Wykład z Procesów Stochastycznych I, III-V rok matematyki

• Przestrzeń probabilistyczna - aksjomaty i własności prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe
• Lemat o pi-lambda systemach (lub jakaś jego wersja np o systemach multyplikatywnych)
• Niezależność zdarzeń, sigma-ciał, zmiennych losowych, Lemat Borella-Cantelliego
• Zmienne losowe - dystrybuanta, rozkład, sigma-ciało generowane przez zmienne losowe
• Podstawowe rozkłady ciągłe i dyskretne - Poissona, jednostajny, eksponencjalny, normalny
• Sumowanie niezależnych zmiennych losowych, związki ze splotem, sumowanie zmiennych Poissona i normalnych
• Wartość oczekiwana, wariancja, korelacja
• Warunkowa wartość oczekiwana - podstawowe własności
• Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych - według prawdopodobieństwa, prawie na pewno, według rozkładu
• Nierówności Czebyszewa i Markowa
• Silne Prawo Wielkich Liczb
• Funkcje charakterystyczne, twierdzenie Levy'ego
• Centralne Twierdzenie Graniczne, najlepiej z warunkiem Lindeberga
• Podstawowe wiadomości o martyngałach i łańcuchach Markowa

• wtorki 8.30-10.00 s.2100 Rafał Latała
• wtorki 10.15-11.45 s.3120 Rafał Latała
• czwartki 14.15-15.45 s.2100 Piotr Miłoś
• piątki 8.30-10.00 s.3240 Adam Osękowski

• Książki z teorii procesów
  1. A.D.Wentzell Wykłady z teorii procesów stochastycznych - wydaje się, że najlepszy podrecznik dostępny w jezyku polskim, zbliżony do wykładu, choć omijajacy niektóre tematy, sporo zadań
  2. I.Karatzas, S.Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus - dobry i przystępnie napisany podręcznik, obszerny, ale zawierajacy materiał obowiązkowy dla każdego pragnącego zajmować się na poważniej procesami
  3. D.Revuz, M.Yor Continuous Martingales and Brownian Motion - coś dla twardzieli
• Książki z rachunku prawdopodobieństwa (o procesach tam raczej niewiele, ale warto sobie przypomniec co nieco z rachunku)
  1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - nowocześnie i bardzo dobrze napisany podręcznik do rachunku, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
  2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
  3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału dotyczy procesów stochastycznych, ale raczej nie pokrywa się z programem wykładu

• 22 lutego 2006. Definicja procesu Poissona. Własności trajektorii. Motywacja. Konstrukcja procesu Poissona. Złożony proces Poissona. Charakteryzacja procesu Poissona (bez dowodu).
• 1 marca 2006. Definicja procesu Wienera. Nieróżniczkowalność trajektorii. Charakteryzacja procesu Wienera. Rozkłady skończenie wymiarowe procesu stochastycznego. Zbiory cylindryczne i sigma ciało przez nie generowane.
• 8 marca 2006. Rozkłady skończenie wymiarowe procesu. Warunki zgodności. Twierdzenie o istnieniu procesu o ustalonych rozkładach skończenie wymiarowych spełniających warunki zgodności. Przykłady zastosowań.
• 15 marca 2006. Procesy nierozróżnialne i stochastycznie równoważne, dowolne dwa stochastycznie równoważne procesy o prawostronnie ciągłych trajektoriach są nierozróżnialne. Twierdzenie o ciągłej modyfikacji procesu, istnienie procesu Wienera.
• 22 marca 2006. Wielowymiarowe zmienne gaussowskie - trzy równoważne definicje, funkcja kowariancji i wartości średniej procesu, procesy gaussowskie, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozkładu procesu gaussowskiego, charakteryzacja procesu Wienera.
• 29 marca 2006. Filtracje i momenty zatrzymania z czasem ciągłym - podstawowe definicje i przykłady. Prawostronna ciągłość filtracji. Adaptowalność i progresywna mierzalność procesów, równoważność tych pojęć dla procesów o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Martyngały, podmartyngały i nadmartyngały z czasem ciągłym - definicje i przykłady, funkcja wypukła od martyngału jest podmartyngałem.
• 5 kwietnia 2006. Funkcja (nad,pod) harmoniczna od wielowymiarowego procesu Wienera jest (nad,pod) martyngałem. Optional sampling w przypadku skończonym, oszacowania ogonów maksimów i minimów skończonych podmartyngałów. Nierówność maksymalna Dooba dla martyngałów prawostronnie ciągłych. Przykład zastosowania - oszacowanie supremum procesu Wienera, prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera.
• 12 kwietnia 2006. Dokończenie dowodu prawa iterowanego logarytmu. Przejścia w dół funkcji przez przedział. Oszacowanie Dooba na liczbę przejść w dół przez przeliczalny podmartyngał, Twierdzenia o zbieżności podmartyngałów - przypadek czasu dyskretnego oraz ciągłego przy założeniu prawostronnej ciągłości.
• 26 kwietnia 2006. Jednostajna całkowalność rodzin zmiennych losowych - przykłady - rodzina jednostajnie zmajoryzowana przez zmienną całkowalną, rodzina warunkowych wartości oczekiwanych ustalonej zmiennej losowej, podmartyngał z czasem odwróconym z ograniczoną z dołu wartością oczekiwaną, zbieżność wg prawdopodobieństwa i jednostajna całkowalność implikuje zbieżność w L^1, optional sampling dla czasu ciągłego. Twierdzenie o istnieniu modyfikacji PCLG podmartyngału (przy założeniu zwykłych warunków na filtrację), zbieżność prawostronnie ciągłych martyngałów w L^1 i L^p.
• 9 maja 2006. Procesy Markowa - definicja i jej rownoważne formy, funkcja przejścia, funkcja przejścia dla procesu Markowa. Dwie klasy przykładów - macierze przejścia (w przypadku dyskretnej przestrzeni stanów) i gęstości przejścia. Kryterium kiedy dany proces jest procesem Markowa z ustaloną funkcją przejścia. Rodziny Markowa - definicja, różne formy własności Markowa.
• 16 maja 2006. Charakteryzacja rodzin Markowa poprzez rozkłady skończenie wymiarowe. Równanie Chapmana-Kołmogorowa, przykłady w przypadku dyskretnym i dla gęstości przejścia. Twierdzenie o istnieniu rodziny Markowa z zadaną funkcją przejścia spełniającą równanie Chapmana-Kołmogorowa.
• 23 maja 2006. Jednorodne funkcje przejścia. Półgrupy operatorów związane z jednorodnymi procesami Markowa - definicja i podstawowe własności. Przestrzeń C_0 - funkcji ciągłych zbieżnych do 0 w nieskończoności, fellerowskie rodziny Markowa. Stacjonarne procesy Markowa, miary i rozkłady niezmiennicze.
• 30 maja 2006. Mocna własność Markowa - wprowadzenie i formalna definicja. Procesy Markowa z czasem dyskretnym mają mocną własność Markowa. Przykład procesu bez mocnej własności Markowa. Proces Markowa o prawostronnie ciągłych trajektoriach generujący półgrupę zachowującą funkcje ciągłe ograniczone ma mocną własność Markowa.
• 7 czerwca 2006. Operatory infinitezymalne - definicja i przykłady. Przestrzeń F_0 i C_0 półgrupy. Różniczkowalność P^t na D_A. Zasada maksimum. Związek z równaniami różniczkowymi.