Wykład z Procesów Stochastycznych III-V rok matematyki

• Przestrzeń probabilistyczna - aksjomaty i własności prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe
• Lemat o pi-lambda systemach (lub jakaś jego wersja np o systemach multyplikatywnych)
• Niezależność zdarzeń, sigma-ciał, zmiennych losowych, Lemat Borella-Cantelliego
• Zmienne losowe - dystrybuanta, rozkład, sigma-ciało generowane przez zmienne losowe
• Podstawowe rozkłady ciągłe i dyskretne - Poissona, jednostajny, eksponencjalny, normalny
• Sumowanie niezależnych zmiennych losowych, związki ze splotem, sumowanie zmiennych Poissona i normalnych
• Wartość oczekiwana, wariancja, korelacja
• Warunkowa wartość oczekiwana - podstawowe własności
• Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych - według prawdopodobieństwa, prawie na pewno, według rozkładu
• Nierówności Czebyszewa i Markowa
• Silne Prawo Wielkich Liczb
• Funkcje charakterystyczne, twierdzenie Levy'ego
• Centralne Twierdzenie Graniczne, najlepiej z warunkiem Lindeberga
• Podstawowe wiadomości o martyngałach i łańcuchach Markowa

• poniedziałki 8.30-10.00 s.3240 dr Rafał Latała
• środy 8.30-10.00 s.3230 prof. Tomasz Bojdecki
• środy 16.15-18.00 s.3240 dr Anna Talarczyk

• Książki z teorii procesów
  1. A.D.Wentzell Wykłady z teorii procesów stochastycznych - wydaje się, że najlepszy podrecznik dostępny w jezyku polskim, zbliżony do wykładu, choć omijajacy niektóre tematy, sporo zadań
  2. I.Karatzas, S.Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus - dobry i przystępnie napisany podręcznik, obszerny, ale zawierajacy materiał obowiązkowy dla każdego pragnącego zajmować się na poważniej procesami
  3. D.Revuz, M.Yor Continuous Martingales and Brownian Motion - coś dla twardzieli
• Książki z rachunku prawdopodobieństwa (o procesach tam raczej niewiele, ale warto sobie przypomniec co nieco z rachunku)
  1. J.Jakubowski, R.Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - nowocześnie i bardzo dobrze napisany podręcznik do rachunku, wiele ciekawych zadań o zróżnicowanym stopniu trudności
  2. P.Billingsley Prawdopodobieństwo i miara - nowoczesny język, bardzo dobrze napisana, ciekawe zadania
  3. W.Feller Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa t.I i II - szczególnie godny polecenia tom II, czyta się momentami z trudnością, ale lektura warta wysiłku, spora część materiału dotyczy procesów stochastycznych, ale raczej nie pokrywa się z programem wykładu

• 12 luty 2002 Definicja procesu Poissona i Wienera, konstrukcja procesu Poissona z dowodem poprawności.
• 19 luty 2002 Trajektorie procesu Wienera sa nigdzie nie różniczkowalne, rozkłady skończenie wymiarowe procesów, zbiory cylindryczne, rozkład procesu stochastycznego, jednoznaczność rozkładu przy zadanych rozkładach skończenie wymiarowych, warunki zgodności, twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu.
• 26 luty 2002 Przykłady na twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu, modyfikacja procesu, procesy nierozróżnialne, nierozróznialność prawostronnie ciągłych modyfikacji, twierdzenie Kołmogorowa o ciągłej (Hoelderowskiej) modyfikacji procesu, istnienie procesu Wienera.
• 5 marzec 2002 Uwagi do twierdzenia Kołmogorowa o ciągłej modyfikacji, lokalna Hoelderowskość procesu Wienera, wielowymiarowe zmienne gaussowskie - równoważność różnych definicji, niezależność a nieskorelowanie zmiennych gaussowskich, sformułowanie wielowymiarowego Centralnego Twierdzenia Granicznego, wartość średnia i funkcja kowariancji procesu, procesy gaussowskie, istnienie i jednoznaczność rozkładu procesu gaussowskiego o zadanej wartości średniej i funkcji kowariancji, jeszcze jedna definicja procesu Wienera, sigma ciało generowane przez proces, niezależnośc procesów, definicja d-wymiarowego procesu Wienera.
• 12 marzec 2002 Filtracja, sigma ciało generowane przez proces moment zatrzymania, sigma ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili tau, pierwszy moment dojścia do zbioru - czy musi być to moment zatrzymania?, różne operacje na momentach zatrzymania, adaptowalność i progresywna mierzalność procesu, proces adaptowalny o prawostronnie ciągłych trajektoriach jest progresywnie mierzalny, proces zatrzymany w chwili tau. Martyngały, podmartyngały, nadmartyngały - definicja i przykłady.
• 19 marzec 2002 Funkcja wypukła od martyngału jest podmartyngałem, funkcja (nad,pod) harmoniczna od wielowymiarowego procesu Wienera jest (nad,pod) martyngałem, optional sampling w przypadku skończonym, oszacowania ogonów maksimów i minimów skończonych podmartyngałów, Nierówność maksymalna Dooba dla martyngałów prawostronnie ciągłych, przykład zastosowania - oszacowanie supremum procesu Wienera, przejścia w dół funkcji przez przedział, oszacowanie Dooba na liczbę przejść w dół przez przeliczalny podmartyngał
• 26 marzec 2002 Twierdzenia o zbieżności podmartyngałów - przypadek czasu dyskretnego oraz ciągłego przy założeniu prawostronnej ciągłości, jednostajna całkowalność rodzin zmiennych losowych - przykłady - rodzina jednostajnie zmajoryzowana przez zmienną całkowalną, rodzina warunkowych wartości oczekiwanych ustalonej zmiennej losowej, podmartyngał z czasem odwróconym z ograniczoną z dołu wartością oczekiwaną, zbieżność wg prawdopodobieństwa i jednostajna całkowalność implikuje zbieżność w L^1, optional sampling dla czasu ciągłego, twierdzenie o istnieniu modyfikacji PCLG podmartyngału (przy założeniu zwykłych warunków na filtrację).
• 9 kwietnia 2002 Zbieżność prawostronnie ciągłych martyngałów w L^1 i L^p. Procesy Markowa - definicja i jej rownoważne formy, funkcja przejścia, funkcja przejścia dla procesu Markowa, dwie klasy przykładów - macierze przejścia (w przypadku dyskretnej przestrzeni stanów) i gęstości przejścia, kryterium kiedy dany proces jest procesem Markowa z ustaloną funkcją przejścia, ogólna definicja procesu Markowa dla dowolnej filtracji.
• 16 kwietnia 2002 Definicja rodzin Markowa, różne formy własności Markowa dla rodzin Markowa, skończenie wymiarowe rozkłady wyznaczone przez rodzinę Markowa, równoważność własności Markowa z odpowiednią postacią skończenie wymiarowych rozkładów, równania Chapmana-Kołmogorowa, zgodność miar probabilistycznych będących potencjalnymi rozkładami rodziny Markowa przy założeniu równania Chapmana-Kołmogorowa.
• 23 kwietnia 2002 Twierdzenie o istnieniu rodziny Markowa o zadanej funkcji przejścia spełniającej równanie Chapmana-Kołmogorowa, jednorodne funkcje przejścia, operatory translacji, jednoznaczność przeciwobrazów zbiorów z odpowiednich sigma ciał przy operatorze translacji, rozkłady w czasie 0 wyznaczają rozkłady w czasie s dla rodzin Markowa z jednorodną funkcją przejścia, definicja jednorodnej rodziny Markowa, twierdzeniu o istnieniu jednorodnej rodziny Markowa z zadaną jednorodną funkcją przejścia spełniającą równanie Chapmana-Kołmogorowa, uwaga, że własność Markowa można wyrazić przy pomocy operatora translacji. Przestrzenie funkcji mierzalnych ograniczonych B(E) i miar ze znakiem M(E). Półgrupa operatorów kontrakcji generowana przez rodzinę Markowa.
• 30 kwietnia 2002 Własności półgrup operatorowych generowanych przez rodzinę Markowa na B(E) i M(E). Związek między tymi półgrupami i naturalna interpretacja półgrupy na M(E). Przykłady - proces Wienera i przeliczalna przestrzeń stanów. Przestrzeń funkcji znikających w nieskończoności C_{0}(E).Fellerowskie rodziny Markowa - definicje i przykłady. Twierdzenie Riesza o reprezentacji. Charakteryzacja półgrup na C_{0}(E) generowanych przez Fellerowskie rodziny Markowa. Wprowadzenie do mocnej własności Markowa.
• 7 maja 2002 Mocna własność Markowa, równoważne sformułowania, łańcuchy Markowa mają mocną własność Markowa, przykład zastosowania mocnej własności Markowa, przykład procesu nie posiadającego mocnej własności Markowa, mocna własność Markowa w terminach operatora translacji
• 14 maja 2002 Rodziny Markowa o prawostronnie ciągłych trajektoriach, dla których półgrupa zachowuje funkcje ciągłe ograniczone ma mocną własność Markowa, Prawo 0-1 Blumenthala, stacjonarne procesy Markowa i miary niezmiennicze. Generator (operator infinitezymalny) półgrupy, przykłady (półgrupa e^tA, generator dla deterministycznego przesunięcia w prawo i dla procesu Wienera)
• 29 maja 2002 Podprzestrzen F_{0} elementów F dla których półgrupa jest mocno ciągła w 0, mocna ciągłość półgrupy na F_{0}, ciągła różniczkowalność półgrupy dla elementów z dziedziny operatora, wzór na różniczkę, zasada maksimum dla półgrup generowanych przez rodziny Markowa, rezolwenta półgrupy, rezolwenta dla półgrupy związanej z procesem Wienera, równanie rezolwenty, związek rezolwenty z generatorem, gęstość dziedziny generatora w F_{0}, twierdzenie Hille'a-Yosidy.