne), dobór właściwego modelu probabilistycznego, paradoks Bertranda, język prawdopodobieństwa a teoria mnogości - interpretacja limsup i liminf, podstawowe własności prawdopodobieństwa
• 21 luty 2000 - konstruowanie nowych przestrzeni probabilistycznych - eksperyment częściowy, prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite (wzór Bayesa), produkt skończonej liczby przestrzeni probabilistycznych, schemat Bernoulliego, nieskończone produkty przestrzeni probabilistycznych, twierdzenie o przedłużaniu miary i o istnieniu produktu nieskończonego
• 28 luty 2000 - niezależność pary zdarzeń losowych/sigma ciał, niezależność rodziny zdarzeń losowych/sigma ciał, twierdzenie o systemach multyplikatywnych i jego warianty (pi-lambda układy, systemy monotoniczne), Lemat Borella-Cantelli i prawo 0-1 Kołmogorowa, definicja zmiennej losowej o wartościach w dowolnej przestrzeni mierzalnej, rzeczywiste i wektorowe zmienne losowe
• 6 marca 2000 - rozkład zmiennej losowej i dystrybuanta wektorów losowych, dystrybuanta wyznacza rozkład, przykładowe obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń za pomoca dystrybuanty, własności dystrybuanty, niezależność zmiennych losowych, warunki na rozkład i dystrybuantę równoważne niezależności, rozkłady dyskretne, podstawowe przykłady rozkładów dyskretnych - zmienne Bernoulliego, rozkład dwumianowy, geometryczny, hipergeometryczny, Poissona, rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych, rozkłady ciągłe, gęstość rozkładu
• 13 marca 2000 przegląd rozkładów ciagłych - rozkłady jednostajne, gaussowskie, Cauchy'ego, eksponencjalne, Gamma, wartość oczekiwana zmiennej losowej i jej własności, obliczanie wartości oczekiwanych dla zmiennych dyskretnych i ciągłych - przykłady, wariancja zmiennej losowej i jej własności, przykłady, inne charakterystyki rzeczywistych zmiennych losowych - mediana, momenty, nierówność Markowa i Czebyszewa, kowariancja i korelacja dwu zmiennych losowych
• 20 marca 2000 - własności kowariancji i korelacji, macierz kowariancji wektora losowego i jej własności, sumy niezależnych zmiennych losowych, przypadek dyskretny i ciągły, sploty miar, funkcji z miarą, dwu funkcji, dwu ciągów, przykłady - sumy zmiennych losowych Poissona, stabilność rozkładów gaussowskich, sploty rozkładów Gamma i Cauchy'ego, rozkład chi kwadrat o n stopniach swobody
• 27 marca 2000 - warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem zdarzenia o prawdopodobieństwie niezerowym, warunkowa wartość oczekiwana względem sigma ciała definiowego przez przeliczalny podział przestrzeni, ogólna definicja warunkowej wartości oczekiwanej względem dowolnego sigma ciała, przykłady, jednoznaczność warunkowej wartości oczekiwanej (modulo zbiory miary zero), istnienie warunkowej wartości oczekiwanej (z twierdzenia Radona-Nikodyma), najprostsze własności warunkowej wartości oczekiwanej
• 3 kwietnia 2000 - Dalsze własności warunkowej wartości oczekiwanej, w tym nierówność Jensena oraz twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem warunkowej wartości oczekiwanej (odpowiednie wersje twierdzeń Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej i Lematu Fatou), warunkowa wartość oczekiwana jako rzut ortogonalny w L^2, warunkowa wartość oczekiwana jednej zmiennej względem drugiej - krzywa regresji, prawdopodobieństwo warunkowe, regularny rozkład warunkowy - definicja.
• 10 kwietnia 2000 - Istnienie regularnego rozkładu warunkowego dla prawdopodobieństw na prostej, warunkowa wartość oczekiwana jako całka zmiennej względem regularnego rozkładu warunkowego. Przegląd nierówności: nierowność Jensena, Holdera, Cauchy-Buniakowskiego-Schwarza, Lyapunowa (o monotoniczności p-tych momentów), średnia arytmetyczna jest większa od średniej geometrycznej, nierówność Minkowskiego. Zbieżność zmiennych losowych - prawie na pewno, według prawdopodobieństwa, według p-tego momentu, implikacje między trzema typami zbieżności.
• 17 kwietnia 2000 - silna zbieżność, każdy ciąg zmiennych losowych zbieżnych według prawdopodobieństwa ma podciąg silnie zbieżny, a więc zbieżny prawie na pewno. Sumy losowe, warunek równoważny zbieżnośći prawie wszędzie szeregu losowego, nierówności maksymalnego: Levy'ego-Octavianiego, Levy'ego, Kołmogorowa, odwrotna nierówność maksymalna Kołmogorowa.
• 8 maja 2000 - twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach, warunek równoważny zbieżności sum niezależnych zmiennych symetrycznych, losowe szeregi Taylora o współczynnikach niezależnych symetrycznych mają deterministyczny obszar holomorficznośći, słabe prawa wielkich liczb, wielomiany Bernsteina
• 15 maja 2000 - Silne prawo wielkich liczb i zastosowania - prawdopodobieństwo zdarzenia jako granica częstości, liczby normalne, twierdzenie Gliwienki-Cantelli o zbieżności dystrybuanty empirycznej
• 22 maja 2000 - Proces Poissona - definicja i podstawowe własności trajektorii przy założeniu prawostronnej ciągłosći, konstrukcja procesu Poissona