Wykład z Procesów Stochastycznych 2 III-V rok matematyki

• Przestrzeń probabilistyczna - aksjomaty i własności prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe
• Lemat o pi-lambda systemach (lub jakaś jego wersja np o systemach multyplikatywnych)
• Niezależność zdarzeń, sigma-ciał, zmiennych losowych, Lemat Borella-Cantelliego
• Zmienne losowe - dystrybuanta, rozkład, sigma-ciało generowane przez zmienne losowe
• Podstawowe rozkłady ciągłe i dyskretne - Poissona, jednostajny, eksponencjalny, normalny
• Sumowanie niezależnych zmiennych losowych, związki ze splotem, sumowanie zmiennych Poissona i normalnych
• Wartość oczekiwana, wariancja, korelacja
• Warunkowa wartość oczekiwana - podstawowe własności
• Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych - według prawdopodobieństwa, prawie na pewno, według rozkładu
• Nierówności Czebyszewa i Markowa
• Silne Prawo Wielkich Liczb
• Funkcje charakterystyczne, twierdzenie Levy'ego
• Centralne Twierdzenie Graniczne, najlepiej z warunkiem Lindeberga
• Definicja i własności procesu Wienera i Poissona
• Filtracje, momenty zatrzymania etc
• Martyngały z czasem ciągłym i dyskretnym - nierówności maksymalne, twierdzenia o zbieżności prawie na pewno i w L^p
• Definicja i własności procesów Markowa
• Mocna własność Markowa, zasada odbicia
• Półgrupy generowane przez jednorodne procesy Markowa

• 6 października 2003 Funkcje o wahaniu skończonym - przykłady, twierdzenie o reprezentacji, całka Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue'a-Stieltjesa, całka Paleya-Wienera z funkcji deterministycznych z L^{2} względem procesu Wienera, przestrzeń M^{2,c}_{T} - martyngałów ciągłych na [0,T] całkowalnych z kwadratem, dowód zupełności.
• 7 października 2003 Procesy elementarne, definicja izometrycznej całki Ito. Zbiory i procesy prognozowalne, przestrzeń całkowalnych z kwadratem (jako funkcja dwu zmiennych) procesów elementarnych jako domknięcie procesów elementarnych w normie L^{2}
• 14 października 2003 Twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej, uogólniona definicja całki stochastycznej - poprawność i jednoznaczność definicji, niezależność definicji od wyboru ciągu momentów zatrzymania
• 21 października 2003 Liniowość uogólnionej całki stochastycznej, nierówność Dooba dla całki stochastycznej. Twierdzenie Dooba-Meyera o rozkładzie kwadratu martyngału ciągłego, izometryczna całka stochastyczna względem martyngałów ciągłych całkowalnych z kwadratem, twierdzenie o zbieżności wariacji kwadratowej martyngałów
• 28 października 2003 Nawias skośny dla ciągłych martyngałów lokalnych i zbieżność wariacji kwadratowej do nawiasu według prawdopodobieństwa, całka stochastyczna względem ciągłych martyngałów lokalnych, nawias skośny dla dwu ciągłych martyngałów lokalnych
• 4 listopada 2003 Podstawowe własności nawiasu skośnego, wzór na całkowanie względem całki stochastycznej, twierdzenia o całkowaniu przez części (dla iloczynu dwu ciągłych martyngałów lokalnych, martyngału lokalnego i procesu o wariacji skończonej i dwu procesów o wariacji skończonej), twierdzenie o zbieżności zmajoryzowanej dla całki stochastycznej.
• 18 listopada 2003 Definicja ciągłych semimartyngałów - jednoznaczność rozkładu, całka względem semimartyngału. Iloczyn semimartyngałów jest semimartyngałem. Wzór Ito na funkcję klasy C^2 od semimartyngału ciągłego. Wielowymiarowa wersja wzoru Ito.
• 25 listopada 2003 Twierdzenie Levy'ego o charakteryzacji procesu Wienera jako ciągłego martyngału lokalnego z nawiasem skośnym równym t. Charakteryzacja procesu Wienera za pomocą martyngałów eksponencjalnych. Stochastyczne równania różniczkowe - sformułowanie zagadnienia.
• 2 grudnia 2003 Generator procesu Markowa będącego rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego (procesu dyfuzji). Twierdzenie o jednoznaczności (silnego) rozwiązania i o istnieniu rozwiązania w przypadku Lipschitzowskim. Metoda kolejnych przybliżeń.
• 9 grudnia 2003 Twierdzenie o mierzalności względem czasu i warunku początkowego rozwiązania stochastycznego równania rózniczkowego ze współczynnikami Lipschitzowskimi. Markowskość rozwiązana w przypadku Lipschitzowskim. Niejednorodne i wielowymiarowe stochastyczne równania rózniczkowe - sformułowanie zagadnienia, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania w przypadku Lipschitzowskim. Postać generatora dyfuzji w przypadku wielowymiarowym.
• 16 grudnia 2003 Twierdzenie Girsanowa - motywacja (wersja dyskretna), martyngał lokalny Z_t związany z przesuniętym procesem Wienera, kryterium kiedy Z_t jest martyngałem, twierdzenie Girsanowa w przypadku jedno i wielo wymiarowym z T skończonym. Postać twierdzenia Girsanowa dla T nieskończonego. Przykład - czas dojścia do ustalonego punktu przez proces Wienera z dryfem.
• 6 stycznia 2004 Słabe i mocne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych - podstawowe definicje, jednoznaczność rozwiązań w sensie rozkładu i trajektorii, kiedy słabe rozwiązanie nazywamy mocnym, istnienie i jednoznaczność rozwiązań dla współczynników Lipschitzowskich, przykład Tanaki - równanie posiadające słabe rozwiązanie i nie posiadające mocnego, z jednoznacznością w sensie rozkładu, ale nie w sensie trajektorii, czas lokalny procesu Wienera w zerze - wzór Tanaki, podstawowe własności
• 13 stycznia 2004 Różne różności