Wykład z Procesów Stochastycznych III-V rok matematyki

• Przestrzeń probabilistyczna - aksjomaty i własności prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe
• Lemat o pi-lambda systemach (lub jakaś jego wersja np o systemach multyplikatywnych)
• Niezależność zdarzeń, sigma-ciał, zmiennych losowych, Lemat Borella-Cantelliego
• Zmienne losowe - dystrybuanta, rozkład, sigma-ciało generowane przez zmienne losowe
• Podstawowe rozkłady ciągłe i dyskretne - Poissona, jednostajny, eksponencjalny, normalny
• Sumowanie niezależnych zmiennych losowych, związki ze splotem, sumowanie zmiennych Poissona i normalnych
• Wartość oczekiwana, wariancja, korelacja
• Warunkowa wartość oczekiwana - podstawowe własności
• Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych - według prawdopodobieństwa, prawie na pewno, według rozkładu
• Nierówności Czebyszewa i Markowa
• Silne Prawo Wielkich Liczb
• Funkcje charakterystyczne, twierdzenie Levy'ego
• Centralne Twierdzenie Graniczne, najlepiej z warunkiem Lindeberga
• Podstawowe wiadomości o martyngałach i łańcuchach Markowa

• poniedziałki 8.30-10.00 s.3230 Rafał Latała
• wtorki 8.30-10.00 s.3230 Rafał Latała
• środy 8.30-10.00 s.3160 prof. Tomasz Bojdecki

• Książki z teorii procesów
  1. A.D.Wentzell Wykłady z teorii procesów stochastycznych - wydaje się, że najlepszy podrecznik dostępny w jezyku polskim, zbliżony do wykładu, choć omijajacy niektóre tematy, sporo zadań
  2. I.Karatzas, S.Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus - dobry i przystępnie napisany podręcznik, obszerny, ale zawierajacy materiał obowiązkowy dla każdego pragnącego zajmować się na poważniej procesami
  3. D.Revuz, M.Yor Continuous Martingales and Brownian Motion - coś dla twardzieli
• Książki z rachunku prawdopodobieństwa (o procesach tam raczej niewiele, ale warto sobie przypomniec co nieco z rachunku)
  1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - nowocześnie i bardzo dobrze napisany podręcznik do rachunku, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
  2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
  3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału dotyczy procesów stochastycznych, ale raczej nie pokrywa się z programem wykładu

• 10 luty 2003 Definicja procesu Poissona i Wienera, konstrukcja procesu Poissona z dowodem poprawności.
• 17 luty 2003 Trajektorie procesu Wienera są z prawdopodobieństwem 1 nieróżniczkowalne w żadnym punkcie, sigma ciało zbiorów cylindrycznych, rozkład procesu, rozkłady skończenie wymiarowe, warungi zgodności, twierdzenie o istnieniu procesu o ustalonych rozkładach skończenie wymiarowych spełniających warunki zgodności.
• 24 luty 2003 Przykłady zastosowania twierdzenia o istnieniu procesu, Procesy nierozróżnialne i stochastycznie równoważne, dowolne dwa stochastycznie równoważne procesy o prawostronnie ciągłych trajektoriach są nierozróżnialne. Twierdzenie o ciągłej modyfikacji procesu, istnienie procesu Wienera
• 3 marca 2003 Wielowymiarowe zmienne gaussowskie - trzy równoważne definicje, funkcja kowariancji i wartości średniej procesu, procesy gaussowskie, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozkładu procesu gaussowskiego, charakteryzacja procesu Wienera
• 10 marca 2003 Filtracje i momenty zatrzymania - podstawowe definicje i przykłady. Adaptowalność i progresywna mierzalność procesów, równoważność tych pojęć dla procesów o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Martyngały, podmartyngały i nadmartyngały z czasem ciągłym - definicje i przykłady, funkcja wypukła od martyngału jest podmartyngałem.
• 17 marca 2003 funkcja (nad,pod) harmoniczna od wielowymiarowego procesu Wienera jest (nad,pod) martyngałem, optional sampling w przypadku skończonym, oszacowania ogonów maksimów i minimów skończonych podmartyngałów, Nierówność maksymalna Dooba dla martyngałów prawostronnie ciągłych, przykład zastosowania - oszacowanie supremum procesu Wienera, przejścia w dół funkcji przez przedział.
• 24 marca 2003 Oszacowanie Dooba na liczbę przejść w dół przez przeliczalny podmartyngał, Twierdzenia o zbieżności podmartyngałów - przypadek czasu dyskretnego oraz ciągłego przy założeniu prawostronnej ciągłości, jednostajna całkowalność rodzin zmiennych losowych - przykłady - rodzina jednostajnie zmajoryzowana przez zmienną całkowalną, rodzina warunkowych wartości oczekiwanych ustalonej zmiennej losowej, podmartyngał z czasem odwróconym z ograniczoną z dołu wartością oczekiwaną, zbieżność wg prawdopodobieństwa i jednostajna całkowalność implikuje zbieżność w L^1, optional sampling dla czasu ciągłego.
• 31 marca 2003 Twierdzenie o istnieniu modyfikacji PCLG podmartyngału (przy założeniu zwykłych warunków na filtrację), zbieżność prawostronnie ciągłych martyngałów w L^1 i L^p. Procesy Markowa - definicja i jej rownoważne formy, funkcja przejścia, funkcja przejścia dla procesu Markowa, dwie klasy przykładów - macierze przejścia (w przypadku dyskretnej przestrzeni stanów) i gęstości przejścia, kryterium kiedy dany proces jest procesem Markowa z ustaloną funkcją przejścia.
• 7 kwietnia 2003 Rodziny Markowa - definicja, różne formy własności Markowa, charakteryzacja rodzin Markowa poprzez rozkłady skończenie wymiarowe.
• 14 kwietnia 2003 Równanie Chapmana-Kołmogorowa, przykłady w przypadku dyskretnym i dla gęstości przejścia, twierdzenie o istnieniu rodziny Markowa z zadaną funkcją przejścia spełniającą równanie Chapmana-Kołmogorowa
• 28 kwietnia 2003 Jednorodne funkcje przejścia, operatory translacji, niezależność pewnych przekształceń od wyboru operatora translacji, definicja jednorodnych rodzin Markowa i twierdzenie o istnieniu. Półgrupy operatorów związane z jednorodnymi procesami Markowa - definicja i podstawowe własności, przestrzeń C_0 - funkcji ciągłych zbieżnych do 0 w nieskończoności, fellerowskie rodziny Markowa.
• 5 maja 2003 Przykład niefellerowskiej rodziny Markowa, półgrupy zachowujące jedynkę, twierdzenie Riesza o reprezentacji (bez dowodu), charakteryzacja półgrup na C_0 pochodzących od fellerowskich rodzin Markowa. Mocna własność Markowa - wprowadzenie i formalna definicja.
• 12 maja 2003 Procesy Markowa z czasem dyskretnym mają mocną własność Markowa, przykład procesu bez mocnej własności Markowa, proces Markowa o prawostronnie ciągłych trajektoriach generujący półgrupę zachowującą funkcje ciągłe ograniczone ma mocną własność Markowa, definicja operatora infinitezymalnego (generatora) półgrupy
• 19 maja 2003 Przykłady operatorów infinitezymalnych, podprzestrzeń F_0, C_0 półgrupy, ciągłość P^t na F_0, różniczkowalność P^t na D(A), rezolwenta, związek rezolwenty z generatorem, twierdzenie Hille'a-Yosidy (z dowodem w jedną stronę).