Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa III rok matematyki grupa *

1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prwadopodobieństwa - bardzo bliski do programu wykładu, nowocześnie napisany, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - bardzo bliski do programu wykładu, nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału znacznie wykraczajaca poza zakres kursu
4. A.N.Shiryayev Veroyatnost, jest też przekład angielski Probability - dobrze napisany, nowoczesny podręcznik do rachunku, trochę zadań, nie ma niestety przekładu polskiego
5. Borovkov Rachunek Prawdopodobieństwa - wydaje mi się nieco "za suchy", ale poczytać nikomu nie zaszkodzi
6. inne podręczniki w języku angielskim np K.L.Chung A Course in Probability Theory lub M.Loeve Probability Theory - oba godne polecenia

• 9 października 2000 - słaba zbieżność miar probabilistycznych na przestrzeniach metrycznych, warunki równoważne, zbieżność zmiennych według rozkładu, równoważność z punktową zbieżnością dystrybuant dla zmiennych rzeczywistych
• 16 października 2000 - Ciasność rodziny rozkładów probabilistycznych, twierdzenie Prochorowa na prostej, funkcje charakterystyczne - definicja i podstawowe własnośći, funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego, pochodne funkcji charakterystycznej a momenty.
• 23 października 2000 - funkcja charakterystyczna sum niezależnych zmiennych losowych, funkcja charakterystyczna wyznacza rozkład, twierdzenie Levy'ego-Cramera, wielowymiarowe funkcje charakterystyczne, jak z funkcji charakterystycznej odczytać niezależność, sprowadzenie zbieżności rozkładów wielowymiarowych do zbieżności rozkładów jednowymiarowych
• 30 października 2000 - centralne twierdzenie graniczne dla zmiennych o jednakowym rozkładzie, układy trójkątne, warunek Lindenberga, centralne twierdzenie graniczne w wersji Lindenberga, twierdzenie Fellera o konieczności warunku Lindenberga.
• 6 listopada 2000 - wielowymiarowe rozkłady gaussowskie - równoważność trzech definicji, związek wartości oczekiwanej i kowariancji z funkcją charakterystyczną, nieskorelowanie równoważne niezależności dla zmiennych gaussowskich, wielowymiarowe centralne twierdzenie graniczne, alternatywny dowód centralnego twierdzenia granicznego bez użycia funkcji charakterystycznych.
• 13 listopada 2000 - filtracje, momenty zatrzymania, zmienne adaptowalne do filtracji, sigma ciało F_tau zdarzeń obserwowalnych do momentu zatrzymania tau, zatrzymane zmienne losowe, tożsamość Walda, martyngały, podmartyngały i nadmartyngały - definicje i przykłady, transformata martyngałowa
• 20 listopada 2000 - Twierdzenie Dooba (Optional sampling) i przykładowe zastosowania do bładzenia symetrycznego, przejścia w górę przez przedział, twierdzenie o zbieżności p.w. nadmartyngałów, przykładowe zastosowanie - funkcje Lipschitzowskie są całkami funkcji ograniczonych
• 27 listopada 2000 - nierówność maksymalna Dooba, jednostajna całkowalność zmiennych losowych, równoważna definicja, przykłady rodzin jednostajnie całkowalnych, zbieżność w L^p a jednostajna całkowalność, twierdzenia o zbieżności martyngałów w L^1 i L^p, zbieżność martyngałów z czasem odwróconym
• 4 grudnia 2000 - martyngałowy dowód twierdzenia Radona-Nikodyma (z użyciem podstawowych faktów o zbieżności ciągów uogólnionych), łańcuchy Markowa, definicja, rozkład początkowy i macierz przejścia w n-tym kroku, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności.
• 11 grudnia 2000 - jednorodne łańcuchy Markowa, rodzina prawdopodobieństw P_x indeksowana przez stan początkowy, faktoryzacja niektórych prawdopodobieństw i przykładowe zastosowania, klasyfikacja stanów, łańcuchy nieprzywiedlne, stany chwilowe i powracające, kryterium powracalności, błądzenie symetryczne w Z^k jest powracalne wtedy i tylko wtedy gdy k<=2.
• 18 grudnia 2000 - rozkład łańcucha na stany chwilowe i zamknięte nieprzywiedlne zbiory stanów powracalnych, stany i łańcuchy okresowe, rozkład stacjonarny, przykłady, ergodyczność nieokresowych nieprzywiedlnych łańcuchów Markowa o skończonej przestrzeni stanów, istnienie rozkładu stacjonarnego dla dowolnego łańcucha Markowa o skończonej przestrzeni stanów.
• 8 stycznia 2001 - prawdopodobieństwo i średni czas dojścia do ustalonego podzbioru stanów. Proces Wienera - motywacja, definicja, jedyność procesu Wienera jako odpowiednio unormowanego procesu o przyrostach niezależnych i stacjonarnych (przy założeniu istnienia czwartych momentów).
• 15 stycznia 2001 - procesy gaussowskie, funkcja średniej i kowariancji procesu, proces Wienera jako proces gaussowski o ciągłych trajektoriach, średniej zero i kowariancji min(t,s), układ Haara i Schaudera, konstrukcja procesu Wienera za pomocą układu Haara, nieróżniczkowalność prawie wszystkich trajektorii procesu Wienera.