Wykład Miary i Procesy Gaussowskie

[Strona główna] [Dydaktyka główna] [Wydział]

Wykład monograficzny "Miary i Procesy Gaussowskie"

Zmienne i procesy gaussowskie zawsze odgrywały centralną rolę w rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowaniach. Współczesna teoria miar gaussowskich łączy metody wzięte z rachunku prawdopodobieństwa, analizy, geometrii i topologii i jest ściśle związana z licznymi zastosowaniami w analizie funkcjonalnej, geometrii wypukłej, fizyce statystycznej, matematyce finansowej, kombinatoryce i innych dziedzinach.
Podczas wykładu skoncentrujemy się nad omówieniem nierówności dotyczących miar gaussowskich, o geometrycznym w większości charakterze. Zaczniemy od prezentacji wyników związanych z izoperymetrią gaussowską i koncentracją miary. W szczególności przedstawimy odkryte w dużym stopniu w ostatnich latach związki między rozmaitymi analitycznymi równoważnymi formami i konsekwencjami izoperymetrii (nierówności Bobkowa i Ehrharda, nierówności różniczkowe Poincare i logarytmiczne Sobolewa). W dalszej części przejdziemy do nierówności dotyczących miar gaussowskich zbiorów wypukłych i symetrycznych. Przedstawimy zarówno wyniki z ostatnich lat (S-nierówność, B-nierówność) jak i otwarty problem hipotezy korelacyjnej oraz pewne częściowe rezultaty z nim związane. W ostatniej części wykładu omówimy nierówności dotyczące porównywania i regularności procesów gaussowskich. W szczególności przedstawimy dowód fundamentalnego twierdzenia Fernique'a-Talagranda o mierze majoryzującej. Jeśli czas pozwoli przedyskutujemy warianty twierdzenia o mierze majoryzującej dla innych klas procesów oraz kilka otwartych problemów z tym związanych.

Wymagania wstępne

Zakłada się u słuchaczy dobrą znajomość programu rocznego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa dla II-III roku matematyki oraz podstaw analizy matematycznej i algebry liniowej. Przydatne mogą być wiadomości z zakresu analizy funkcjonalnej i procesów stochastycznych.

Polecana literatura

W sporej części wykład będzie oparty na wyniki z ostatnich lat, które nie znalazły jeszcze monograficznego opracowania. Poniżej wymieniono kilka pozycji, których przecięcie z wykładem jest niepuste.

M.Ledoux, M.Talagrand Probability in Banach Spaces klasyczna już książka na temat rachunku prawdopodobieństwa w przestrzeniach Banacha
M.Ledoux The Concentration of Measure Phenomenon, AMS 2001 - tylko częściowo zahaczająca o wykład, ale ze wszech miar godna polecenia
M. Ledoux Isoperimetry and Gaussian analysis, Lecture notes in Mathematics 1648, 165-294, Springer Verlag 1996 - notatki ze szkoły w Saint Flour z 1994 roku, bardzo dobrze napisany wykład o (pewnych) zastosowaniach izoperymetrii gaussowskiej i nie tylko.
V.Bogachev Gaussian Measures, AMS 1998 - bardzo ogólna monografia poświęcona miarom gaussowskim

Streszczenia wykładów

5 października 2004 Wielowymiarowe rozkłady gaussowskie - przypomnienie wiadomości z wykładu kursowego i ustalenie notacji. Procesy gaussowskie - definicja, przykłady, określenie rozkładów skończenie wymiarowych przy pomocy funkcji wartości średniej i kowariancji. Wektory (i miary) gaussowskie na ośrodkowej przestrzeni Banacha - definicje za pomocą funkcjonałów liniowych i funkcji charakterystycznej.
14 października 2004 Dowód Maureya-Pisiera koncentracji gaussowskiej, Lipschitzowskość norm na R^n, nierówność Paleya-Zygmunda, istnienie i porównywalność wszystkich momentów norm wektorów gaussowskich.
21 października 2004 Twierdzenie o reprezentacji szeregowej wektorów gaussowskich, reprezentacja procesu Wienera, kula i przestrzeń Camerona-Martina, postać kuli C-M dla procesu Wienera.
28 października 2004 Koncentracja a izoperymetria, sformułowanie twierdzenia o izoperymetrii gaussowskiej (Borell, Sudakov-Tsirelson), wyprowadzenie nierówności Bobkowa z izoperymetrii gaussowskiej, tensoryzowalność nierówności Bobkowa, dyskretna postać nierówności Bobkowa implikuje postać ciągłą.
4 listopada 2004 Dowód dyskretnej wersji nierówności Bobkowa, silna i słaba nierówność Bobkowa, dwie postaci izoperymetrii typu gaussowskiego, implikacje między tymi własnościami miar probabilistycznych, wniosek - twierdzenie Borella, Sudakova-Tsirelsona, twierdzenie Barthe-Maureya o równoważności różnych form izoperymetrii gaussowskiej dla miar absolutnie ciągłych.
18 listopada 2004 Szkic dowodu twierdzenia Barthe-Maureya, uwagi o koncentracji funkcji Lipschitzowskich wokół mediany i związkach z wcześniej udowodnioną koncentracją wokół średniej, nieskończenie wymiarowa wersja izoperymetrii gaussowskiej, koncentracja norm wektorów gaussowskich, wykładnicza całkowalność kwadratu normy.
25 listopada 2004 Twierdzenie Talagranda o optymalnej całkowalności kwadratu normy wektora gaussowksiego. Nierównośc logarytmiczna Sobolewa i Poincare, nierówność Bobkowa implikuje logarytmiczną nierówność Sobolewa.
2 grudnia 2004 Nierówność Ehrharda-Borella, sprowadzenie do postaci funkcyjnej i dowód.
9 grudnia 2004 S- nierówność, zmodyfikowana nierówność izoperymetryczna dla zbiorów wypukłych, wniosek o optymalnych stałych dla porównywania momentów wektorów gaussowskich.
17 grudnia 2004 B-nierówność i jej dowód, wzmocniona nierówność Poincare dla funkcji symetrycznych, twierdzenie Breniera-McCanna o transporcie miary i twierdzenie Caffereliego o kontrakcyjności przekształcenia Breniera (bez dowodów).
6 stycznia 2005 Hipoteza korelacyjna, twierdzenie Khatri i Sidaka, twierdzenie Harge, uogólniona półgrupa Ornsteina-Uhlenbecka, nierówność Prekopy-Leindlera, funkcyjne sformułowanie hipotezy korelacyjnej.
13 stycznia 2005 Twierdzenia o porównywaniu procesów gaussowskich - Lemat Slepiana, twierdzenie Fernique'a, minoryzacja Sudakowa. Liczby pokryciowe, twierdzenie Dudleya o oszacowaniu procesów przy pomocy liczb pokryciowych.
20 stycznia 2005 Oszacowania procesów za pomocą miar majoryzujących, dowód oszacowania górnego dla szybko malejących funkcji Younga. Twierdzenie Fernique'a-Talagranda o ograniczoności procesów gaussowskich.

[Strona główna] [Dydaktyka główna] [Wydział]

mój email: rlatala "małpa" mimuw "kropka" edu "kropka" pl

Data ostatniej modyfikacji: 15 stycznia 2005