Procesy Stochastyczne 2

Radosław Adamczak, Witold Bendorz 19 stycznia 2006

Rozdział 1

Wstęp

Niech W (t), t ∈ ℝ_{+} będzie procesem Wienera, X(t)- procesem stochastycznym. Zasadniczym celem teorii jest zdefiniowanie całki stochastycznej ∫_{0}^{t} X(s)dW (s). Problem polega na tym, że trajektorie procesu Wienera nie mają ograniczonego wahania, a zatem nie można całki definiować dla każdej trajektorii z osobna (na ćwiczenia). Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, zupełną. Niech (F_{t})_{t∈ℝ_{+}}, F_{t} ⊂ F, będzie (zupełną) filtracją. Dla uproszczenia określamy F_{∞} = σ(⋃_{t} F_{t}). Niech 0 < T ⩽ ∞.

Definicja 1 Przestrzeń M_{T}^{2,c} będą stanowiły ciągłe martyngały, adaptowalne względem filtracji (F_{t}) takie, że sup_{t⩽T} EM^{2}(t) < ∞.

Zauważmy, że

1. jeśli T < ∞ sup_{t⩽T} EM^{2}(t) = EM^{2}(t).

2. jeśli T = ∞, to M_{∞}^{2,c} tworzą martyngały ciągłe takie, że sup_{t<∞} EM^{2}(t) < ∞. Z nierówności Dooba wynika, że

E sup_{t<∞} M^{2}(t) ⩽ 4 sup_{t<∞} EM^{2}(t) < ∞.

Twierdzenia o zbieżności martyngałów implikują, że M(t) → M(∞) p.n. i w L^{2}(Ω). Ponadto zachodzi wzór M(t) = E(M(s)|F_{t}) → E(M(∞)|F_{t}), gdy s → ∞, s > t. Zatem M(t), 0 ⩽ t ⩽ ∞ tworzą martyngał ciągły taki, że sup_{t⩽∞} EM^{2}(t) < ∞.

Uwaga 1 Przez M^{2,c}, będziemy oznaczać ogólnie martyngały ciągłe takie, że EM^{2}(t) < ∞ dla każdego t < ∞.

Definicja 2 Powiemy, że dwa procesy X(t) i Y (t), t ∈ [0, T] są nieodróżnialne, jeśli

P(X(t) = Y (t) dla t ∈ [0, T]) = 1.

Uwaga 2 W przestrzeni M_{T}^{2,c} identyfikujemy procesy nieodróżnialne.

Stwierdzenie 1 Przestrzeń M_{T}^{2,c} jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym

(M, N) = (M, N)_{T} = EM(T)N(T).

Dowód. Zauważmy, że

1. Przestrzeń M_{T}^{2,c} jest liniowa.

2. (M, N) jest iloczynem skalarnym, który istotnie definiuje metrykę na M_{T}^{2,c}. Wystarczy sprawdzić, że (M, M) = 0 daje M = 0. Tak jest gdyż 0 = (M, M) = EM^{2}(T). Z nierówności Dooba dostajemy E sup_{t⩽T} M^{2}(t) = 0, a to znaczy, że proces M jest nieodróżnialny od 0.

3. Rzecz jasna ∥M∥^{2} = (M, M) wprowadza metrykę ∥ · ∥ na przestrzeni M_{T}^{2,c}. Udowodnimy zupełność M_{T}^{2,c} w tej metryce. Niech M_{n} będzie ciągiem martyngałów spełniających warunek Cauchy’ego (zachodzi M_{n}(t) = E(M(T)|F_{t})). Ponieważ

∥M_{n} − M_{m}∥ = E(M_{n}(T) − M_{m}(T))^{2} → 0, gdy m, n → ∞,

więc z zupełności L^{2}(Ω) wynika, że istnieje M(T) takie, że M_{n}(T) → M(T) w L^{2}(Ω). Ponadto z nierówności Dooba

E sup_{t⩽T}(M_{n}(t) − M_{m}(t))^{2} ⩽ 4 sup_{t⩽T}E(M_{n}(t) − M_{m}(t))^{2} =

= 4E(M_{n}(T) − M_{m}(T))^{2} → 0, gdy m, n → ∞.

Czyli przechodząc do podciągu (n_{k}) (żeby mieć zbieżność p.n.) dostajemy

P(sup_{t⩽T}(M_{n_{k}}(t) − M_{n_{l}}(t))^{2} → 0, l, k → ∞) = 1.

Zatem M_{n_{k}} jest z P = 1 zbieżny jednostajnie na odcinku [0, T] (k → ∞). Konsekwentnie M_{n_{k}} jest zbieżny do pewnego procesu ciągłego M. Ponieważ

M(t) ← M_{n_{k}}(t) = E(M_{n_{k}}(T)|F_{t}) → E(M_{T} |F_{t}),

gdzie zbieżność po lewej stronie jest p.n., a po prawej w L^{2}(Ω). Stąd dostajemy, że M_{n} → M w M_{T}^{2,c}

■

Wniosek 1 Przestrzeń M_{T}^{2,c} jest izometryczna z domkniętą podprzestrzenią L^{2}(Ω).

Definicja 3 Przez E oznaczamy klasę procesów elementarnych, to znaczy procesów postaci

X(t) = ξ_{0}1_{0} + ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]},

gdzie 0 = t_{0} ⩽ t_{1} < t_{2} < ... < t_{m}, ξ_{j} jest F_{t_{j}} mierzalne.

Zauważmy, że E jest przestrzenią liniową. Niech W będzie procesem Wienera względem filtracji (F_{t}) (filtracji zupełnej, wyznaczonej przez proces). Zauważmy, że W (t) − W (s) jest niezależnym procesem od F_{s}.

Definicja 4 Dla X ∈ E definiujemy proces

I(X) = I(X)(t) = ∫_{0}^{t} XdW := ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}(W (t_{j+1} ∧ t) − W (t_{j} ∧ t)).

Zauważmy, że I(X) nie zależy od reprezentacji X.

Całka stochastyczna Ito

2.1 Całka Ito jako izometria liniowa

W tym rozdziale zdefiniujemy całkę stochastyczną Ito.

Twierdzenie 1 Dla każdego X ∈ E, proces I(X) ∈ M_{T}^{2,c}, I(X)(0) = 0, a ponadto

∥I(X)∥_{T}^{2} = E(∫_{0}^{T} X(s)dW (s))^{2} = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

Dowód. Ponieważ X ∈ E, więc dla pewnego ciągu 0 = t_{0} ⩽ t_{1} < t_{2} < ... < t_{m}

X(t) = ξ_{0}1_{{0}} + ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]},

gdzie, ξ_{j} są F_{t_{j}} mierzalne. Z definicji

I(X)(t) = ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}(W (t_{j+1} ∧ t) − W (t_{j} ∧ t)).

Jest jasne, że I(X)(0) = 0. Po drugie jest oczywiste (z definicji), że I(X)(t) ∈ L^{2}(Ω). Po trzecie trajektorie procesu I(X) są ciągłe. Istotnie wystarczy zauważyć, że funkcje

t → (W (t_{j+1} ∧ t) − W (t_{j} ∧ t)), t ∈ (t_{j}, t_{j+1}]

są ciągłe, co wynika z ciągłości trajektorii procesu Wienera. Pozostaje pokazać, że proces I(X) jest martyngałem. Zauważmy zatem, że I(X)(t) t ∈ [0, T] jest adaptowalny do filtracji (F_{t}). Pokażemy, że

E(I(X)(t)|F_{s}) = I(X)(s), dla t_{k} ⩽ s < t ⩽ t_{k+1}, k ∈ {0, 1, ..., m − 1}.  (2.1)

Powyższa równość łatwo wynika z definicji

E(I(X)(t) − I(X)(s)|F_{s}) = E(ξ_{k}(W (t) − W (s))|F_{s}) = ξ_{k}E(W (t) − W (s)|F_{s}) = 0. W istocie to wystarcza do udowodnienia, że

E(I(X)(t)|F_{s}) = I(X)(s), dla0 ⩽ s < t ⩽ T.

Przypuśćmy, że s ∈ (t_{l}, t_{l+1}], t ∈ (t_{k}, t_{k+1}], l < k, to E(I(X)(t)|F_{s}) = E(E(I(X)(t)|F_{t_{k}})|F_{s}) = E(I(X)(t_{k})|F_{s}) =

= E(E(I(X)(t_{k})|F_{t_{k−1}})|F_{s}) = E(I(X)(t_{k−1})|F_{s}) = ... =
= E(I(X)(t_{l+1})|F_{s}) = I(X)(s).

Za każdym razem korzystaliśmy wyłącznie z równości (2.1). Pozostaje jeszcze udowodnić wzór

∥I(X)∥ = EI(X)^{2}(t) = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

Skorzystamy z następującej równości.

EI(X)^{2}(T) = ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))) +

+2 ∑_{l<k} E(ξ_{l}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))).

Niech

A := ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}).

B := 2 ∑_{l<k} E(ξ_{l}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))).

Zauważmy, że

B = 2 ∑_{l<k} E(E(ξ_{l}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))|F_{t_{k}})) =

= 2 ∑_{l<k} E(ξ_{k}ξ_{k}(W (t_{l+1}) − W (t_{l}))E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))|F_{t_{k}})) = 0

Ostatnia równość wynika z faktu, że E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))|F_{t_{k}}) = 0 (bo W jest martyngałem). Wystarczy obliczyć A. Przypomnijmy, że W (t) i W^{2}(t) − t są martyngałami, stąd

E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}|F_{t_{k}}) = E(W^{2}(t_{k+1})|F_{t_{k}}) − 2W (t_{k})E(W (t_{k+1})|F_{t_{k}}) +
+W^{2}(t_{k}) = E(W^{2}(t_{k+1}) − t_{k+1}|F_{t_{k}}) + t_{k+1} − W^{2}(t_{k}) = t_{k+1} − t_{k}.

Zatem

A = ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}) = ∑_{k=1}^{m−1} E(E(ξ_{k}^{2}(W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}|F_{t_{k}})) =

= ∑_{k=1}^{m−1} E(ξ_{k}^{2}E((W (t_{k+1}) − W (t_{k}))^{2}|F_{t_{k}})) = E(∑_{k=1}^{m−1} ξ_{k}^{2}(t_{k+1} − t_{k})) = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

To kończy dowód.

■

Uwaga 3 Łatwo zauważyć, że I jest przekształceniem liniowym z E w M_{T}^{2,c}. Co więcej, jeśli potraktować E jako liniową podprzestrzeń

L_{T}^{2} := L^{2}([0, T] × Ω, B([0, T]) ⊗ F, | · | ⊗ F),

to I jest liniową izometrią (bo ∥I(X)∥ = ∥X∥_{L_{T}^{2}}^{2} ).

Ogólnie całkę stochastyczną otrzymamy przechodząc do domknięcia E. Warto zwrócić uwagę, że każda izometria liniowa I z podprzestrzeni L_{T}^{2} w M_{T}^{2,c} (przestrzeń Banacha) ma jednoznaczne rozszerzenie na domknięcie \overline{E} przestrzeni E w L_{T}^{2} .

Definicja 5 Rozszerzenie I na domknięcie \overline{E} w L_{T}^{2} nazywamy całką stochastyczną Ito i oznaczamy

I(X)(t) = ∫_{0}^{t} X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} XdW.

Uwaga 4 Dla każdego X ∈ \overline{E}, zachodzi I(X) ∈ M_{T}^{2,c}. Ponadto I jest izometrią liniową, to znaczy I jest liniowe i zachodzi wzór

∥I(X)∥^{2} = E(∫_{0}^{T} X(s)dW (s))^{2} = E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds.

2.2 Opis procesów z klasy \overline{E}.

Definicja 6 Przez P będziemy oznaczać σ-ciało zbiorów prognozowalnych, to znaczy σciało podzbiorów ℝ_{+} × Ω generowane przez

{{0} × A, A ∈ F_{0}} ∪ {(s, t] × A, s < t, A ∈ F_{s}}.

Proces X będziemy nazywać prognozowalnym, gdy jest mierzalny względem P jako funkcja [0, T] × Ω ∋ (t, ω) → X(t, ω).

Uwaga 5 Każdy proces prognozowalny jest progresywnie mierzalny.

Stwierdzenie 2 Jeśli X jest procesem adaptowalnym, lewostronnie ciągłym, to jest procesem prognozowalnym.

Dowód. Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, to znaczy

t < T, 0 = t_{0}^{n} < ... < t_{m}^{n} = T, max_{j}(t_{j}^{n} − t_{j−1}^{n}) → 0 gdy n → ∞.

Definiujemy

X_{n}(t) := X(0)1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m_{n}−1} X(t_{k}^{n})1_{(t_{k}^{n},t_{k+1}^{n}]}(t).

Z lewostronnej ciągłości wynika, że X_{n}(t) → X(t) dla każdego t, dla prawie wszystkich ω ∈ Ω. Co więcej procesy X_{n} są prognozowalne bo są skończonymi sumami procesów progonozwalnych. W istocie Wystarczy zauważyć, że prognozowalne są procesy

X(0)1_{{0}}, X(t_{k}^{n})1_{(t_{k}^{n},t_{k+1}^{n}]}.

To z kolei wynika z definicji σ-ciała P

{(t, ω) : X(0)1_{{0}} ⩽ a} = {0} × {X(0) ⩽ a} ∈ P
{(t, ω) : X(t_{k}^{n})1_{(t_{k}^{n},t_{k+1}^{n}]} ⩽ a} = (t_{k}^{n}, t_{k+1}^{n}] × {X(t_{k}^{n}) ⩽ a} ∈ P.  (2.2)
■

Stwierdzenie 3 Zachodzi równość \overline{E} = L^{2}([0, T] × Ω, P, | · | ⊗ P).

Dowód. Zauważmy, że po pierwsze każdy proces z klasy \overline{E} jest prognozowalny, bo jest granicą według | · | ⊗ P procesów prognozowalnych (a więc granicą p.n. dla pewnego podciągu). Wynika to z faktu, że zbieżność w L^{2} implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa (ogólnie miary). Wystarczy pokazać, że procesy z E są gęste w klasie L^{2}([0, T] × Ω, P, | · | ⊗ P). Jest jasne, że gęste w tej klasie są sumy postaci

X := ∑_{k=1}^{m} a_{i}1_{Γ_{i}}, gdzie a_{i} ∈ ℝ, Γ_{i} ∈ P.

Wystarczy udowodnić, że 1_{Γ_{i}} ∈ \overline{E}. Ten fakt dostajemy z lematu o π − λ układach. Zwróćmy uwagę, że klasa A zbiorów Γ dla których 1_{Γ} ∈ \overline{E} zawiera π-układ B złożony ze zbiorów

Γ = {0} × A A ∈ F_{0}, Γ := (s, t] × A A ∈ F_{s}.

Z definicji 1_{Γ} dla takich zbiorów należy do E ⊂ \overline{E}. Wystarczy pokazać, że klasa A jest λ-układem (na ćwiczenia).

■

Wniosek 2 Jeśli X jest procesem prognozowalnym takim, że E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds < ∞, to całka Ito ∫ XdW jest dobrze określona. Klasę takich procesów oznaczamy przez L_{T}^{2} .

Uwaga 6 Można pokazać, że ∫ XdW jest dobrze określone dla każdego X progresywnie mierzalnego takiego, że E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds < ∞, a nawet dla procesu nieantycypującego, to znaczy adaptowalnego, mierzalnego i spełniającego warunek E ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds < ∞ (patrz książka Karatzas-Shreve).

Uwaga 7 Niech X ∈ L_{T}^{2} , wówczas 1_{[0,t]}X ∈ L_{T}^{2} , dla t ⩽ T. Ponadto

∫_{0}^{T} 1_{[0,t]}X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} X(s)dW (s)

oraz E(∫_{0}^{t} X(s)dW (s))^{2} = E ∫_{0}^{t} X^{2}(s)ds

Dowód. Ustalmy t < T. Istnieje ciąg procesów X_{n} ∈ E takich, że X_{n} → X w L_{T}^{2} . Jest jasne, że 1_{[0,t]}X_{n} ∈ E. Pokażemy, że

1_{[0,t]}X_{n} → 1_{[0,t]}X w L_{T}^{2} .

Istotnie

E ∫_{0}^{T} (1_{[0,t]}(s)X_{n}(s) − 1_{[0,t]}(s)X(s))^{2} = E ∫_{0}^{t}(X_{n}(s) − X(s))^{2}ds ⩽
⩽ E ∫_{0}^{T} (X_{n}(s) − X(s))^{2}ds → 0 gdy n → ∞.  (2.3)

Pozostała część tezy jest oczywista.

■

Zatrzymywanie całek stochastycznych

Twierdzenie 2 (o zatrzymywaniu całki stochastycznej) Jeśli X ∈ L_{T}^{2} , natomiast τ ≤ T jest momentem zatrzymania, to 1_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} oraz dla każdego t ∈ [0, t]

∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{s}dW_{s} = ∫_{0}^{t∧τ} X_{s}dW_{s} p.n.  (3.1)

Uwaga Ponieważ oba procesy występujące w (3.1) mają ciągłe trajektorie, z ich równości dla każdego t wynika natychmiast nieodróżnialność. Dowód.

Proces 1_{[0,τ]} jest prognozowalny, bo jest lewostronnie ciągły i adaptowany (łatwe). Zatem 1_{[0,τ]}X też jest prognozowalny. Ponadto

E ∫_{0}^{T} (1_{[0,τ]}(s)X_{s})^{2}ds ≤ ∫_{0}^{T} X_{s}^{2}ds < ∞.

Stąd 1_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} .

Dalsza część dowodu przebiega standardową metodą, polegającą na udowodnieniu twierdzenia najpierw dla τ przyjmującego tylko skończenie wiele wartości oraz X ∈ E (E – procesy elementarne), a następnie rozszerzeniu tezy na przypadek ogólny poprzez prostą aproksymację.

a) Jeżeli τ przyjmuje tylko skończenie wiele wartości oraz X ∈ E, możemy bez straty ogólności założyć, że

X_{t} = ξ_{0}1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m−1} ξ_{k}1_{(t_{k},t_{k+1}]}(t)
τ ∈ {t_{1}, …, t_{k}},

dla pewnych liczb 0 ≤ t_{1} < … < t_{k} ≤ T.

Wprowadzając dodatkowe oznaczenie t_{0} = 0, otrzymujemy

1_{[0,τ]}(t) = 1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}}1_{(0,t_{k}]}(t) = 1_{{0}}(t) + ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}} ∑_{j=0}^{k−1} 1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t)

= 1_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} 1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t) ∑_{k=j+1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}}

= 1_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} 1_{{τ>t_{j}}}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t).

Zatem

1_{[0,τ]}(t)X_{t} = ξ_{0}1_{{0}}(t) + ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{{τ>t_{j}}}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t).  (3.2)

Ponieważ ξ_{j}1_{{τ>t_{j}}} jest F_{t_{j}} mierzalną i ograniczoną zmienną losową, powyższa równość pokazuje, że 1_{[0,τ]}X ∈ E oraz pozwala policzyć wprost z definicji całkę stochastyczną tego procesu. Dokładniej

∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{s}dW_{s} = ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}1_{{τ>t_{j}}}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t}) = ∑_{j=1}^{m−1} ∑_{k=j+1}^{m} ξ_{j}1_{{τ=t_{k}}}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} ∑_{j=1}^{k−1} 1_{{τ=t_{k}}}ξ_{j}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}} ∑_{j=1}^{k−1} ξ_{j}(W_{t_{j+1}∧t} − W_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 1_{{τ=t_{k}}} ∫_{0}^{t∧t_{k}} X_{s}dW_{s} = ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s},  (3.3)

co kończy dowód w najprostszym przypadku.

Uwaga Powyższe rachunki są dość formalne i sprowadzają się do zmiany kolejności sumowania. Tak naprawdę równość (3.2) można dość łatwo sprawdzić na rysunku, przedstawiając symbolicznie zbiór [0, T]×Ω, dzieląc oś czasu na przedziały (t_{j}, t_{j+1}] (na których X jest przy ustalonej ω stały, równy ξ_{j}(ω)) i patrząc, co się „wyzeruje” po wymnożeniu przez 1_{[0,τ]}. Podobnie równość (3.3) można otrzymać, patrząc które części w sumie definiującej całkę się „wyzerują” dla τ = t_{k}. Jest to oczywiście w gruncie rzeczy to samo rozumowanie co zapisane powyżej, ale chyba bardziej pokazuje co się dzieje niż formalne napisy. b) W kolejnym kroku udowodnimy tezę dla τ – dowolnego momentu zatrzymania,

ciągle przy założeniu, że X ∈ E. W standardowy sposób konstruujemy ciąg τ_{n} momentów zatrzymania, przyjmujących tylko skończenie wiele wartości, takich że τ_{n} ↘ τ. Z ciągłości trajektorii całek stochastycznych, mamy

∫_{0}^{τ_{n}∧t} X_{s}dW s → ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s} p.n.

Aby uzyskać tezę, wystarczy więc pokazać, że ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s}dW_{s} → ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{s}dW_{s} w L^{2}(Ω). Udowodnimy więcej, mianowicie zbieżność ∫ 1_{[0,τ_{n}]}XdW → ∫ 1_{[0,τ]}XdW w przestrzeni M_{T}^{2,c}. Ponieważ całka Ito jest izometrią między L_{T}^{2} i M_{T}^{2,c}, wystarczy pokazać zbieżność 1_{[0,τ_{n}]}X → 1_{[0,τ]}X w L_{T}^{2} . To jednak jest proste

∥1_{[0,τ_{n}]}X − 1_{[0,τ]}X∥_{L_{T}^{2}}^{2} = E ∫_{0}^{T} (1_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s} − 1_{[0,τ]}(s)X_{s})^{2}ds
= E ∫_{0}^{T} 1_{(τ,τ_{n}]}(s)X_{s}^{2}ds → 0,

z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.

c) W ostatnim kroku udowodnimy twierdzenie dla dowolnych τ, X. Niech X_{n} ∈ E, X_{n} → X w L_{T}^{2} . Wówczas, jak łatwo sprawdzić, również ∫_{[0,τ]} X_{n} → 1_{[0,τ]}X w L_{T}^{2} , skąd dostajemy ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)X_{n}(s)dW_{s} → ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ]}(s)XdW_{s} w L^{2}(Ω) (argumentujemy jak w punkcie b)). Wystarczy zatem pokazać, że ∫_{0}^{τ∧t} X_{n}(s)dW_{s} → ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s}, również w L^{2}(Ω). Ale

E(∫_{0}^{τ∧t} X_{n}(s)dW_{s} − ∫_{0}^{τ∧t} X_{s}dW_{s})^{2} ≤ E(∫_{0}^{T} X_{n}(s)dW_{s} − ∫_{0}^{T} X_{s}dW_{s})^{2}
= ∥X − X_{n}∥_{L_{T}^{2}}^{2} → 0,

gdzie nierówność wynika z Twierdzenia Dooba (zastosowanego do ciągłego podmartyngału (∫ (X − X_{n})dW)^{2} oraz ograniczonego momentu stopu τ ∧ t) zaś równość, znów z faktu, że całka Ito jest izometrią, między L_{T}^{2} oraz M_{T}^{2,c}.

■

Wniosek 3 Niech X ∈ L_{T}^{2} . Wówczas proces

M(t) = ( ∫_{0}^{t} X(s)dW (s))^{2} − ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds

jest martyngałem Dowód. Wystarczy pokazać, że dla każdego ograniczonego momentu zatrzymania τ, EM_{τ} = 0. Ale z Twierdzenia o zatrzymywaniu całki stochastycznej

M_{τ} = ( ∫_{0}^{τ} X(s)dW (s))^{2}−∫_{0}^{τ} X(s)^{2}ds = ( ∫_{0}^{T} X(s)1_{[0,τ]}(s)dW (s))^{2}−∫_{0}^{T} X(s)^{2}1_{[0,τ]}(s)ds,

zatem rzeczywiście

EM_{τ} = E( ∫_{0}^{T} X(s)1_{[0,τ]}(s)dW (s))^{2} − E ∫_{0}^{T} X(s)^{2}1_{[0,τ]}(s)ds = 0,

gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że całka stochastyczna jest izometrią między L_{T}^{2} oraz M_{T}^{2,c}.

■

Twierdzenie o zatrzymywaniu całki stochastycznej pozwoli nam na rozszerzenie definicji całki stochastycznej na szerszą klasę procesów niż L_{T}^{2} .

Definicja 7 Niech

Λ_{T}^{2} = {(X(t))_{t∈[0,T)} : X − prognozowalny , ∀_{t<T} ∫_{0}^{t} X_{s}^{2}ds < ∞ p.n.}

Oczywiście L_{T}^{2} ⊊ Λ_{T}^{2} . Chcielibyśmy zdefiniować ∫ X(s)dW (s) dla X ∈ Λ_{T}^{2} , tak aby „nowa” całka stanowiła rozszerzenie całki Itô. W tym celu dla X ∈ |Lambda_{T}^{2} , wprowadźmy ciąg momentów stopu

τ_{n} = inf{t < T: ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds ≥ n},  (3.4)

gdzie jak zwykle przyjmujemy konwencję inf ∅ = T. Z definicji Λ_{T}^{2} , otrzymujemy natychmiast τ_{n} ↗ T p.n. Ponadto dla dowolnego n, 1_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} , zatem możemy zdefiniować proces

M_{n}(t) = ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}XdW,

jako całkę stochastyczną w sensie Itô).

Zachodzi następujący

Lemat 1 Dla m ≥ n oraz t ≤ τ_{n}

M_{n}(t) = M_{m}(t),

czyli (wobec ciągłości trajektorii) procesy M_{m}^{τ_{n}} oraz M_{n} są nierozróżnialne.

Dowód. Z twierdzenia o zatrzymywaniu całki stochastycznej oraz nierówności τ_{n} ≤ τ_{m} p.n., mamy

M_{m}(τ_{n} ∧ t) = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} 1_{[0,τ_{m}]}(s)X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}(s)1_{[0,τ_{m}]}(s)X(s)dW (s)
= ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}(s)X(s)dW (s) = M_{n}(t).
■

Zatem, dla pewnego zbioru Ω̃ ⊆ Ω o prawdopodobieństwie 1, dla ustalonych wartości ω ∈ Ω̃, t < T, ciąg M_{n}(ω, t) stabilizuje się, tzn. dla n, m ≥ n_{0}(w, t), M_{m}(ω, t) = M_{n}(ω, t). Pozwala nam to wprowadzić następującą definicję

Definicja 8 Jedyny (modulo nieodróżnialność) proces (M(t))_{t∈[0,T)}, taki że dla każdego n ∈ ℕ

∫ 1_{[0,τ_{n}]}(s)X(s)dW (s) = M^{τ_{n}},

gdzie wyrażenie po lewej stronie oznacza całkę Itô, nazywamy całką stochastyczną procesu X i oznaczamy

M(t) = ∫_{0}^{t} X(s)dW (s) = ∫_{0}^{t} XdW.

Własności całki stochastycznej

1. M nie zależy od ciągu definiującego τ_{n}, tzn. gdybyśmy zamiast ciągu τ_{n} zdefiniowanego wzorem (3.4), użyli w definicji innego ciągu momentów zatrzymania τ′_{n}, takiego że τ′_{n} ↗ τ oraz X1_{[0,τ′_{n}]} ∈ L_{T}^{2} (są to jedyne własności, z których korzystaliśmy, konstruując całkę ∫ XdW), w wyniku dostalibyśmy ten sam proces.

2. ∫_{0}^{0} XdW = 0, ponadto ∫ XdW ma ciągłe trajektorie (wynika to bezpośrednio z konstrukcji, gdzie całkę stochastyczną otrzymaliśmy poprzez sklejanie procesów ciągłych).

3. Istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{n} ↗ τ, taki że dla każdego n ∈ ℕ, (∫ XdW)^{τ_{n}} ∈ M_{T}^{2,c} (co również wynika bezpośrednio z konstrukcji). Własność ta jest ważna i zostanie wraz z konsekwencjami dokładniej przedyskutowana w dalszej części wykładu (patrz Def. 9)

4. Zachodzi analog Twierdzenia 2, tzn. jeśli X ∈ Λ_{T}^{2} oraz τ ≤ T jest momentem stopu, to również X1_{[0,τ]} ∈ Λ_{T}^{2} oraz

∫_{0}^{t∧τ} XdW = ∫ 1_{[0,τ]}XdW.

5. Przekształcenie Λ_{T}^{2} ∋ X ↦ ∫ XdW jest liniowe.

6. Zachodzi nierówność Dooba, tzn. dla dowolnego momentu zatrzymania τ ≤ T

E(sup_{t<τ}(∫_{0}^{t} X(s)dW (s))^{2}) ≤ 4E ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2}ds

Przyjrzyjmy się teraz bliżej własności 3), która ukazuje istotną różnicę między całką izometryczną Ito, a jej rozszerzeniem na Λ_{T}^{2} . Całka Ito jest z definicji ciągłym martyngałem, własność 3) jest więc dla niej oczywista, momenty zatrzymania τ_{n} mogą być wręcz deterministyczne. Okazuje się, że dla X ∈ Λ_{T}^{2} , proces M = ∫ XdW nie musi być martyngałem (może się wręcz zdarzyć, że E|M_{t}| = ∞), niemniej może być w pewnym sensie przybliżany przez martyngały. Jest to bardzo użyteczna własność, motywująca wprowadzenie ogólniejszej definicji.

Definicja 9 Proces adaptowany (M_{t})_{t∈[0,T)} nazwiemy martyngałem lokalnym, jeśli istnieje ciąg momentów stopu τ_{n} ↗ T, taki że dla każdego n, proces M^{τ_{n}} jest martyngałem. Ciąg τ_{n} nazywamy wówczas ciągiem lokalizującym M.

Łatwo sprawdzić, że proces M jest ciągłym martyngałem lokalnym, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg momentów zatrzymania jak w Definicji 9, o tej własności, że dla każdego n, proces M^{τ_{n}} jest ciągłym martyngałem. Co więcej, dla każdego ciągłego martyngału lokalnego istnieje ciąg τ_{n} ↗ T, taki że M^{τ_{n}} ∈ M^{2,c}.

Własność 3) oznacza więc, że całka stochastyczna jest martyngałem lokalnym. Przy pewnych dodatkowych założeniach możemy jednak wnioskować, że całka stochastyczna jest martyngałem, o czym mówi następujące

Twierdzenie 3 Jeśli dla każdego t < T, E ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds < ∞, to M = ∫ XdW jest martyngałem.

Dowód. W definicji martyngału rozpatrujemy jedynie pary M(t_{1}), M(t_{2}), przy t_{1}, t_{2} < T, a nasze założenia mówią, że na odcinkach [0, t], t < T, proces M może być zdefiniowany jako całka Ito, więc jest martyngałem.

■

Na zakończenie rozdziału podamy jeszcze kilka własności martyngałów lokalnych, których udowodnienie pozostawimy jako ćwiczenie.

Twierdzenie 4 Każdy ciągły i ograniczony martyngał lokalny jest martyngałem, zaś każdy ciągły, nieujemny martyngał lokalny jest nadmartyngałem.

Całkowanie przez części

4.1 Proces wariacji kwadratowej

Uwaga 8 Można powtórzyć całą poprzednią dyskusję (teoria całki), biorąc zamiast W (proces Wienera) dowolny martyngał M ∈ M^{2,c} taki, że istnieje proces ⟨M⟩ spełniający warunki:

1. adaptowalny,

2. ciągły, niemalejący, ⟨M⟩(0) = 0,

3. M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem. Pokazaliśmy na przykład, że jeśli M = ∫_{0}^{t} XdW, to ⟨M⟩(t) = ∫_{0}^{t} X(s)^{2}ds. Twierdzenie 5 (Tw. Dooba-Meyera) Dla każdego M ∈ M^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ spełniający warunki 1.-4. (patrz np. książka Karatzas-Shreve). Definiujemy przestrzenie L_{T}^{2} (M) jako klasę procesów prognozowalnych, takich, że

E ∫_{0}^{T} X(s)^{2}d⟨M⟩ < ∞.

Dla ułatwienia L_{T}^{2} = L_{T}^{2} (W). Podobnie Λ_{T}^{2} (M) oznacza przestrzeń procesów prognozowalnych takich, że

∫_{0}^{t} X(s)^{2}d⟨M⟩ < ∞, p.n., dla t < T.

Uwaga 9 Proces ⟨M⟩ jest wyznaczony jednoznacznie.

Twierdzenie 6 Niech M ∈ M^{2,c}, t < T, a (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych odcinka [0, t]. To znaczy

0 = t_{0}^{n} < t_{1}^{n} < ... < t_{m_{n}}^{n} = t

oraz max_{j}(t_{j+1}^{n} − t_{j}^{n}) → 0 jeśli n → ∞. Definiujemy

V_{n}(M, t) = ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))^{2}.

Wówczas lim_{n→∞} V_{n}(M, t) = ⟨M⟩(t) w L^{1}(Ω).

Dowód. Potrzebujemy dwóch prostych faktów (na ćwiczenia).

Lemat 2 Niech ξ_{n} n = 1, 2, ... będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni (Ω, F, P). Niech zbiory A_{k} ∈ F, k = 1, 2, ..., będą takie, że A_{k} ↗ Ω, a ciąg (1_{A_{k}}ξ_{n})_{n} zbiega według P. Wówczas (ξ_{n})_{n} zbiega według P.

Lemat 3 Jeśli ξ_{n} ⩾ 0, ξ_{n} →^{P} ξ oraz Eξ_{n} = Eξ < ∞, to ξ_{n} → ξ w L^{1}(Ω).

Można założyć, że M(0) = 0 zastępując M procesem M − M(0). W istocie wystarczy pokazać, że ⟨M →= ⟨M − M(0)⟩ oraz V_{n}(M, t) = V_{n}(M − M(0), t). Mamy

(M − M(0))^{2} − ⟨M⟩ = M^{2} − ⟨M⟩ + 2M(0)M + M^{2}(0).

Każdy z trzech składników jest martyngałem (sprawdzić!). Suma martyngałów jest martyngałem, a zatem z jednoznaczności procesu wariacji kwadratowej wynika, że ⟨M⟩ = ⟨M − M(0)⟩. Oczywiście V_{n}(M, t) = V_{n}(M − M(0), t).

(1) Załóżmy, że M jest ograniczony, M(t, ω) ⩽ C, dla t, ω. Przypomnijmy, że

M(t)^{2} = V_{n}(M, t) + 2 ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j})).  (4.1)

Niech N_{n}(t) := ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n})). Ponadto niech

X_{n}(s) := ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})1_{(t_{j}^{n},t_{j+1}^{n}]}(s).

Oczywiście X_{n} ∈ E. Zauważmy, że N_{n}(t) = ∫_{0}^{t} X_{n}dM. Ponieważ X_{n} → M p.n. oraz w L_{t}^{2}(M), więc dobrze zdefiniowany jest proces N = ∫ MdM w M_{t}^{2,c}. Zauważmy, że

V_{n}(M, t) = M(t)^{2} − 2N_{n}(t) → M(t)^{2} − 2N(t) w L^{2}(Ω).

Z definicji M(t)^{2} − 2N(t) nie zależy od wyboru ciągu podziałów. Niech s < t, możemy brać podziały normalne [0, t] zawierające punkt s. Dla takich podziałów V_{n}(M, s) ⩽ V_{n}(M, t). Stąd

M(s)^{2} − 2N(s) ⩽ M(t)^{2} − 2N(t).

Z ciągłości M, N wynika ciągłość M^{2} − 2N. Zatem M^{2} − 2N jest ciągły , rosnący, 0 w 0. Ponieważ N jest martyngałem, więc M^{2} − (M^{2} − 2N) jest martyngałem. Stąd M^{2} − 2N = ⟨M⟩.

(2) Niech M ∈ M^{2,c}, τ_{n} ↗ T takie, że M^{τ_{k}} jest ograniczonym martyngałem. Na przykład τ_{k} := inf{t : |M(t)| ⩾ n}. Z punktu (1) wiemy

V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → ⟨M^{τ_{k}}⟩(t), w L^{2}(Ω).

Potrzebujemy następującej obserwacji (na ćwiczenia).

Lemat 4 Zachodzi równość ⟨M^{τ_{k}}⟩ = ⟨M⟩^{τ_{k}}

Zauważmy, że dla k ∈ ℕ

1_{{t⩽τ_{k}}}V_{n}(M, t) = 1_{{t⩽τ_{k}}}V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → 1_{{t⩽τ_{k}}}⟨M^{τ_{k}}⟩(t) = 1_{{t⩽τ_{k}}}⟨M⟩(t),

gdzie zbieżność jest w sensie L^{2}(Ω), a więc i względem P. Ponieważ, {t ⩽ τ_{k}} ↗ Ω, więc na mocy Lematu 2 dostajemy, że V_{n}(M, t) → ⟨M⟩(t) względem P.

(3) Żeby pokazać, zbieżność w L^{1}(Ω) potrzebujemy następującego oszacowania (na ćwiczenia).

Lemat 5 Niech M, M′ ∈ M^{2,c}, M(0) = M′(0) = 0. Zachodzi nierówność

E|V_{n}(M, t) − V_{n}(M′, t)| ⩽ ∥M − M′∥^{2} + 2∥M′∥∥M − M′∥.

Niech teraz τ_{k} będzie jak w (2). Z twierdzenia Dooba wynika

E sup_{k} M^{2}(τ_{k} ∧ t) ⩽ 4EM^{2}(t),

co implikuje, że M(τ_{k} ∧ t) → M(t) w L^{2}(Ω). Zatem z Lematu 5 wynika zbieżność V_{n}(M^{τ_{k}}, t) → ⟨M⟩(t) względem P. Ponadto

EV_{n}(M, t) ← EV_{n}(M^{τ_{k}}, t) = E(M^{τ_{k}})^{2}(t) → E⟨M⟩(t).

To znaczy EV_{n}(M, t) = E⟨M⟩(t). Z Lematu 3 wynika zbieżność V_{n}(M, t) → ⟨M⟩(t) w L^{1}(Ω).

■

Wniosek 4 Wariacja kwadratowa całki stochastycznej. Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, M = ∫ XdW, wówczas

1. X ∈ L_{T}^{2} ⇒ V_{n}(M, t) → ∫_{0}^{2} X(s)^{2}ds w L^{1}(Ω);

2. X ∈ Λ_{T}^{2} ⇒ V_{n}(M, t) → ∫_{0}^{2} X(s)^{2}ds względem P.

Dowód. Punkt (1) wynika z Twierdzenia 6. Punkt (2) dostajemy z Lematu 2.

■

4.2 Iloczyn skośny

Definicja 10 Niech M, N ∈ M^{2,c}. Definiujemy

⟨M, N⟩ := \frac{1}{4}(⟨M + N⟩ − ⟨M − N⟩).

Proces ten będziemy nazywać iloczynem skośnym procesów M, N.

Stwierdzenie 4 Tak zdefiniowany proces ⟨M, N⟩ jest jedynym procesem ciągłym, 0 w 0, o trajektoriach o wahaniu skończonym ma każdym przedziale ograniczonym takim, że MN − ⟨M, N⟩ jest martyngałem. Co więcej, dla każdego ciągu podziałów normalnych (t_{j}^{n})_{n}, to znaczy spełniającego warunki

t < T, 0 = t_{0}^{n} < ... < t_{m}^{n} = t, max_{j}(t_{j+1}^{n} − t_{j}^{n}) → 0 gdy n → ∞,

zachodzi

∑_{j=0}^{n_{m}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))(N(t_{j+1}^{n}) − N(t_{j}^{n})) →^{L_{1}} ⟨M, N⟩.

Dowód. Warto zwrócić uwagę, że dla a, b ∈ ℝ

ab = \frac{1}{4}((a + b)^{2} − (a − b)^{2}).

Ponadto (M + N)^{2} − ⟨M + N⟩ i (M − N)^{2} − ⟨M − N⟩ są martyngałami. Zatem z uwagi powyżej i z Twierdzenia 6 wynika teza stwierdzenia.

■

Własności iloczynu skośnego

1. ⟨M, M⟩ = ⟨M⟩;

2. ⟨M, N⟩ jest dwuliniowy; 3. Jeśli M ∈ M^{2,c}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M), to

(∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = ∫ 1_{(0,τ]}XdM.

4. Zachodzi równość M_{loc}^{c} = M_{loc}^{2,c}. To znaczy każdy martyngał lokalny, ciągły jest w klasie martyngałów lokalnych, ciągłych całkowalnych z kwadratem. Przypomnijmy, że M ∈ M_{loc}^{c} jeśli M jest ciągły, a ponadto istnieje ciąg lokalizujący momentów zatrzymania (τ_{n})_{n} taki, że τ_{n} ↗ T i M^{τ_{n}} jest martyngałem.

5. Dla dowolnego M ∈ M_{loc}^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ rosnący, 0 w 0 i taki, że M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem lokalnym. To znaczy τ_{n} ↗ T, M^{τ_{n}} ∈ M^{2,c} oraz (M^{τ_{n}})^{2} − ⟨M^{τ_{n}}⟩ jest martyngałem (na ćwiczenia).

W konsekwencji całka stochastyczna ∫ XdM jest dobrze zdefiniowana dla procesów z klasy Λ_{T}^{2} (M), gdzie M ∈ M_{loc}^{2,c}, oraz

∫_{0}^{t} X^{2}(s)d⟨M⟩ < ∞ p.n.

Zauważmy, że ∫ XdM jest, przy takich założeniach, martyngałem lokalnym takim, że

∫_{0}^{t∧τ_{k}} XdM := ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{k})}XdM^{τ_{k}}.

Poprawność tej definicji zostanie wykazana na ćwiczeniach.

6. Definicja ⟨M, N⟩ rozszerza się dla dowolnych M, N ∈ M_{loc}^{2,c}.

7. Z Wniosku 4 wynika, że jeśli M = ∫ XdW, X ∈ Λ_{T}^{2} , to

V_{n}(M, t) →^{P} ∫ X^{2}ds czyli ⟨M⟩ = ∫ X^{2}ds.

Niech teraz M = ∫ XdW, N = ∫ Y dW, X, Y ∈ Λ_{T}^{2} . Wówczas

⟨M, N⟩ = ∫ XY ds.

8. To samo co w powyższym punkcie zachodzi gdy zamiast pary (W, t), weźmiemy (M, ⟨M⟩).

Definicja 11 Proces Y nazywamy lokalnie ograniczonym, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{n} taki, że Y^{τ_{n}} − Y (0) jest ograniczony.

Na przykład jeśli Y ciągły, to jest lokalnie ograniczony. Istotnie wystarczy wziąć τ_{n} = {t : |Y (t) − Y (0)| ⩾ n}. Warto też zwrócić uwagę, że jeśli Y jest lokalnie ograniczony, to Y ∈ Λ_{T}^{2} (M) dla dowolnego martyngału M ∈ M_{loc}^{2,c} (na ćwiczenia).

Stwierdzenie 5 Zachodzą następujące fakty

1. Niech X ∈ L_{T}^{2} , Y -prognozowalny ograniczony. Definiujemy M = ∫ XdW, wówczas ∫ Y dM = ∫ XY dW.

2. Niech X ∈ Λ_{T}^{2} , Y -prognozowalny, lokalnie ograniczony, to zachodzi ten sam wzór co w punkcie 1., czyli ∫ Y dM = ∫ XY dW.

Dowód. (Punkt 1.) Niech X ∈ E, Y = η_{0}1_{0} + ∑_{j=1}^{m−1} η_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]}, η_{j} ograniczone F_{t_{j}} mierzalne

∫_{0}^{t} Y dM = ∑_{j=1}^{m−1} η_{j}(M(t_{j+1} ∧ t) − M(t_{j} ∧ t)) =

= ∑_{j=1}^{m−1} η_{j} ∫_{0}^{t_{j+1}∧t} XdW − ∫_{0}^{t_{j}∧t} XdW = ∑_{j=1}^{m−1} η_{j} ∫_{t_{j}∧t}^{t_{j+1}∧t} XdW =

= ∑_{j=1}^{m−1} ∫_{t_{j}∧t}^{t_{j+1}∧t} η_{j}XdW = ∫_{0}^{t} Y dW.

Niech teraz Y_{n} ∈ E, Y_{n} → Y w L_{T}^{2} (M). To znaczy

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}d⟨M⟩ → 0, gdy n → ∞.

Zauważmy (Własność 6.), że ⟨M⟩ = ∫ X^{2}ds. Zatem

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}d⟨M⟩ = E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s) − Y (s)|^{2}X(s)^{2}ds.

Stąd

E ∫_{0}^{t} |Y_{n}(s)X(s) − Y (s)X(s)|^{2}ds → 0 gdy n → ∞,

co oznacza, że Y_{n}X → Y X w L_{T}^{2} (W). (Punkt 2.) (na ćwiczenia)

■

Uwaga 10 Teza Stwierdzenia 4 pozostaje prawdziwa, gdy zamiast W, weźmiemy dowolny martyngał Z ∈ M^{2,c}.

4.3 Całkowanie przez części

Udowodnimy teraz zasadniczy wzór, jak się okaże niezbędny przy dowodzeniu wzoru Ito.

Twierdzenie 7 Niech X, Y ∈ Λ_{T}^{2} , M = ∫ XdW, N = ∫ Y dW, wówczas

MN = ∫ MdN + ∫ NdM + ∫ XY ds =
= ∫ MY dW + ∫ NXdW + ∫ XY ds.

Zauważmy, że druga równość wynika ze Stwierdzenia 4 (dla procesów lokalnie ograniczonych). Pierwsza równość wynika ze znacznie ogólniejszego faktu.

Twierdzenie 8 Niech M, N ∈ M_{loc}^{2,c}, wówczas

MN = M(0)N(0) + ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩.

Dowód. (1) Po pierwsze zauważmy, że całki ∫ MdN, ∫ NdM są dobrze określone, bo M, N są adaptowalne i ciągłe (stąd prognozowalne i lokalnie ograniczone). Zatem M ∈ Λ_{T}^{2} (N), N ∈ Λ_{T}^{2} (M). Zauważmy, że

⟨∫ MdN⟩ = ∫ M^{2}d⟨N⟩, ⟨∫ NdM⟩ = ∫ N^{2}d⟨M⟩.

(2) Można założyć, że M(0) = N(0) = 0. Istotnie z definicji

⟨M − M(0), N − N(0)⟩ = ⟨M, N⟩,
∫ Nd(M − M(0)) = ∫ NdM, ∫ Md(N − N(0)) = ∫ MdN

oraz ∫ M(0)dN = M(0)(N − N(0)), ∫ N(0)dM = N(0)(M − M(0)). Jeśli zatem pokażemy twierdzenie dla M − M(0), N − N(0), to

(M − M(0))(N − N(0)) = ∫ (M − M(0))d(N − N(0)) +
+ ∫ (N − N(0))d(M − M(0)) + ⟨(M − M(0)), (N − N(0))⟩ =
= ∫ MdN − M(0)(N − N(0)) + ∫ NdM − N(0)(N − N(0)) + ⟨M, N⟩.

Wystarczy zauważyć, że

(M − M(0))(N − N(0)) = MN − M(0)(N − N(0)) − N(0)(N − N(0)) + M(0)N(0).

Zatem zachodzi równość MN = M(0)N(0) + ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩.

(3) Wystarczy udowodnić tezę dla M = N, to znaczy

M^{2} = 2 ∫ MdM + ⟨M⟩.

Istotnie stosując powyższą równość do M + N, M − N dostajemy

MN = \frac{1}{4}((M + N)^{2} − (M − N)^{2}) = \frac{1}{4}(2 ∫ (M + N)d(M + N) + ⟨M + N⟩ −

−2 ∫ (M − N)d(M − N) − ⟨M − N⟩) = ∫ MdN + ∫ NdM + ⟨M, N⟩,

gdzie w ostatniej linijce skorzystaliśmy ze wzoru na ⟨M, N⟩ oraz z liniowości całki stochastycznej, to znaczy

∫ (X + Y)d(Z_{1} + Z_{2}) = ∫ XdZ_{1} + ∫ XdZ_{2} + ∫ Y dZ_{1} + ∫ Y dZ_{2}.

Dokonane uproszczenia pozwalają nam przystąpić do zasadniczego dowodu.

(4) Niech τ_{n} = inf{t : |M(t)| ⩾ n}. Zatem M^{τ_{n}} jest martyngałem ograniczonym. Przypomnijmy, że analogicznie jak dla procesu Wienera można pokazać, że

(M^{τ_{n}})^{2} = 2 ∫ M^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} + ⟨M^{τ_{n}}⟩.  (4.2)

Zachodzi równość ⟨M⟩^{τ_{n}} = ⟨M^{τ_{n}}⟩, a ponadto

∫_{0}^{t} M^{τ_{n}}dM^{τ_{n}} = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} M^{τ_{n}}dM = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} 1_{[0,τ_{n}]}M^{τ_{n}}dM =
= ∫_{0}^{t} 1_{[0,τ_{n}]}MdM = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} MdM.

Przechodząc z n do ∞ w równości

(M^{τ_{n}})^{2}(t) = 2 ∫_{0}^{t∧τ_{n}} MdM + ⟨M⟩^{τ_{n}}(t)

kończymy dowód twierdzenia.

■

Definicja 12 Oznaczmy przez V^{c} procesy ciągłe adaptowalne o skończonym wahaniu na każdym odcinku [0, t] ⊂ [0, T).

Lemat 6 Niech M ∈ M_{loc}^{2,c}, A ∈ V^{c}, wówczas

MA = M(0)A(0) + ∫ AdM + ∫ MdA,

gdzie całka ∫ AdM jest całką stochastyczną, a ∫ MdA zwykłą całką Stiltjesa (zdefiniowaną dla każdego ω).

Dowód. (1) Można założyć, że M(0) = A(0) = 0 oraz, że M, A są ograniczone.

(2) Niech (t_{j}^{n})_{n} będzie ciągiem podziałów normalnych, to znaczy

t < T, 0 = t_{0}^{n} < t_{1}^{n}... < t_{m}^{n} = t, max_{j}(t_{j+1}^{n} − t_{j}^{n}) → 0 gdy n → ∞.

Wówczas

M(t)A(t) = ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})) +

+ ∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})) + ∑_{j=1}^{m_{n}} A(t_{j}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n})).

Zauważmy, że

∑_{j=0}^{m_{n}−1} M(t_{j}^{n})(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})) → ∫_{0}^{t} MdA, ∑_{j=0}^{m_{n}−1} A(t_{j−1}^{n})(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n})) → ∫_{0}^{t} AdM

oraz

| ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n}))| ⩽

⩽ \sqrt{( ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(M(t_{j+1}^{n}) − M(t_{j}^{n}))^{2})( ∑_{j=0}^{m_{n}−1}(A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n}))^{2})} ⩽

⩽ ⟨M⟩(t) max_{j} |A(t_{j+1}^{n}) − A(t_{j}^{n})|∥A∥(t) → 0,

gdzie ∥A∥(t) oznacza wahanie procesu A w punkcie t.

■

Mamy więc wzory na całkowanie przez części dla M, N ∈ M_{loc}^{2,c} jak również w przypadku gdy A ∈ V^{c}, M ∈ M_{loc}^{2,c}. Dla kompletnego zobrazowania zjawiska potrzebujemy następującego lematu.

Lemat 7 Jeśli A, B ∈ V^{c}, to

AB = A(0)B(0) + ∫ AdB + ∫ BdA.

Dowód lematu przebiega podobnie jak dowód Lematu 6.

Wzór Ito

Zaczniemy od następującego faktu (twierdzenia o zbieżności zdominowanej całek stochastycznych).

Stwierdzenie 6 Niech M ∈ M_{loc}^{2,c}, X_{n} prognozowalne takie, że

X_{n}(t, ω) → X(t, ω).

Zakładamy ponadto, że X_{n} są zdominowane, to znaczy istnieje Y ∈ Λ_{T}^{2} (M) takie, że |X_{n}(t, ω)| ⩽ Y (t, ω). Wówczas X_{n}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M) oraz

∫_{0}^{t} X_{n}dM →^{P} ∫_{0}^{t} XdM.

Dowód. Jest jasne, że X_{n}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M) (bo Y ∈ Λ_{T}^{2} (M) dominuje te zmienne). Ponadto

∫_{0}^{t} X_{n}^{2}d⟨M⟩ ⩽ ∫_{0}^{t} Y^{2}⟨M⟩ < ∞.

Załóżmy, że τ_{k} jest ciągiem lokalizującym, czyli M^{τ_{k}} ∈ M_{T}^{2,c}. Twierdzenie o zatrzymywaniu całki stochastycznej daje nam 1_{(0,τ_{k}]}Y ∫ L_{T}^{2} (M^{τ_{k}}). Zatem z nierówności 1_{(0,τ_{k}]}X_{n}^{2} ⩽ 1_{(0,τ_{k}]}Y wynika, że również 1_{(0,τ_{k}]}X_{n} ∈ L_{T}^{2} (M^{τ_{k}}). Z klasycznego twierdzenia Lebesgue’a o zmajoryzowanej zbieżności

1_{(0,τ_{k}]}X_{n} → 1_{(0,τ_{k}]}X, w L_{T}^{2} (M^{τ_{k}}).

Czyli

E ∫_{0}^{t} 1_{(0,τ_{k}]}(X_{n} − X)^{2}d⟨M⟩ → 0, gdy, n → ∞.

Co daje zbieżność w L^{2}(Ω)

∫_{0}^{t} 1_{(0,τ_{k}]}X_{n}dM^{τ_{k}} → ∫_{0}^{t} 1_{(0,τ_{k}]}XdM^{τ_{k}}

Zatem z definicji

∫_{0}^{t∧τ_{k}} X_{n}dM → ∫_{0}^{t∧τ_{k}} XdM

Uwaga, że A_{k} = {τ_{k} ⩾ t} ↗ Ω razem z Lematem 2 kończy dowód stwierdzenia.

■

Kluczowym pojęciem w teorii całki stochastycznej jest pojęcie semimartyngału.

Definicja 13 Proces Z(t), t < T nazywamy semimartyngałem ciągłym jeśli

Z = Z(0) + M + A, gdzie

Z(0) jest F_{0} mierzalne, M ∈ M_{loc}^{2,c} natomiast A ∈ V^{c}. Ponadto M(0) = A(0) = 0.

Uwaga 11 Jeśli Z = Z(0) + M + A semimartyngałem ciągłym, to M, A są wyznaczone jednoznacznie.

Dowód. Korzystamy z argumentu dyskutowanego na ćwiczeniach. Gdyby istniały dwa przedstawienia Z = Z(0) + M + A, Z = Z(0) + M′ + A′, to

M − M′ = −(A − A′) ∈ V^{c}.

Ponadto M − M′ ∈ M_{loc}^{2,c} oraz M(0) − M′(0) = 0. Stąd M − M′ ≡ 0. Pokazaliśmy wprawdzie ten fakt dla martyngałów, ale przez zatrzymywanie można go rozszerzyć na martyngały lokalne.

■

Najważniejszym przykładem są procesy

Z = Z(0) + ∫ XdW + ∫ Y ds,

gdzie X ∈ Λ_{T}^{2} , Y prognozowalny, mierzalny.

Wniosek 5 Jeśli Z_{1}, Z_{2} są semimartyngałami ciągłymi, to Z_{1}Z_{2} też jest semimartyngałem. Ponadto jeśli

Z_{1} = Z_{1}(0) + M_{1} + A_{1}, Z_{2} = Z_{2}(0) + M_{2} + A_{2}.

to

Z_{1}Z_{2} = Z_{1}(0)Z_{2}(0) + ∫ Z_{1}dZ_{2} + ∫ Z_{2}dZ_{1} + ⟨M_{1}, M_{2}⟩.  (5.1)

Definicja 14 Niech Z_{1}, Z_{2} będą semimartyngałami takimi, że Z_{1} = Z_{1}(0) + M_{1} + A_{1}, Z_{2} = Z_{2}(0) + M_{2} + A_{2}. Dla uproszczenia zapisu definiujemy ⟨Z_{1}, Z_{2}⟩ = ⟨M_{1}, M_{2}⟩.

W myśl powyższej uwagi wzór na całkowanie przez części przyjmuje szczególnie prostą postać

Z_{1}Z_{2} = Z_{1}(0)Z_{2}(0) + ∫ Z_{1}dZ_{2} + ∫ Z_{2}dZ_{1} + ⟨Z_{1}, Z_{2}⟩.

Zachodzi następujące uogólnienie Uwagi 10.

Uwaga 12 Niech Z = Z(0) + M + A będzie semimartyngałem. Niech X ∈ Λ_{T}^{2} (M), Y -prognozowalny, lokalnie ograniczony. Definiujemy Z′ = ∫ XdZ. Zachodzi równość

∫ Y dZ′ = ∫ XY dZ.

Twierdzenie 9 (Wzór Ito) Niech Z = Z(0) + M + A będzie ciągłym semimartyngałem. Niech f : ℝ → ℝ, będzie klasy C^{2}. Wówczas zachodzi wzór

f(Z(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z(s))dZ(s) + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z(s))d⟨M⟩(s).

Innymi słowy f(Z) jest semimartyngałem, działanie funkcji f na semimartyngały (to znaczy Z → f ∘ Z) nie wyprowadza poza tą klasę.

Dowód. Warto zwrócić uwagę, że całki powyższych wzorach są dobrze określone. Ponadto wystarczy pokazać twierdzenie dla każdego t z osobna, bo stąd już wynika równość w sensie nieodróżnialności. (Np. dlatego, że trajektorie procesów po lewej i prawej stronie są ciągłe, a zatem równość na przeliczalnym zbiorze indeksów daje równość trajektorii). Będziemy systematycznie upraszczać zagadnienie.

(1) Można założyć, że Z(0) jest ograniczone. Istotnie jeśli Z(0) nie jest ograniczone, to możemy zdefiniować

Z_{n}(0) := Z(0)1_{{|Z(0)|⩽n}}.

Niech Z_{n} := Z_{n}(0)+M +A. Zauważmy, że Z_{n}(t) → Z(t) p.n. dla każdego t ⩽ T. Ponadto

|f′(Z_{n}(s)| ⩽ sup_{n⩾1}|f′(Z_{n}(s))| ⩽ C(t), dla s ⩽ t,

gdzie C(t) jest zmienną losową. Stąd wynika, że sup_{n⩾1} |f′(Z_{n})| ∈ Λ_{T}^{2} (M), gdyż

∫_{0}^{t} sup_{n⩾1}|f′(Z_{n})|d⟨M⟩ ⩽ C(t)⟨M⟩(t) < ∞.

Zatem na mocy Stwierdzenia 6 dostajemy, że

∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dM →^{P} ∫_{0}^{t} f′(Z)dM.

Ponieważ w oczywisty sposób pozostałe całki we wzorze Ito zbiegają według P, więc po lewej stronie mamy ciąg zmiennych ξ_{n} := f(Z_{n})(t) zbieżny p.n. do ξ := f(Z)(t), a po prawej ciąg zmiennych

η_{n} := f(Z_{n}(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dZ_{n} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{n})d⟨M⟩(s)

zbieżny według P do zmiennej η. Równość ξ_{n} = η_{n} wraz z jednoznacznością granic dają ξ = η.

(2) Można założyć, że Z jest ograniczony. Przypuśćmy, że mamy wzór Ito dla Z ograniczonych. Niech Z dowolny taki, że Z(0) ograniczony. Definiujemy momenty zatrzymania

τ′_{n} := inf{t |M(t)| ⩾ n} ∧ T; τ′′_{n} := inf{t |A(t)| ⩾ n} ∧ T.

Niech wreszcie τ_{n} := τ′_{n} ∧ τ′′_{n}. Mamy τ_{n} ↗ T, ponadto

Z_{n} := Z(0) + M^{τ_{n}} + A^{τ_{n}}

jest semimartyngałem ciągłym, ograniczonym. Zauważmy, że Z_{n}(t) → Z(t) p.n. Ponadto jeśli wzór Ito jest prawdziwy dla Z_{n}, to

f(Z_{n}(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dM^{τ_{n}} + ∫_{0}^{t} f′(Z_{n})dA^{τ_{n}} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z_{n})d⟨M^{τ_{n}}⟩ =

= f(Z(0)) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z_{n})dM + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z_{n})dA\frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z_{n})d⟨M⟩.

Dla s ⩽ τ_{n} mamy równości A^{τ_{n}}(s) = A(s), M^{τ_{n}}(s) = M(s), Z_{n}(s) = Z(s). Stąd wynika

f(Z_{n}(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z)dZ \frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z)d⟨M⟩.

Pozostaje zauważyć, że

p.n. f(Z) ← f(Z_{n}) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′(Z)dZ \frac{1}{2} ∫_{0}^{t∧τ_{n}} f′′(Z)d⟨M⟩ →

→ f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z)d⟨M⟩ p.n.

Możemy przejść do najważniejszej części dowodu.

(3) Wystarczy pokazać wzór Ito dla wielomianu. Przypuśćmy, że wiemy, że wzór Ito jest prawdziwy dla wielomianu. Ponieważ f jest klasy C^{2}, więc istnieje ciąg wielomianów f_{n} taki, że

f_{n} → f, f′_{n} → f′, f′′_{n} → f′′, jednostajnie na [−k, k],

gdzie k dowolne naturalne. Zauważmy, że skoro Z jest ograniczony, to istnieje k ∈ ℕ takie, że Z(s) ∈ [−k, k] dla każdego s ⩽ t. Zatem f_{n}(Z) → f(Z) jednostajnie. Podobnie ponieważ

|f′_{n}(Z(s))| ⩽ sup_{n} sup_{x∈[−k,k]} |f′(x)| ⩽ C < ∞,

(jest oczywiste, proces stały C ∈ Λ_{T}^{2} (M)), więc korzystając ze Stwierdzenia 6

∫_{0}^{t} f′_{n}(Z)dZ → ∫_{0}^{t} f′(Z)dZ, według P.

Analogicznie dla f′′_{n}(Z) dostajemy zbieżność

∫_{0}^{t} f′′_{n}(Z)d⟨M⟩ → ∫_{0}^{t} f′(Z)d⟨M⟩, według P.

Zatem znowu korzystając z jednoznaczności granic dostajemy

f(Z(t)) = f(Z(0)) + ∫_{0}^{t} f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(Z)d⟨M⟩.

Pozostaje nam sprawdzić wzór Ito dla wielomianów.

(4) Zauważmy najpierw, że obie strony wzoru Ito są liniowe względem f. Wystarczy zatem sprawdzić wzór Ito dla f = x^{n}, n ∈ ℕ. Dla f ≡ 1 wzór Ito jest oczywisty. Udowodnimy teraz, że jeśli wzór Ito jest prawdziwy dla wielomianu f to jest prawdziwy dla g(x) ≡ xf(x). Potrzebujemy wzorów

g′(x) = f(x) + xf′(x), g′′(x) = 2f′(x) + xf′′(x).

W istocie musimy wykazać, że

g(Z(t)) = Z(t)f(Z(t)) = Z(0)f(Z(0)) + ∫_{0}^{t}(f(Z) + Zf′(Z))dZ +

+\frac{1}{2} ∫_{0}^{t}(2f′(Z) + Zf′′(Z))d⟨M⟩ = g(Z(0)) + ∫_{0}^{t} g′(Z)dZ \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} g′′(Z)d⟨M⟩.

Zauważmy, że do Zf(Z) możemy zastosować wzór na całkowanie przez części. To znaczy

Zf(Z) = Z(0)f(Z(0)) + ∫ Zdf(Z) + ∫ f(Z)dZ + ⟨Z, f(Z)⟩.

Korzystając ze wzoru Ito dla f mamy równość

∫ Zdf(Z) = ∫ Zd(∫ f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫ f′′(Z)⟨M⟩)

Warto przypomnieć, że ∫ Zdf(Z) = ∫ Zd(f(Z) − f(0)). Na mocy Uwagi 12

∫ Zd(∫ f′(Z)dZ) = ∫ Zf′(Z)dZ.  (5.2)

Podobnie

∫ Zd(\frac{1}{2} ∫ f′′(Z)⟨M⟩) = \frac{1}{2} ∫ Zf′′(Z)d⟨M⟩.  (5.3)

Pozostaje obliczyć ⟨Z, f(Z)⟩. Ze wzoru Ito

f(Z) = f(Z(0)) + ∫ f′(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫ f′′(Z)d⟨M⟩ =

= f(Z(0)) + ∫ f′(Z)d(M + A) + \frac{1}{2} ∫ f′′(Z)d⟨M⟩

a zatem martyngałem lokalnym w rozkładzie f(Z) jest ∫ f′(Z)dM. Z definicji

⟨Z, f(Z)⟩ = ⟨M, ∫ f′(Z)dM⟩ = ⟨∫ 1dM, ∫ f′(Z)dM⟩.

Zatem z własności nawiasu skośnego

⟨Z, f(Z)⟩ = ∫ f′(Z)⟨M⟩.  (5.4)

Równości (5.2), (5.3), (5.4) dają Z(0)f(Z(0)) + ∫ Zdf(Z) + ∫ f(Z)dZ + ⟨Z, f(Z)⟩ =

= Z(0)f(Z(0)) + ∫ (f(Z) + Zf′(Z))dZ + \frac{1}{2} ∫ (f′(Z) + Zf′′(Z))⟨M⟩.

Zatem wzór Ito jest prawdziwy dla funkcji g. To kończy dowód twierdzenia.

■

Możemy sformułować wersję wielowymiarową twierdzenia Ito. Twierdzenie 10 Niech Z_{1}, ..., Z_{d} będą semimartyngałami ciągłymi, f : ℝ^{d} → ℝ klasy C^{2}. Oznaczmy Z = (Z_{1}, ..., Z_{d}), Z = Z(0) + M + A. Zachodzi równość

f(Z) = f(Z(0)) + ∫ ∇f(Z)dZ + \frac{1}{2} ∫ ∇^{2}f(Z)d⟨M⟩,

gdzie

∫ ∇f(Z)dZ = ∑_{i=1}^{d} \frac{∂f(Z)}{∂x_{i}},

∫ ∇^{2}f(Z)d⟨M⟩ = ∑_{i,j=1}^{d} ∫ \frac{∂^{2}f(Z)}{∂x_{i}∂x_{j}}d⟨M_{i}, M_{j}⟩.  (5.5)

Charakteryzacje procesu Wienera

6.1 Twierdzenie Levy’ego

Twierdzenie 11 ( Tw. Levy’ego) Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym takim, że M(0) = 0. Proces M jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy M^{2}(t) − t jest martyngałem lokalnym, to znaczy ⟨M⟩(t) = t.

Dowód. Jeśli M = W, to oczywiście ⟨M⟩ = t. Cała trudność jest w dowodzie twierdzenia przeciwnego.

(1) Pokażemy najpierw, że M ∈ M^{2,c}. Niech τ_{n} będzie lokalizacją martyngału lokalnego M. Z definicji M^{2}(t ∧ τ_{n}) − t ∧ τ_{n} jest martyngałem. Stosujemy nierówność Dooba

E sup_{s⩽t}M^{2}(s ∧ τ_{n}) = E sup_{s⩽t∧τ_{n}} M^{2}(s) ⩽ 4EM^{2}(t ∧ τ_{n}).

Z lematu Fatou dostajemy

E sup_{s⩽t}M^{2}(s) ⩽ lim_{n→∞} 4E(t ∧ tau_{n}) = 4 lim_{n→∞}(t ∧ τ_{n}) = 4t.

Czyli

E sup_{s⩽t}M^{2}(s ∧ τ_{n}) ⩽ E sup_{s⩽t}M^{2}(s) ⩽ 4t,  (6.1)

co w szczególności oznacza, że rodzina M^{2}(s) dla s ∈ [0, t] jest jednostajnie całkowalna. Niech s < t. Wiemy, że dla każdego n

E(M(t ∧ τ_{n})|F_{s}) = M(s ∧ τ_{n}),

zatem ponieważ M(t ∧ τ_{n}) → M(t), M(s ∧ τ_{n}) → M(s) p.n., więc

E(M(t)|F_{s}) ← E(M(t ∧ τ_{n})|F_{s}) = M(s ∧ τ_{n}) → M(s), p.n.

Korzystamy tu z faktu, że rodzina zmiennych (M(t ∧ τ_{n})) jest jednostajnie całkowalna (nierówność (6.1)). Pokazaliśmy, że M jest martyngałem oraz EM^{2}(t) < ∞, dla każdego t < ∞, co daje M ∈ M^{2,c}.

(2) Wystarczy pokazać, że dla każdego h ∈ ℝ, t ⩾ s mamy

E(e^{ih(M(t)−M(s))}|F_{s}) = e^{− \frac{1}{2} (t−s)h^{2}}  (6.2)

W szczególności

E(e^{ih(M(t)−M(s))}) = e^{− \frac{1}{2} (t−s)h^{2}}

czyli przyrosty M(t) − M(s) są gaussowskie. Pokażemy, że z (5.2) wynika niezależność M(t) − M(s) od σ-ciała F_{s}. Równoważnie dla każdej zmiennej η mierzalnej względem F_{s} zmienne M(t) − M(s), η są niezależne. Korzystamy z równości

E(e^{ih_{1}(M(t)−M(s))+ih_{2}η}) = E(E(e^{ih_{1}(M(t)−M(s))+ih_{2}η}|F_{s})) =

= E(e^{ih_{2}η}E(e^{ih_{1}(M(t)−M(s))}|F_{s})) = e^{− \frac{1}{2} (t−s)h_{1}^{2}}E(e^{ih_{2}η}) = E(e^{ih(M(t)−M(s))})E(e^{ih_{2}η}),

dla każdego h_{1}, h_{2} ∈ ℝ, co jest równoważne niezależności M(t) − M(s), η.

(3) Udowodnimy równość (5.2). Stosujemy wzór Ito do funkcji f(x) = e^{ihx}. Wzór Ito dla funkcji o wartościach zespolonych jest prostym uogólnieniem klasycznego wzoru Ito (sprawdza oddzielnie dla części rzeczywistej i urojonej). Mamy wzory

f′(x) = ihe^{ihx}, f′′(x) = −h^{2}e^{ihx}.

Zatem na mocy wzoru Ito zachodzi równość

e^{ihM(t)} = 1 + ih ∫_{0}^{t} e^{ihM(u)}dM(u) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{0}^{t} e^{ihM(u)}du =

= e^{ihM(s)} + ∫_{s}^{t} e^{ihM(u)}dM(u) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{s}^{t} e^{ihM(u)}du.

Wiemy, że M ∈ M^{2,c}, oraz |e^{ihM(u)}| = 1, zatem ∫ e^{ihM}dM ∈ L_{t}^{2}(M) (dla każdego t < ∞). Ustalmy dowolny zbiór A ∈ F_{s}. Z definicji martyngału wynika, że

E(1_{A} ∫_{s}^{t} e^{ihM}dM) = E(1_{A}(∫_{0}^{t} e^{ihM}dM − ∫_{0}^{s} e^{ihM}dM)) = 0.

Zatem

E(1_{A}e^{ihM(t)}) = E(1_{A}e^{ihM(s)}) − \frac{h^{2}}{2} E(1_{A} ∫_{0}^{t} e^{ihM(u)}du).

Oznaczmy g(r) := E(1_{A}e^{ihM(u+s)}). Możemy przepisać powyższe równanie

g(t − s) = g(0) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{s}^{t} g(u − s)du = g(0) − \frac{h^{2}}{2} ∫_{0}^{t−s} g(u)du.

Jest to równanie liniowe, które ma dokładnie jedno rozwiązanie

g(r) = g(0)e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)}.

Co oznacza, że

E(1_{A}e^{ihM(t)}) = e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)}E(1_{A}e^{ihM(s)}).

Ponieważ tak jest dla każdego A ∈ F_{s}, więc z definicji warunkowej wartości oczekiwanej

E(e^{ihM(t)}|F_{s}) = e^{− \frac{1}{2} h^{2}(t−s)}e^{ihM(s)}.

To kończy dowód twierdzenia. Z definicji proces gaussowski, ciągły o przyrostach niezależnych, taki, że EM(t) = 0, EM^{2}(t) = t (wnioski z (5.2) jest procesem Wienera.

■

Zachodzi następujące uogólnienie twierdzenia Levy’ego (na ćwiczenia).

Twierdzenie 12 Niech M_{1}, ..., M_{d} będą martyngałami lokalnymi, M_{i}(0) = 0, i = 1, ..., d. Wówczas M = (M_{1}, ..., M_{d}) jest d-wymiarowym procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

⟨M_{i}, M_{j}⟩(t) = δ_{i,j}t, dla 1 ⩽ i, j ⩽ d.

6.2 Martyngały eksponencjalne

Twierdzenie 13 Niech M będzie procesem ciągłym adaptowalnym, M(0) = 0. Wówczas M jest procesem Wienera względem filtracji (F_{t}) wtedy i tylko wtedy, gdy e^{λM(t)− \frac{λ^{2}}{2} t} dla każdego λ ∈ ℝ jest martyngałem lokalnym.

Dowód. Podobnie jak w twierdzeniu Levy’ego jeśli M = W, to w oczywisty sposób e^{λM(t)− \frac{λ^{2}}{2} t} jest martyngałem lokalnym dla każdego λ ∈ ℝ. Definiujemy momenty zatrzymania

τ_{n} = inf{t : |M(t)| ⩾ n} ∧ n.

Stąd |M(t ∧ τ_{n})| ⩽ n oraz

e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})} ⩽ e^{|λn|}.

Ograniczony martyngał lokalny jest martyngałem. Niech s < t, A ∈ F_{s}. Mamy równość

E(1_{A}e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})}) = E(1_{A}e^{λM(s∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (s∧τ_{n})})  (6.3)

Oznaczmy

g(λ) = e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})}.

Mamy

|g′(λ)| = |(M(t ∧ τ_{n}) − λ(t ∧ τ_{n}))g(λ)| ⩽ n(1 + |λ|)e^{n|λ|}.

W szczególności |g′(λ)| ⩽ n(1 + λ_{0})e^{nλ_{0}}, dla |λ| ⩽ λ_{0}. Zatem można przejść z różniczkowaniem pod znak całki w równości (6.3). Stąd

E(1_{A}(M(t ∧ τ_{n}) − λ(t ∧ τ_{n}))e^{λM(t∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (t∧τ_{n})}) =
= E(1_{A}(M(s ∧ τ_{n}) − λ(s ∧ τ_{n}))e^{λM(s∧τ_{n})− \frac{λ^{2}}{2} (s∧τ_{n})})

w pewnym otoczeniu 0 (|λ| < λ_{0}). Kładąc λ = 0 dostajemy

E(1_{A}M(t ∧ τ_{n})) = E(1_{A}M(s ∧ τ_{n})).

To oznacza, że E(M(t ∧ τ_{n})|F_{s}) = M(s ∧ τ_{n}), czyli M jest martyngałem lokalnym. Analogicznie dowodzi sie, że g′′(λ) ⩽ C(n, λ_{0}), dla |λ| < λ_{0}. Ponadto zachodzą wzory

g′′(λ) = (M(t ∧ τ_{n}) − λ(t ∧ τ_{n}))^{2}g(λ) − (t ∧ τ_{n})g(λ)

oraz

g′′(0) = M^{2}(t ∧ τ_{n}) − (t ∧ τ_{n}).

Zatem możemy dwukrotnie przejść z różniczkowaniem pod znak całki w równości (6.3). Dla λ = 0 dostajemy równość

E(1_{A}(M^{2}(t ∧ τ_{n}) − (t ∧ τ_{n}))) = E(1_{A}(M^{2}(s ∧ τ_{n}) − (s ∧ τ_{n}))),

czyli E(M^{2}(t∧τ_{n})−(t∧τ_{n})|F_{s}) = M^{2}(s∧τ_{n})−(s∧τ_{n}). Stąd M^{2}(t)−t jest martyngałem lokalnym. Na mocy twierdzenia Levy’ego dostajemy tezę.

■

6.3 Zatrzymywanie martyngałów lokalnych

Lemat 8 Jeśli M ∈ M_{loc}^{2,c}, to z P = 1 procesy M i ⟨M⟩ mają te same przedziały stałości. To znaczy

P( ⋃_{s,t∈[0,T]}({ω ∈ Ω : M(ω) stałe na [s, t]}△{ω ∈ Ω : ⟨M⟩(ω) stałe na [s, t]})) = 0,

gdzie przez △ rozumiemy różnicę symetryczną zbiorów.

Dowód. Można założyć, że F_{t} = F_{t+} = ⋂_{s>t} F_{s}, bo M jest martyngałem lokalnym, ciągłym. Ponadto można zakładać, że M ∈ M^{2,c}. Ponieważ M i ⟨M⟩ są ciągłe, więc wystarczy pokazać, że dla każdego r < s r, s ∈ ℚ zachodzi

{M : stałe na [r, s]} = {⟨M⟩ : [r, s]}, p.n.

Definiujemy moment zatrzymania

τ := inf{t : t > r ⟨M⟩(t) > ⟨M⟩(r)}.

To jest moment stopu gdyż F_{t} = F_{t+}. Zauważmy teraz, że 1(r, τ] jest ograniczonym procesem prognozowalnym. Ponadto

⟨∫ 1_{(r,τ]}dM⟩ = ∫ 1_{(r,τ]}d⟨M⟩ = 0

Jeśli N ∈ M^{2,c}, ⟨N⟩ ≡ 0, to N ≡ N(0) (sprawdzić). Zatem

M(τ ∧ t) − M(r) = ∫_{0}^{t} 1_{(r,τ]} = ∫_{0}^{t} 1_{(r,τ]}dM = 0.

To oznacza, że M(τ ∧ t) = M(r). Na odwrót M(ω) stałe na przedziale [s, t], to z Twierdzenia 6 ⟨M⟩(t) = ⟨M⟩(s).

■

Okazuje się, że każdy odpowiednio stopując martyngał M ∈ M_{loc}^{2,c} można otrzymać proces Wienera.

Twierdzenie 14 Niech M ∈ M_{loc,T}^{2,c}, T ⩽ ∞ będzie takie, że M(0) = 0 oraz ⟨M⟩(T) = ∞ p.n. Niech

τ_{t} := inf{s : ⟨M⟩(s) > t}.

Wówczas M(τ_{t}) jest procesem Wienera. W szczególności, jeśli X ∈ Λ_{T}^{2} , ∫_{0}^{T} X^{2}(s)ds = ∞ p.n., to τ_{t} = inf{s : ∫_{0}^{s} X^{2}(u)du > t} oraz ∫_{0}^{τ_{t}} X(u)dW (u) jest procesem Wienera.

Dowód. Zauważmy, że τ_{t} jest dobrze określony (prawostronna ciągłość filtracji F = F_{t+} oraz ⟨M⟩_{T} = ∞ p.n.). Z definicji ⟨M → (τ_{t}) = t. Ponadto z nierówności Dooba

E( sup_{s,t∈T} M^{2}(s)) ⩽ 4E⟨M⟩(τ_{t}) = 4t.

Zauważmy, że τ_{t} jest niemalejące, czyli jeśli t_{1} ⩽ t_{2}, to τ_{t_{1}} ⩽ τ_{t_{2}}. Proces M(τ_{t} ∧ s) jest martyngałem jednostajnie całkowalnym, stad M(τ ∧ s) = E(M(τ_{t})|F_{s}). W szczególności z równości Dooba dla martyngałów jeśli r < t, to τ_{r} < τ_{t} oraz

M(τ_{r}) = M(τ_{t} ∧ τ_{r}) = E(M(τ_{t})|F_{τ_{r}}).

Pokazaliśmy, że M(τ_{t}) jest martyngałem względem filtracji F_{τ_{t}}. Jest jasne, że M(τ_{t}) ma prawostronnie ciągłe trajektorie. Pokażemy, że M(τ_{t}) jest ciągły. W istocie problem może pojawić się jedynie jeśli lim_{r→t−} τ_{r}(ω) < τ_{t}(ω). Przypuśćmy, że r ↗ t, wówczas τ_{r}(ω) ↗ σ(ω) < τ_{t}(ω). Wiemy, że

τ_{r} ⩽ σ ⇒ r = ⟨M⟩(τ_{r}) ⩽ ⟨M⟩(σ) ⇒ t ⩽ ⟨M⟩(σ).

Z drugiej strony σ < τ_{t}, a zatem ⟨M⟩(σ) = t. To pokazuje, że ⟨M⟩(σ) = ⟨M⟩(τ_{t}) = t, czyli ⟨M⟩ jest stałe na odcinku [σ, τ_{t}]. Na moc Lematu 8 dostajemy, że M również jest stały na [σ, τ_{t}]. To dowodzi, że M(τ_{t−}) = M(σ) = M(τ+). Udowodniliśmy, że martyngał M(τ_{t}) jest ciągły. Rozważmy proces M^{2}(τ_{t}) − ⟨M⟩(τ_{t}). Pokażemy, że jest to martyngał względem filtracji (F_{t+}). Z nierówności Dooba wynika

E sup_{s⩽τ_{t}}|M^{2}(s) − ⟨M⟩(s)| = E sup_{s⩽τ_{t}}|M^{2}(τ_{t} ∧ s) − ⟨M⟩(τ_{t} ∧ s)| ⩽

⩽ E sup_{s⩽τ_{t}}M^{2}(s) + E⟨M⟩(τ_{t}) ⩽ 5t.  (6.4)

Ponieważ

M^{2}(τ_{t} ∧ s) − ⟨M⟩(τ_{t} ∧ s) = E(M^{2}(τ_{t}) − ⟨M⟩(τ_{t})|F_{s}),

więc z równości Dooba dla r < t (τ_{r} ← τ_{t})

M^{2}(τ_{r}) − ⟨M⟩(τ_{r}) = M^{2}(τ_{t} ∧ τ_{r}) − ⟨M⟩(τ_{t} ∧ τ_{r}) = E(M^{2}(τ_{t}) − ⟨M⟩(τ_{t})|F_{τ_{r}}).

Pokazaliśmy, że M(τ_{t}) jest martyngałem ciągłym, M^{2}(τ_{t})−⟨M → (τ_{t}) również, a ponadto ⟨M⟩(τ_{t}) = t. Z twierdzenia Levy’ego wynika, że M(τ_{t}) jest procesem Wienera względem filtracji F_{t+}.

■

Pozostaje pytanie co jeśli P(⟨M⟩(T) < ∞) > 0.

Uwaga 13 Jeśli P(⟨M⟩(T) < ∞) > 0, to jeśli V będzie niezależnym od M procesem Wienera, wówczas definiując

U(t) := M(τ_{t}) + V (t) − V (t ∧ ⟨M⟩(T)),

gdzie τ_{t}(ω) = T dla t ⩾ ⟨M⟩(T), oraz τ_{t} = inf{s : ⟨M⟩(s) > t} dla t < ⟨M⟩(T), otrzymamy proces Wienera.

Stochastyczne równania różniczkowe

7.1 Proces dyfuzji

Stochastycznym równaniem różniczkowym będziemy nazywać następujące równanie

dX(t) = b(X(t))dt + σ(X(t))dW (t), t ∈ [s, T],  (7.1)

gdzie X(s) = ξ, ξ ∈ F_{s}. Przez powyższy zapis należy rozumieć, że

X(t) = ξ + ∫_{s}^{t} b(X(u))du + ∫_{s}^{t} σ(X(u))dW (u).

Będziemy zakładać, że b, σ są ciągłe (czasami wystarczą słabsze założenia). W szczególności interesującym przypadkiem jest równanie

X(t) = x + ∫_{0}^{t} b(X(u))du + ∫_{0}^{t} σ(X(u))dW (u).

Przypuśćmy, że dla każdego x ∈ ℝ istnieje rozwiązanie X(t, x, ω), mierzalne względem (x, ω). Zamiast wielu procesów można rozważać jeden proces na przestrzeni \overline{Ω} = ℝ × Ω z filtracją \overline{F}_{t} = B(ℝ) ⊗ F_{t} z rodziną prawdopodobieństw P_{x} = δ_{x} ⊗ P. Proces zadajemy wzorem X(t, \overline{ω}) = X(t, x, ω), gdzie \overline{ω} = (x, ω). Zatem

P_{x}({(y, ω) : X(0, y, ω) = x}) = P(ω : X(0, ω) = x) = 1.

Niech ponadto E_{x}f(X(t)) = Ef(X(t, x)).

Twierdzenie 15 Załóżmy, że (\overline{Ω}, \overline{F}_{t}, X(t), P_{x}) jest jednorodną rodziną Markowa, której generatorem półgrupy jest operator A. Wówczas dla każdej f ∈ C_{0}^{2} (funkcje klasy C^{2} o nośnikach zwartych), f ∈ DA

Lf(y) = f′(y)b(y) + \frac{1}{2}σ^{2}(y)f′′(y).

Dowód. Stosujemy wzór Ito

f(X(t)) = f(x) + ∫_{0}^{t} f′(X(u))b(X(u))du +

+ ∫_{0}^{t} f′(X(u))σ(X(u))dW (u) + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(X(u))σ^{2}(X(u))du =

= f(x) + ∫_{0}^{t} f′(X(u))σ(X(u))dW (u) + ∫_{0}^{t} Lf(X(u))du.

Zauważmy, że jeśli f ∈ C_{0}^{2}, to ∫_{0}^{t} f′(X(u))σ(X(u))dW (u) jest martyngałem. Istotnie

E sup_{t⩽T}| ∫_{0}^{t} L(f′(X(u))σ(X(u)))^{2}du| < ∞.

Można też skorzystać z faktu, że każdy ograniczony martyngał lokalny jest martyngałem. Stąd

Ef(X(t)) = f(x) + ∫_{0}^{t} ELf(X(s))ds.

Używając notacji X(x, ω) możemy zapisać powyższą równość następująco

E_{x}f(X(t)) = f(x) + ∫_{0}^{t} E_{x}Lf(X(s))ds.

Niech B oznacza przestrzeń Banach funkcji borelowskich, ograniczonych. Przypomnijmy, że półgrupę T_{t} związaną z jednorodnym procesem Markowa zadaje się wzorem T_{t}f(x) := E_{x}f(X), dla każdego f ∈ B. Zatem

T_{t}f(x) − f(x) = ∫_{0}^{t} T_{s}Lf(x)ds,

dla f ∈ C_{0}^{2}. Stąd

∥T_{t}f − f∥ ⩽ t∥Lf∥ → 0, gdy t → 0,

gdzie ∥ · ∥ oznacza normę supremum. To oznacza, że C_{0}^{2} ⊂ B_{0} (podprzestrzeń B złożona z funkcji na których półgrupa jest mocno ciągła). Co więcej

|\frac{1}{t}(T_{t}f(x) − f(x)) − Lf(x)| = \frac{1}{t}| ∫_{0}^{t}(T_{s}Lf(x) − Lf(x))ds| ⩽

⩽ sup_{s⩽t}∥T_{s}Lf − Lf∥ → 0 gdy t → ∞.  (7.2)

Zbieżność wynika z faktu, że Lf ∈ C_{0} ⊂ B_{0}.

■

Definicja 15 Rodzinę Markowa taką, że C_{0}^{2} ⊂ D_{A} i Af = Lf dla f ∈ C_{0}^{2} nazywa się procesem dyfuzji z operatorem tworzącym L

Zwyczajowo b w równaniu (7.1) nazywa się współczynnikiem dryfu, σ współczynnikiem dyfuzji.

7.2 Istnienie rozwiązania

Rozpatrujemy równanie (7.1)

X(t) = ξ + ∫_{s}^{t} b(X(u))du + ∫_{s}^{t} σ(X(u))dW (u).

Będziemy zakładać, że b i σ spełniają warunek Lipschitza ze stałą K

|b(x) − b(y)| ⩽ K|x − y|, |σ(x) − σ(y)| ⩽ K|x − y|.  (7.3)

W szczególności wynika stąd, że

|b(x)|, |σ(x)| ⩽ K\sqrt{1 + x^{2}}.

Twierdzenie 16 Załóżmy, że b, σ spełniają warunek (7.3) (warunek Lipschitza ze stałą K). Jeśli istnieje rozwiązanie równania (7.1) to jest dokładnie jedno.

Dowód. Przypuśćmy, że X_{1}, X_{2} są rozwiązaniami równania (7.1). Stąd

X_{1}(t) − X_{2}(t) = ∫_{s}^{t}(b(X_{1}(u)) − b(X_{2}(u)))du + ∫_{s}^{t}(σ(X_{1}(u)) − σ(X_{2}(u)))dW (u).

(1) Załóżmy, że t → EX_{1}^{2}(t), t → EX_{2}^{2}(t) są ograniczone na przedziałach skończonych. Skorzystamy z nierówności (a + b)^{2} ⩽ 2a^{2} + 2b^{2}. Mamy

E(X_{1}(t) − X_{2}(t))^{2} ⩽ 2E ∫_{0}^{t}(b(X_{1}(u)) − b(X_{2}(u)))du +
+2E(∫_{s}^{t}(σ(X_{1}(u)) − σ(X_{2}(u)))dW (u))^{2}.

Oznaczmy

A := 2E ∫_{0}^{t}(b(X_{1}(u)) − b(X_{2}(u)))du, B := 2E(∫_{s}^{t}(σ(X_{1}(u)) − σ(X_{2}(u)))dW (u))^{2}.

Szacujemy z warunku (7.3) i z nierówności Schwarza

A ⩽ 2K^{2}E ∫_{s}^{t} |X_{1}(u) − X_{2}(u)|du ⩽ 2K^{2}(t − s) ∫_{s}^{t} E|X_{1}(u) − X_{2}(u)|^{2}du.

Przypomnijmy teraz, że σ^{2}(x) ⩽ K^{2}(1 + x^{2}). Stąd

E ∫_{s}^{t} σ^{2}(X_{1}(u))du ⩽ Kt + K ∫_{0}^{t} EX^{2}(u)du.

To oznacza, że proces ∫_{0}^{t}(σ(X_{1}(u))−σ(X_{2}(u)))dW (u) jest martyngałem (bo (σ(X_{1}(t))− σ(X_{2}(t))) ∈ L_{T}^{2} ). Korzystając dodatkowo z warunku (7.3) otrzymujemy

B = 2E ∫_{s}^{t}(σ(X_{1}(u)) − σ(X_{2}(u)))^{2}du ⩽ 2K^{2} ∫_{s}^{t} E(X_{1}(u) − X_{2}(u))^{2}du.

Pokazaliśmy, że

E(X_{1}(t) − X_{2}(t))^{2} ⩽ 2K^{2}(t − s + 1) ∫_{s}^{t} E(X_{1}(u) − X_{2}(u))^{2}du.

Oznaczmy C := 2K^{2}(t − s + 1). Indukcyjnie pokazujemy, że

E(X_{1}(t) − X_{2}(t))^{2} ⩽ C^{n} ∫_{s}^{t} ∫_{s}^{u_{1}} ... ∫_{s}^{u_{n−1}} E(X_{1}(u_{n}) − X_{2}(u_{n}))^{2}du_{n}...du_{1}.

Stąd

E(X_{1}(t) − X_{2}(t))^{2} ⩽ C^{n} \frac{|t − s|^{n}}{n!} sup_{s⩽u⩽t} E|X_{1}(u) − X_{2}(u)|^{2} → 0, gdy n → ∞.

To oznacza, że E|X_{1}(t) − X_{2}(t)|^{2} = 0, czyli X_{1}(t) = X_{2}(t) p.n. Z ciągłości wynika, że oba procesy są nieodróżnialne. Niech teraz X_{1}, X_{2} będą dowolnymi rozwiązaniami. Definiujemy

σ_{n} = \{ \begin{matrix}T & ξ ⩽ n \\ s & ξ > n \end{matrix}

τ_{n} = inf{t ⩾ s : |X_{1}(t)| + |X_{2}(t)| ⩾ n} ∧ T ∧ σ_{n}

Z definicji wynika, że |X_{i}(t)|1_{(s,τ_{n}]}(t) ⩽ n dla i ∈ {1, 2}. Korzystając z nierówności σ^{2}(x) ⩽ K^{2}(1 + x^{2}) dostajemy

σ^{2}(X_{i}(t))1_{(s,τ_{n}]}(t) ⩽ K^{2}(1 + X_{i}^{2}(t))1_{(s,τ_{n}]}(t) ⩽ K^{2}(1 + n^{2}).

Zachodzi równość

X_{1}(t ∧ τ_{n}) − X_{2}(t ∧ τ_{n}) = ∫_{s}^{t∧τ_{n}}(b(X_{1}(u)) − b(X_{2}(u)))du +

+ ∫_{s}^{t∧τ_{n}}(σ(X_{1}(u)) − σ(X_{2}(u)))dW (u) = ∫_{s}^{t}(b(X_{1}(u)) − b(X_{2}(u)))1_{(s,τ_{n}]}(u)du +

+ ∫_{s}^{t}(σ(X_{1}(u)) − σ(X_{2}(u)))1_{(s,τ_{n}]}(u)dW (u).

Rozumując jak w części pierwszej dostajemy

E|X_{1}(t ∧ τ_{n}) − X_{2}(t ∧ τ_{n})|^{2} = 0.

Czyli X_{1}(t ∧ τ_{n}) = X_{2}(t ∧ τ_{n}) p.n.. Przechodząc z n do nieskończoności, dostajemy X_{1}(t) = X_{2}(t) p.n. Z ciągłości wynika nieodróżnialność.

■

Twierdzenie 17 Jeśli Eξ^{2} < ∞, b, σ spełniają warunek (7.3), to równanie stochastyczne (7.1) ma rozwiązanie (dokładnie jedno), przy czym EX^{2}(t) < ∞ i funkcja t → EX^{2}(t) jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Dowód. (1) Definiujemy X_{0}(t) = ξ, t ⩾ s oraz

X_{n}(t) = ξ + ∫_{s}^{t} b(X_{n−1}(u))du + ∫_{s}^{t} σ(X_{n−1}(u))dW (u).

Z definicji X_{n} jest procesem prognozowalnym (bo jest ciągły i adaptowalny). Ponadto funkcja t → EX_{n}^{2}(t) jest ograniczona na przedziałach ograniczonych (indukcja i wzór izometryczny dla całek Ito

(2) Szacujemy E(X_{n+1}(t) − X_{n}(t))^{2}. Dla n = 0

E(X_{1}(t) − X_{0}(t))^{2} = E(∫_{s}^{t} b(ξ)du + ∫_{s}^{t} σ(ξ)dW (u))^{2} ⩽

⩽ 2Eb^{2}(ξ)(t − s)^{2} + Eσ^{2}(ξ)(t − s) ⩽ 2K^{2}((t − s)^{2} + (t − s))(1 + Eξ^{2}) = C_{1}

Przypadek n > 0. Analogicznie jak w dowodzie jednoznaczności (Twierdzenie 16) szacujemy

E(X_{n+1}(t) − X_{n}(t))^{2} ⩽ 2E(∫_{s}^{t}(b(X_{n}(u)) − b(X_{n−1}(u)))du)^{2} +
+2E(∫_{s}^{t} σ(X_{n}(u)) − σ(X_{n−1}(u))du)^{2} ⩽ C ∫_{s}^{t} E(X_{n}(u) − X_{n−1}(u))^{2}du ⩽
⩽ C^{n} ∫_{s}^{t} ∫_{s}^{u_{1}} ... ∫_{s}^{u_{n−1}} E(X_{n}(u_{1}) − X_{0}(u_{n}))^{2}du_{n}...du_{1},

gdzie C = 2K^{2}(1 + t − s). Korzystając z obliczeń dla n = 0 dostajemy

E(X_{n+1}(t) − X_{n}(t))^{2} ⩽ C_{1}C^{n} \frac{(u − s)^{n}}{n!} .

dla każdego s ⩽ u ⩽ t. Zatem X_{n}(t) jest zbieżny w L_{2}(Ω) jednostajne na odcinku [s, t]. Istotnie niech m > n

sup_{s⩽u⩽t} \sqrt{E|X_{m}(u) − X_{n}(u)|^{2}} ⩽ ∑_{k=n}^{m} \sqrt{C_{1}C^{k} \frac{(t − s)^{k}}{k!}} → 0,

gdy m, n → ∞. Pokażemy, że X_{n}(t) zbiega z P = 1 jednostajnie na przedziałach ograniczonych. Korzystając z faktu, że dla dowolnych zmiennych losowych ξ i η

P(|ξ + η| > α) ⩾ P(|ξ| > \frac{α}{2}) + P(|η| > \frac{α}{2})

dostajemy

P( sup_{s⩽t⩽v} |X_{n+1}(t) − X_{n}(t)| > \frac{1}{2^{n}}) ⩽

⩽ P( sup_{s⩽t⩽v} | ∫_{s}^{t}(b(X_{n}(u)) − b(X_{n−1}(u)))du| > \frac{1}{2^{n+1}} ) +

+P( sup_{s⩽t⩽v} | ∫_{s}^{t}(σ(X_{n}(u)) − σ(X_{n−1}(u)))dW (u)| > \frac{1}{2^{n+1}} ).

Definiujemy

A := P( sup_{s⩽t⩽v} | ∫_{s}^{t}(b(X_{n}(u)) − b(X_{n−1}(u)))du| > \frac{1}{2^{n+1}} ),

B := P( sup_{s⩽t⩽v} | ∫_{s}^{t}(σ(X_{n}(u)) − σ(X_{n−1}(u)))dW (u)| > \frac{1}{2^{n+1}} ).

Stosujemy nierówność Czebyszewa

A ⩽ P(∫_{s}^{v} |b(X_{n}(u)) − b(X_{n−1}(u))|du > \frac{1}{2^{n+1}} ) ⩽

⩽ 2^{2(n+1)}E(∫_{s}^{v} |b(X_{n}(u)) − b(X_{n−1}(u))|du)^{2} ⩽

⩽ 4^{n+1}(v − s)K^{2} ∫_{s}^{v} E(X_{n}(u) − X_{n−1}(u))^{2}du ⩽

⩽ 4^{n+1}(v − s)K^{2} ∫_{s}^{v} C_{1}C^{n−1} \frac{(u − s)^{n−1}}{(n − 1)!} du = C_{1}C^{n}4^{n+1} \frac{(v − s)^{n+1}}{n!} ,

gdzie C jest stałą zależącą od v.

B ⩽ 2^{2(n+1)}E(∫_{s}^{v}(σ(X_{n}(u)) − σ(X_{n−1}(u)))dW (u))^{2} ⩽

⩽ 4^{n+1} ∫_{s}^{v} E(σ(X_{n}(u)) − σ(X_{n−1}(u)))^{2}du ⩽ 4^{n+1}K^{2} ∫_{s}^{v} E(X_{n}(u) − X_{n−1}(u))^{2}du ⩽

⩽ 4^{n+1}K^{2}C_{1}C^{n−1} \frac{(v − s)^{n}}{n!} .

Wynika stąd, że

∑_{n=1}^{∞} P( sup_{s⩽t⩽v} |X_{n+1}(t) − X_{n}(t)| > \frac{1}{2^{n}}) < ∞.

Z lematu Borela-Canteli wynika, że z P = 1 istnieje n_{0} (losowe) takie, że dla n ⩾ n_{0}

sup_{s⩽t⩽v} |X_{n+1}(t) − X_{n}(t)| ⩽ \frac{1}{2^{n}} .

Wynika stąd, że dla m > n ⩾ n_{0}

sup_{s⩽t⩽v} |X_{m}(t) − X_{n}(t)| ⩽ ∑_{k=n}^{m} \frac{1}{2^{n}} .

Pokazaliśmy, że X_{n}(t) zbiega z P = 1 jednostajnie na przedziałach ograniczonych.

(4) Definiujemy X(t) = lim_{n→∞} X_{n}(t) tam gdzie ta zbieżność zachodzi oraz X(t, ω) = ξ(ω) dla pozostałych ω ∈ Ω. Wynika stąd, że X(t) jest procesem ciągłym i adaptowalnym, czyli prognozowalnym. Pozostaje wykazać, że t → EX^{2}(t) jest funkcją ograniczoną na przedziałach ograniczonych. Korzystamy z dwóch faktów. Po pierwsze t → EX_{n}^{2}(t) jest funkcją ograniczoną na przedziałach ograniczonych, po drugie X_{n} → X w L^{2} jednostajnie na przedziałach ograniczonych. Istotnie

E(X(t) − X_{n}(t))^{2} ⩽ 2E(∫_{s}^{t}(b(X(u)) − b(X_{n}(u)))du)^{2} +
+2E(∫_{s}^{t}(σ(X(u))) − σ(X_{n}(u))dW (u))^{2}.

Analogicznie jak w punkcie (2) dowodzimy, że

sup_{s⩽u⩽t} \sqrt{E(X(u) − X_{n}(u))^{2}} ⩽ ∑_{k=n}^{∞} \sqrt{C_{1}C^{k} \frac{(t − s)^{k}}{k!}} → 0,

gdy n → ∞. To kończy dowód twierdzenia.

■

7.3 Proces Markowa

Stwierdzenie 7 Załóżmy, że b, σ spełniają warunek Lipschitza (7.3). Wówczas istnieje proces X : ℝ_{+}×ℝ×Ω → ℝ taki, że dla każdego t ⩾ 0, X jako funkcja na [0, t]×ℝ×Ω jest mierzalny względem B[0, t] ⊗ B(ℝ) ⊗ F_{t}^{W}. Ponadto X(·, x, ·) jest rozwiązaniem równania (7.1) w warunkiem początkowym X(0) = x.

Twierdzenie 18 Przy założeniach jak wyżej, dla każdego x, X(·, x, ·) jest procesem Markowa, jednorodnym w czasie o tej samej funkcji przejścia (rodzina Markowa).

Dowód. Proces X(·, x, ·) spełnia równanie

X(t, x) = x + ∫_{0}^{t} b(X(u, x))du + ∫_{0}^{t} σ(X(u, x))dW (u).

Zatem

X(t, x) = X(s, x) + ∫_{s}^{t} b(X(u, x))du + ∫_{s}^{t} σ(X(u, x))dW (u).

Stąd wynika, że proces Markowa X ma jednorodną funkcje przejścia (sprawdzić!). Co więcej P (t, y, Γ) = P(X(t, x) ∈ Γ).

■

Wniosek 6 Niech σ, b spełniają warunek Lipschitza (7.3). Jedynym rozwiązaniem równania (7.1) jest proces dyfuzji w ℝ z operatorem tworzącym

L = b\frac{∂}{∂x} + \frac{1}{2}σ^{2} \frac{∂^{2}}{∂x^{2}}

Na przykład jedynym rozwiązaniem równania

dX(t) = λX(t)dW (t), X(0) = x

jest proces X(t) = xe^{λW (t)− \frac{λ^{2}}{2} t}. Operatorem towarzyszącym L jest w tym przypadku Lf = \frac{1}{2}λ^{2}x^{2}f′′(x).

7.4 Przypadek wielowymiarowy

Niech W = (W_{1}, ..., W_{d}) będzie procesem Wienera w ℝ^{d}, b(x) ∈ ℝ^{m}, σ(x) = [σ(x)]_{n×d}. Przypomnijmy, że proces stochastyczny X(t), t ∈ T spełnia równanie (7.1), jeśli

X(t) = ξ + ∫_{0}^{t} b(X(s))ds + ∫_{0}^{t} σ(X(s)))dW (s),

gdzie ξ ∈ ℝ^{m}. Analogicznie jak w przypadku jednowymiarowym dowodzi się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 19 Załóżmy, że b, σ, spełniają warunek Lipschitza, ξ ∈ L^{2}(Ω). Wówczas równanie (7.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Stosując wzór Ito dla f : ℝ^{m} → ℝ klasy C^{2} dostajemy

f(X(t)) = f(ξ) + ∑_{i=1}^{m} ∫_{0}^{t} \frac{∂f(X(s))}{∂x_{i}}dX_{i}(s) + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{m} ∫_{0}^{t} \frac{∂^{2}f(X(s))}{∂x_{i}∂x_{j}}d⟨M_{i}, M_{j}⟩(s),

gdzie

⟨M_{i}, M_{j}⟩ = ∑_{k=1}^{d} ∫_{0}^{t} σ_{ik}(X(s))σ_{jk}(X(s))ds, 1 ⩽ i, j ⩽ m.

Równoważnie

[⟨M_{i}, M_{j}⟩]_{1⩽i,j⩽m} = ∫_{0}^{t} σ(X(s))σ^{∗}(X(s))ds.

Oznaczmy a = σσ^{∗}. Dostajemy równość

f(X(t)) = f(ξ) + M(t) + ∫_{0}^{t} ∑_{i=1}^{m} ∫_{0}^{t} \frac{∂f(X(s))}{∂x_{i}}b_{i}(X(s))ds +

+\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} ∑_{i,j=1}^{m} \frac{∂^{2}f(X(s))}{∂x_{i}∂x_{j}}a_{i,j}(X(s))ds,

gdzie

M(t) := ∫_{0}^{t} ∑_{i=1}^{m} \frac{∂_{i}f(X(s))}{∂x_{i}}b_{i}(X(s))dW_{i}(s)

jest martyngałem lokalnym. Definiujemy operator różniczkowy wzorem

Lf := ∑_{i=1}^{m} b_{i} \frac{∂f}{∂x_{i}} + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{m} a_{i,j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}}

(operator eliptyczny drugiego rzędu). Udowodniliśmy równość

f(X(t)) = f(ξ) + M(t) + ∫_{0}^{t} Lf(X(s))ds.

Niech f ∈ C_{0}^{2}(ℝ^{m}). Wówczas M jest martyngałem, a ponadto jeśli przez A oznaczamy generator półgrupy dla rodziny Markowa X(t, x, ω), to f ∈ D_{A} oraz Af = Lf. Co oznacza, że rozwiązania równania (7.1) tworzą proces dyfuzji w ℝ^{m}. Analogicznie można rozważyć przypadek kiedy współczynniki b, σ zależą od czasu.

Twierdzenie 20 Niech b(·, ·), σ(·, ·) mierzalne i b(t, ·), σ(t, ·), spełniają warunek Lipschitza ze stałą niezależną do t, to równanie

dX(t) = b(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW (t), X_{0} = ξ ∈ L^{2}(Ω)

ma dokładnie jedno rozwiązanie (proces Markowa, niekoniecznie jednorodny w czasie).

Twierdzenie Girsanowa

8.1 Zamiana miary

Lemat 9 Niech M ∈ M_{loc}^{2,c}, M(0) = 0. Definiujemy

Z(t) = exp(M(t) − \frac{1}{2}⟨M⟩(t))

Proces Z(t), t ∈ [0, T] T < ∞ jest martyngałem lokalnym. Proces Z(t) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy EZ(T) = 1.

Dowód. Korzystając ze wzoru Ito dostajemy, że Z(t) jest martyngałem lokalnym. Jest jasne, że jeśli Z jest martyngałem, to EZ(T) = 1 (bo Z(0) = 1). Pozostaje zatem udowodnić fakt przeciwny. Ponieważ Z jest martyngałem lokalnym oraz Z ⩾ 0, więc Z jest nadmartyngałem (udowodniliśmy taki fakt na ćwiczeniach). Z założenia EZ(T) = 1. Stąd

1 = EZ(0) ⩾ EZ(t) ⩾ EZ(T) = 1, 0 ⩽ t ⩽ T.

Otrzymujemy EZ(t) = 1. Korzystając z faktu, że Z jest nadmartyngałem, dostajemy Z(t) − E(Z(T)|F_{t}) ⩾ 0. Z drugiej strony

E(Z(t) − E(Z(T)|F_{t})) = EZ(t) − EZ(T) = 0.

To oznacza, że Z(t) = E(Z(T)|F_{t}) p.n., co kończy dowód.

■

Zauważmy, że w szczególności biorąc Y ∈ Λ_{T}^{2} otrzymujemy, że

Z(t) = exp(∫_{0}^{t} Y (s)dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Y^{2}(s)ds).  (8.1)

jest martyngałem lokalnym.

Twierdzenie 21 (Girsanowa) Niech Y, Z spełniają równanie (8.1). Jeśli EZ(T) = 1, to proces V (t) = W (t) − ∫_{0}^{t} Y (s)ds, t ∈ [0, T], jest procesem Wienera w przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q), gdzie

Q(A) = E(1_{A}Z(T)), A ∈ F

Dowód. Zauważmy, że Q jest miarą probabilistyczną (bo EZ(T) = 1). Ponadto proces V jest ciągłym, adaptowalnym procesem takim, że V (0) = 0. Wystarczy pokazać, że

U(t) = exp(λV (t) − \frac{1}{2}λ^{2}t), λ ∈ ℝ,

jest martyngałem lokalnym (względem miary Q). Zauważmy, że wystarczy udowodnić, że U(t)Z(t) jest martyngałem lokalnym względem miary P. Istotnie, niech τ_{n} będzie ciągiem lokalizującym τ_{n} ↗ T dla U(t)Z(t). Skoro U(t)Z(t) jest martyngałem lokalnym, to dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ zachodzi równość

1 = E(U(τ_{n} ∧ τ)Z(τ_{n} ∧ τ)).

Z Lematu 9 wiemy, że

Z(τ_{n} ∧ τ) = E(Z(T)|F_{τ∧τ_{n}}).

Zatem

1 = E(U(τ_{n} ∧ τ)E(Z(T)|F_{τ∧τ_{n}})) = E(U(τ_{n} ∧ τ)Z(T)).  (8.2)

Stąd 1 = E_{Q_{T}} U(τ_{n} ∧ τ), czyli U jest martyngałem lokalnym względem miary Q. Pokażemy, że UZ jest martyngałem lokalnym. Z definicji

U(t)Z(t) = exp(λV (t) − \frac{1}{2}λ^{2}t) exp(∫_{0}^{t} Y (s)dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Y^{2}(s)ds) =

= exp(λW (t) + ∫_{0}^{t} Y dW − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t}(2λY (s) + λ^{2} + Y^{2}(s))ds) =

= exp(∫_{0}^{t}(λ + Y (s))dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t}(λ + Y (s))^{2}ds).

Powyższy proces jest rzecz jasna, martyngałem lokalnym (patrz równanie (8.1)).

■

8.2 Wnioski z twierdzenia Girsanowa

Twierdzenie 22 Niech Y = (Y_{1}, ..., Y_{d}), Y_{j} ∈ Λ^{2}, W proces Wienera w ℝ^{d}. Definiujemy

Z(t) = exp(∫_{0}^{t} Y dW − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} |Y (s)|^{2}ds),

gdzie ∫_{0}^{t} Y dW = ∑_{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} Y_{j}(s)dW_{j}(s). Jeśli EZ(T) = 1, to zachodzi teza twierdzenia Girsanowa.

Uwaga 14 Przypuśćmy Z(t) jest martyngałem, to znaczy EZ(t) = 1, (Y, W jak w twierdzeniu Girsanowa). Wówczas dla każdego T > 0 miara Q_{T} jest prawdopodobieństwem na F_{T}.

Można się zastanawiać czy prawdopodobieństwa Q_{T} można wybrać tak, aby pokrywały się na F_{∞}. Okazuje się, że na ogół jest to niemożliwe. Natomiast jeśli F_{t} = F_{t}^{W}, to istotnie takie przedłużenie da się skonstruować.

Stwierdzenie 8 Niech Z(t), t ∈ ℝ_{+} będzie martyngałem. Wówczas istnieje dokładnie jedno prawdopodobieństwo Q na F_{∞} takie, że dla każdego T > 0 i A ∈ F_{T}^{W} zachodzi

Q(A) = Q_{T} (A) = E(1_{A}Z(T)).

Dowód. Niech t_{1}, ..., t_{n} ∈ ℝ_{+}, t_{1}, ..., t_{n} ⩽ T, B ∈ B(ℝ^{n}). Definiujemy

μ_{t_{1},...,t_{n}}(B) = Q_{T} ((W (t_{1}), ..., W (t_{n})) ∈ B).

Ta definicja nie zależy od T ⩾ t_{1}, ..., t_{n}. Istotnie jeśli T_{1} > T_{2} ⩾ t_{1}, ..., t_{n}, to F_{T_{2}} ⊂ F_{T_{1}}. Ponieważ Z jest martyngałem, więc dla A = (W (t_{1}), ..., W (t_{n})) ∈ B dostajemy

Q_{T_{1}}(A) = E(1_{A}Z_{T_{1}}) = E(1_{A}E(Z_{T_{1}}|F_{T_{2}})) = E(1_{A}Z_{T_{2}}) = Q_{T_{2}}(A).

Zauważmy, że μ_{t_{1},...,t_{n}} spełnia warunki zgodności Kołmogorowa. Na mocy Twierdzenia Kołmogorowa istnieje miara probabilistyczna μ na (ℝ^{ℝ_{+}}, B(ℝ^{ℝ_{+}})) taka, że

μ({x : (x(t_{1}), ..., x(t_{n}))} ∈ B}) = μ_{t_{1},...,t_{n}}(B).

Niech A ∈ F_{∞}^{W}, wówczas z definicji procesu W istnieje zbiór Γ ∈ B(ℝ^{ℝ_{+}}) taki, że

A = {ω : W (·, ω) ∈ Γ}.

Definiujemy Q(A) = μ(Γ). Niech C oznacza podzbiór ℝ^{ℝ_{+}} złożony z wszystkich funkcji ciągłych. Ponieważ μ_{∗}(C) = 1 (miara zewnętrzna), więc miara Q jest dobrze zdefiniowana (nie zależy od wyboru zbioru Γ). Jest jasne, że spełnia żądane warunki.

■

Wniosek 7 Przyjmijmy założenia ze Stwierdzenia 8. Wówczas

V (t) = W (t) − ∫_{0}^{t} Y (s)ds

jest procesem Wienera względem miary Q (w przestrzeni (Ω, F_{∞}^{W} , P) ). Miara Q (zdefiniowana w Stwierdzeniu 8) spełnia

Q((V (t_{1}), ..., V (t_{n})) ∈ B) = Q_{T} ((V (t_{1}), , ..., V (T_{n})) ∈ B), na [0, T]

gdzie {V (t_{1}), ..., V (t_{n})) ∈ B} ∈ F_{T}^{W}.

Uwaga 15 Miara Q na ogół nie jest ciągła względem miary P.

Istotnie rozważmy przykład. Niech Y (t) = 1, V (t) = W (t) − t, wiemy ponadto, że Z = e^{W (t)− \frac{1}{2} t} jest martyngałem. Zauważmy, że skoro V jest procesem Wienera względem Q, to Q(lim_{t→∞} \frac{V (t)}{t} = 0) = 1. Z drugiej strony

Q( lim_{t→∞} \frac{V (t)}{t} = 0) = Q( lim_{t→∞} \frac{W (t)}{t} = 1).

Jest jasne, że

P( lim_{t→∞} \frac{W (t)}{t} = 1) = 0.

Mamy zatem zbiór A taki, że P(A) = 0, Q(A) = 1. Pokażemy teraz pożyteczne zastosowanie twierdzenia Girsanowa. Rozważmy proces Wienera z dryfem, to znaczy dla λ ∈ ℝ definiujemy V (t) = W (t) − λt. Wiemy, że

Z(t) = exp(λW (t) − \frac{1}{2}λ^{2}t)

jest martyngałem zatem z twierdzenia Girsanowa V jest procesem Wienera względem Q na F_{t}^{W}. To oznacza, że

W (t) = V (t) + λt, względem Q.

Rozważmy moment zatrzymania względem filtracji (F_{t}^{W})_{t}, τ < ∞. Korzystając z twierdzenia Dooba, otrzymujemy

Q(τ ⩽ t) = E(1_{τ⩽t}Z(t)) = E(1_{τ⩽t}E(Z(t)|F_{τ∧t})) =
= E(1_{τ⩽t}Z(τ ∧ t)) = E(1_{τ⩽t}e^{λW (τ)− \frac{1}{2} λ^{2}τ}).

Udowodniliśmy, że

Q(τ ⩽ t) = E(1_{τ⩽t}e^{λW (τ)− \frac{1}{2} λ^{2}τ}).

Wniosek 8 Równość Walda

E(e^{λW (τ)− \frac{1}{2} λ^{2}τ}) = 1 ⇔ Q(τ < ∞) = 1.

Rozpatrzmy τ = τ_{a} = inf{t : W (t) = a} = inf{t : V (t) + λt = a}, gdzie a ∈ ℝ. Wiemy, że τ_{a} ma gęstość zadaną wzorem

g_{a}(r) = \frac{|a|}{\sqrt{2π}r^{3}} e^{− \frac{a^{2}}{2r}} 1_{r>0}.

Zatem

Q(τ_{a} ⩽ t) = E(1_{τ_{a}⩽t}e^{λW (τ_{a})− \frac{1}{2} λ^{2}τ_{a}}) =

= ∫_{0}^{t} e^{λa− \frac{1}{2} λ^{2}r}g_{a}(r)dr = ∫_{0}^{t} \frac{|a|}{\sqrt{2π}r^{3}} e^{λa− \frac{1}{2} λ^{2}r− \frac{a^{2}}{2r}} dr =

= ∫_{0}^{t} \frac{|a|}{\sqrt{2π}r^{3}} e^{− \frac{1}{2r} (−2λar−λ^{2}r^{2}−a^{2})}dr = ∫_{0}^{t} \frac{|a|}{\sqrt{2π}r^{3}} e^{− \frac{1}{2r} (a−λr)^{2}}dr.

Korzystając z gęstości rozkładu momentu zatrzymania τ_{a}, obliczyliśmy rozkład τ_{a} względem Q, czyli rozkład momentu dojścia do a dla procesu z dryfem. To pozwoli nam znaleźć rozkład max_{s⩽t}(W (s) + λs). Istotnie mamy

P(max_{s⩽t}(W (s) + λs) < a) = Q(max_{s⩽t}(V (s) + λs) < a) = Q(τ_{a} > t).

Można pokazać, że

Ee^{− \frac{1}{2} λ^{2}τ_{a}} = e^{−|a||λ|}.

Istotnie wystarczy skorzystać z faktu, że e^{λW (t)− \frac{1}{2} λ^{2}t} jest martyngałem. Stąd

Q(τ_{a} < ∞) = e^{λa}Ee^{− \frac{1}{2} λ^{2}τ_{a}} = e^{λa−|aλ|} = 1,

wtedy i tylko wtedy, gdy λa ⩾ 0.

Twierdzenie 23 (Novikov) Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym, M(0) = 0. Niech

Z(t) = exp(M(t) − \frac{1}{2}⟨M⟩(t)), t ∈ ℝ_{+}.

Jeżeli E exp(\frac{1}{2}⟨M⟩(t)) < ∞ dla każdego t ∈ ℝ_{+}, to Z(t) jest martyngałem.

Wniosek 9 Jeśli Y ∈ Λ^{2}. Jeżeli E exp(\frac{1}{2} ∫_{0}^{T} Y^{2}(s)ds) < ∞, to

E exp(∫_{0}^{t} Y (s)dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Y^{2}(s)ds) = 1

jest martyngałem.

Dowód. Bierzemy M(t) = ∫_{0}^{t} 1_{[0,T]}Y (s)ds w twierdzeniu Novikova.

■

8.3 Mocne i słabe rozwiązania

Rozważmy równanie

dX(t) = b(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW (t),  (8.3)

gdzie W jest procesem Wienera w ℝ^{m}, b(t, x) ∈ ℝ^{d}, σ(t, x) jest macierzą m × d wymiarową.

Definicja 16 Niech (Ω, F, P) przestrzeń probabilistyczna, W proces Wienera m wymiarowy w tej przestrzeni. Mówimy, że równanie (8.3) ma mocne rozwiązanie jeśli istnieje proces X = (X(t))_{t∈ℝ_{+}} adaptowalny do (F_{t}^{W}) taki, że (8.3) zachodzi. Proces X nazywamy mocnym rozwiązaniem.

Definicja 17 Mówimy, że równanie (8.3) ma słabe rozwiązanie, jeśli na przestrzeni (Ω, F, P) z filtracją F_{t} istnieje m-wymiarowy proces Wienera (adaptowalny do F_{t}) oraz proces X adaptowalny do F_{t} spełniający (8.3). Parę (X, W) nazywamy słabym rozwiązaniem.

Definicja 18 Słabe rozwiązanie (X, W) nazywamy mocnym, jeśli X jest adaptowalne do filtracji \overline{F}_{t}^{W} (uzupełnienia filtracji związanej z procesem W).

Definicja 19 Mówimy, że rozwiązanie równania (8.3) jest jednoznaczne w sensie trajektorii, jeśli dla każdej pary (X, W), (X′, W′) słabych rozwiązań na tej samej przestrzeni probabilistycznej X, X′ są nieodróżnialne.

Definicja 20 Mówimy, że rozwiązanie równania (8.3) jest jednoznaczne w sensie rozkładów, jeśli dla każdej pary (X, W), (X′, W′) słabych rozwiązań procesy X, X′ mają te same rozkłady skończenie wymiarowe.

(1) Na przykład jeśli b, σ spełniają warunek Lipschitza ze względu na x (ze stałą niezależna od t), to dla każdego (Ω, F, P) i W procesu Wienera istnieje mocne rozwiązanie, jednoznaczne w sensie trajektorii.

(2) Przykład Tanaki. Jak się okazuje, jeśli funkcje a, σ są ograniczone, to równanie (8.3) ma słabe rozwiązanie. Rozważmy następujący przykład

dX(t) = sgnX(t)dW (t), X(0) = 0,  (8.4)

gdzie

sgnx = \{ \begin{matrix}1 & x ⩾ 0 \\ −1 & x < 0 \end{matrix}

Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, W′ procesem Wienera. Powinniśmy skonstruować parę X, W adaptowalną do filtracji zadanej przez W′ spełniającą równanie (8.4). Zauważmy najpierw, że

W (t) := ∫_{0}^{t} sgnW′(s)dW′(s)

jest martyngałem ciągłym, przyjmującym wartość 0 w 0. Niech

⟨W ⟩(t) = ∫_{0}^{t}(sgnW′(s))^{2}ds = t.

Ponadto W ∈ L_{t}^{2}, co oznacza (charakteryzacja Levy’ego), że W jest procesem Wienera. Zauważmy teraz, że

∫ sgnW′dW = ∫ sgnW′sgnW′dW′ = ∫ dW′ = W′.

Czyli proces X(t) := W′(t) spełnia równanie

X(t) = ∫_{0}^{t} sgnX(s)dW (s).

Udowodniliśmy, że para (W′, W) jest słabym rozwiązaniem równania (8.4) (proces W jest adaptowalny do W′, ale niekoniecznie W′ jest adaptowalny do W). Jeśli (X, W) jest słabym rozwiązaniem (8.4), to X jest ciągłym martyngałem 0 w 0, takim, że ⟨X⟩(t) = t, czyli X jest procesem Wienera. To oznacza, że słabe rozwiązanie jest jednoznaczne w sensie rozkładów. Z drugiej strony jeśli (X, W) jest rozwiązaniem (8.4), to −X jest również rozwiązaniem, a ponadto X i −X nie są nieodróżnialne w sensie trajektorii. Jak się okaże oznacza to, że nie ma mocnego rozwiązania równania (8.4).

(3) Przykład Girsanowa. Niech α > 0, d = m = 1. Rozważmy równanie

dX(t) = |X(t)|^{α}dW (t), X(0) = 0.  (8.5)

Czyli X(t) = ∫_{0}^{t} |X(s)|^{α}dW (s). Zauważmy, że X ≡ 0 jest mocnym rozwiązaniem równania (8.5). Jak się okazuje, jeśli α ⩾ \frac{1}{2}, to zachodzi jednoznaczność w sensie trajektorii, natomiast dla 0 < α < \frac{1}{2} nie ma jednoznaczności w sensie rozkładu. Rozważmy proces Wienera Z. Następujący proces jest dobrze określony

X(t) = ∫_{0}^{t} |Z(s)|^{−α}dZ(s).

Co więcej jeśli 0 < 2α < 1

E ∫_{0}^{t} |Z(s)|^{−2α}ds = ∫_{0}^{t} ∫_{ℝ} \frac{1}{\sqrt{2πs}} \frac{1}{|x|^{2α}} e^{− \frac{x^{2}}{2s}} dxds ⩽

⩽ \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{t} \frac{1}{s^{α}} ∫_{ℝ} \frac{1}{|y|^{2α}} e^{− \frac{|y|^{2}}{2}} dyds < ∞,  (8.6)

gdzie skorzystaliśmy z podstawienia \frac{x}{\sqrt{s}} = y. To oznacza, że |Z|^{−α} ∈ L_{t}^{2,c}, a zatem M(t) = ∫_{0}^{t} |Z(s)|^{−α}dZ(s) jest martyngałem. Definiujemy moment zatrzymania

τ_{t} = inf{r : ∫_{0}^{t} |Z(s)|^{−2α}ds = t}

Jest jasne, że

lim_{t→∞}⟨M⟩(t) = lim_{t→∞} ∫_{0}^{t} |Z(s)|^{−2α}ds = ∞, p.n.

Istotnie, zgodnie z prawem iterowanego logarytmu |Z(t)| ⩽ (1 + δ)\sqrt{2t ln ln t} dla t ⩾ t_{0}(ω). To oznacza, że

|Z(t)|^{−2α} ⩾ (1 + δ)^{−2α}(2t ln ln t)^{−α},

skąd natychmiast ⟨M⟩(∞) = ∞ p.n. Z twierdzenia 14 wiemy, że

W (t) = M(τ_{t}) = ∫_{0}^{τ_{t}} |Z(s)|^{−α}dZ(s)

jest procesem Wienera. Okazuje się, że para (Z(τ_{t}), W (t)) jest słabym rozwiązaniem równania (8.5). Istotnie

∫_{0}^{t} |Z(τ_{s})|^{α}dW (s) = ∫_{0}^{t} |Z(τ_{s})|^{α}dM(τ_{s}) =
= ∫_{0}^{τ_{t}} |Z(s)|^{α}|Z(s)|^{−α}dZ(s) = ∫_{0}^{τ_{t}} dZ(s) = Z(τ_{t}).  (8.7)

Ściśle rzecz biorąc skorzystaliśmy tu z następującej reguły podstawiania (ścisły dowód na ćwiczeniach).

Lemat 10 (Reguła podstawiania) Niech Z będzie procesem Wienera, Y ∈ Λ^{2}(Z). Załóżmy, że ∫_{0}^{t} Y^{2}(s)ds → ∞ p.n., gdy t → ∞. Definiujemy

τ_{t} = inf{r : ∫_{0}^{r} X^{2}(s) = t}.

Proces W (t) = ∫^{τ_{t}} Y (s)ds jest procesem Wienera, a ponadto

Z(τ_{t}) = ∫_{0}^{t} Y^{−1}(τ_{s})dW (s).

Można pokazać, że dla a < \frac{1}{2} można skonstruować nieskończenie wiele różnych słabych rozwiązań.

8.4 Zastosowanie twierdzenia Girsanowa do szukania słabych rozwiązań

Rozważmy równanie

dX(t) = b(s, X(s))ds + dW (t), X(0) = x,  (8.8)

czyli X(t) = x + ∫_{0}^{t} b(s, X(s))ds + W (t), a jeszcze inaczej

X(t) − x = ∫_{0}^{t} b(s, X(s) − x + x)ds + W (t)

Zatem zmieniając b(s, y) na b(s, y − x) możemy zakładać, że x = 0. Przypuśćmy, że Z jest procesem Wienera. Wówczas

M(T) = exp(∫_{0}^{t} b(s, Z(s))dZ(s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} b^{2}(s, Z(s))ds).

Załóżmy, że b jest ograniczone. Wówczas EM(T) = 1 Z twierdzenia Girsanowa wynika, że

W (t) = Z(t) − ∫_{0}^{t} b(s, Z(s))ds

jest procesem Wienera, względem Q(A) = E(1_{A}Z_{T}). Rzecz jasna (Z, W) jest słabym rozwiązaniem równania (8.8) (na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P)).

Twierdzenie 24 (Yamada-Watanabe) Jeśli równanie (8.1) ma słabe rozwiązanie jednoznaczne w sensie trajektorii, to każde rozwiązanie jest mocne.

Dowód tego twierdzenia można znaleźć w książkach Karatzas-Shreve, Ikeda-Watanabe.

Wniosek 10 Jednoznaczność w sensie trajektorii implikuje jednoznaczność w sensie rozkładów.

Problem martyngałowy

9.1 Słabe rozwiązania a problem martyngałowy

Przypomnijmy, że zajmujemy się następującym równaniem stochastycznym

dX(t) = b(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW (t), X(0) = x,  (9.1)

gdzie b(t, x) ∈ ℝ^{d}, σ(t, x) jest macierzą m×d wymiarową, W jest m wymiarową macierzą. Załóżmy, że m = d = 1, b, σ są ograniczone. Przypomnijmy, że operator tworzący ma postać

L_{t}f = b(t, x)f′ + \frac{1}{2}a(t, x)f′′(x),

gdzie a = σ^{2}. Jeśli (X, W) jest słabym rozwiązaniem równania (8.1), to dla każdego f ∈ C_{0}^{2}(ℝ) (funkcje dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły o zwartych nośnikach).

f(X(t)) = f(x) + ∫_{0}^{t} f′(X(t))b(s, X(s))ds + ∫_{0}^{t} f′(X(s))σ(s, X(s))dW (s) +

+\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} a(s, X(s))f′′(X(s))ds.

Czyli f(X(t)) − f(x) − ∫_{0}^{t} L_{s}f(X(s))ds jest martyngałem.

Definicja 21 Przestrzeń kanoniczną funkcji ciągłych x : ℝ_{+} → ℝ oznaczamy przez C. Określamy σ-ciało B = B(C) = σ(x(t) : t ∈ ℝ_{+}) oraz B_{t} = σ(x(s),; s ⩽ t). Proces kanoniczny na przestrzeni (C, B) jest zadany wzorem Z(t, ω) = ω(t).

Definicja 22 Mówimy, że problem martyngałowy (x, a, b) ma rozwiązanie, jeśli istnieje miara probabilistyczna na przestrzeni kanonicznej (C, B) taka, że P(Z(0) = x) = 1 i dla każdego f ∈ C_{0}^{2}(ℝ) proces

f(Z) − f(x) − ∫_{0}^{t} L_{s}f(Z(s))ds

jest martyngałem.

Uwaga 16 Miara probabilistyczna P na przestrzeni kanonicznej taka, że P(Z(0) = x) = 1 jest rozwiązaniem problemu martyngałowego (x, a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego f ∈ C^{2}(ℝ)

M^{f} = f(Z) − f(x) − ∫_{0}^{t} L_{s}f(Z(s))ds

jest martyngałem lokalnym.

Dowód. ⇒ Jeśli f ∈ C_{0}^{2}(ℝ), to M^{f} jest ograniczonym martyngałem lokalnym, a co za tym idzie martyngałem. ⇐ Niech f ∈ C^{2}(ℝ). Definiujemy moment zatrzymania

τ_{n} = inf{t : |Z(t)| ⩾ n}

Niech teraz g_{n} ∈ C_{0}^{2}(ℝ) będzie takie, że g_{n}(x) = f(x) dla |x| < n. Proces M^{g_{n}} jest martyngałem. Zatem (M^{g_{n}})^{τ_{n}} jest martyngałem. Jest jasne, że (M^{g_{n}})^{τ_{n}} = (M^{f})^{τ_{n}} p.n. Ponieważ τ_{n} jest ciągiem lokalizującym, oznacza to, że M^{f} jest martyngałem lokalnym.

■

Stwierdzenie 9 Jeśli P jest rozwiązaniem problemu martyngałowego (x, a, b), to

N = Z − x − ∫ b(s, Z(s))ds

jest martyngałem takim, że

⟨N⟩(t) = ∫_{0}^{t} a(s, Z(s))ds.

Odwrotny fakt jest również prawdziwy (na ćwiczenia). Głównym celem tego paragrafu będzie dowód następującego faktu.

Twierdzenie 25 Równanie (9.1) m = d = 1 ma słabe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy problem martyngałowy (x, a, b) ma rozwiązanie. Ściślej proces kanoniczny na (C, B) (z filtracją B_{t}) spełnia (8.4) dla miary P takiej, że P(X(0) = x) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy P jest rozwiązaniem problemu problemu martyngałowego (x, a, b). Ponadto rozwiązanie (8.4) jest jednoznaczne w sensie rozkładów, wtedy i tylko wtedy, gdy (x, a, b) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Dowód. ⇒ Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną z filtracją F_{t}, para (X, W) słabym rozwiązaniem (9.1). Wiemy, że dla każdego f ∈ C_{0}^{2}(ℝ_{+})

f(X) − f(x) − ∫ L_{s}f(X(s))ds

jest martyngałem względem F_{t}. Pozostaje przenieść tę konstrukcję na proces kanoniczny Z. Definiujemy rozkład P_{X} na C jako rozkład procesu X. Proces

M^{f} = f(Z) − f(x) − ∫ L_{s}f(Z(s))ds

jest martyngałem na (C, B, P_{X}) z filtracją B_{t}. Ogólnie wynika to z następującego faktu (na ćwiczenia). Niech X będzie procesem ciągłym adaptowalnym do F_{t}, niech F : ℝ_{+} × C → ℝ będzie mierzalne w tym sensie, że F (t, ·) jest B_{t}-mierzalne. Załóżmy, że F (t, X(t)) jest martyngałem względem filtracji F_{t}. Wówczas F (t, Z(t)) jest martyngałem (przy zadanym rozkładzie P_{X} na C) względem filtracji B_{t}. ⇐ Załóżmy, że problem martyngałowy (x, a, b) ma rozwiązanie. Przypuśćmy dodatkowo, że σ(t, y) ≠ 0. Wiemy (Stwierdzenie 9), że

N = Z − x − ∫ b(s, Z(s))ds

jest martyngałem takim, że ⟨N⟩ = ∫_{0}^{t} a(s, Z(s))ds. Rozważmy martyngał lokalny

W (t) := ∫_{0}^{t} σ^{−1}(s, Z(s))dN(s).

Mamy równość

⟨W ⟩(t) = ∫_{0}^{t} \frac{1}{σ^{2}} d⟨N⟩(s) = ∫_{0}^{t} \frac{1}{a}ads = t.

To oznacza, że W jest procesem Wienera. Mamy równość

∫ σ(s, Z(s))dW (s) = ∫ σ(s, Z(s))σ^{−1}(s, Z(s))dN(s) =
= N(t) = Z(t) − x − ∫_{0}^{t} b(s, Z(s))ds.

Oznacza to, że para (Z, W) jest słabym rozwiązaniem (9.1). Aby pozbyć się założenia σ(t, y) ≠ 0 potrzebujemy konstrukcji, którą nazywa się adjointem procesu.

Lemat 11 Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią z filtracją F_{t}. Niech M ∈ M^{2,c}, M(0) = 0 oraz

⟨M⟩(t) = ∫_{0}^{t} A(s)ds,

gdzie A jest ograniczone, prognozowalne A ⩾ 0. Niech B będzie prognozowalne takie, że A = B^{2}. Rozważmy teraz drugą przestrzeń probabilistyczną (Ω′, F′, P′) z filtracją F′_{t}, na której określony jest proces Wienera W′. Definiujemy

Ω̂ = Ω × Ω′, P̂ = P ⊗ P′, F̂_{t} = F_{t} ⊗ F′_{t}.

Kładziemy

M̂(ω, ω′) = M(ω), B̂(ω, ω′) = B(ω), Ŵ (s, ω, ω′) = W′(s, ω′).

Wówczas istnieje na (Ω̂, F̂, P̂) proces Wienera W względem filtracji F̂_{t} taki, że

M̂ = ∫ B̂dW.

Dowód. Definiujemy

D(s) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{A(s)}} & A(s) > 0 \\ 0 & A(s) = 0 \end{matrix}

Niech teraz

V (t) = ∫_{0}^{t} D(s)dM̂(s) + ∫_{0}^{t} 1_{{A(s)=0}}dŴ (s).

Jeśli oznaczymy

N_{1}(t) = ∫_{0}^{t} D(s)dM̂(s), N_{2}(t) = ∫_{0}^{t} 1_{{A(s)=0}}dŴ (s),

to z definicji

⟨V ⟩ = ⟨N_{1} + N_{2}, N_{1} + N_{2}⟩ = ⟨N_{1}⟩ + 2⟨N_{1}, N_{2}⟩ + ⟨N_{2}⟩.

Ponieważ N_{1} = XdM_{1}, N_{2} = ∫ Y dM, (gdzie X(s) = D(s), Y (s) = 1_{{A(s)=0}}, M_{1}(s) = M̂(s), M_{2}(s)) więc

⟨N_{1}, N_{2}⟩ = ∫ XY d⟨M_{1}, M_{2}⟩,

co oznacza, że ⟨N_{1}, N_{2}⟩ = 0, gdyż XY = 0. Zatem

⟨V ⟩ = ⟨N_{1}⟩ + ⟨N_{2}⟩ = ∫_{0}^{t} \frac{1}{A(s)}1_{A(s)>0}A(s)ds + ∫_{0}^{t} 1_{A(s)=0}ds = t.

To oznacza, że V jest procesem Wienera. Zauważmy, że W = ∫ sgnB̂(s)dV (s) jest także procesem Wienera. Pokażemy, że ten proces spełnia warunek zadany w Lemacie. Ściślej zachodzi równość

∫ B̂dW = ∫ B̂sgnBdV = ∫ \sqrt{A}dV =

= ∫ \sqrt{A}\frac{1}{A}1_{A>0}dM̂ + ∫ \sqrt{A}1_{A=0}dŴ =

= ∫ 1_{A>0}dM̂ = M̂ − ∫ 1_{A=0}dM̂.

Zauważmy teraz, że

E(∫_{0}^{t} 1_{A(s)=0}dM̂(s))^{2} = E ∫_{0}^{t} 1_{A(s)=0}d⟨M⟩(s) =
= E ∫_{0}^{t} 1_{A(s)=0}A(s)ds = 0.

Zatem ∫_{0}^{t} 1_{A(s)=0}dM̂(s) jest nieodróżnialny od zera. Stąd M̂ = ∫ B̂dW. To kończy dowód lematu.

■

Wracamy do dowodu Twierdzenia 25. Przypomnijmy, że

N = Z − x − ∫ b(s, Z(s))ds

jest martyngałem takim, że ⟨N⟩ = ∫_{0}^{t} a(s, Z(s))ds. Korzystamy z Lematu 11 kładąc M = N oraz A(s) = a(s, Z(s)), σ(s, Z(s)) = B(s, Z(s)). Dostajemy, że przestrzeń (C, B, P) z filtracją B_{t} rozszerza się do (Ĉ, B̂, P̂) z filtracją B̂_{t}, a ponadto

N̂ = Ẑ − x + ∫ b(s, Ẑ(s))ds,

gdzie Ẑ(ω, ω′) = Z(ω) ma postać

N̂ = ∫ σ(s, Ẑ(s))dW (s)

dla pewnego procesu Wienera na przestrzeni rozszerzonej (Ĉ, B̂, P̂) z filtracją B̂_{t}. Z definicji oznacza to, że Ẑ jest rozwiązaniem równania (9.1). Oczywiście rozkład Ẑ na C jest równy P, gdyż P̂ = P ⊗ P′.

■

Powyższe twierdzenia przenoszą się na przypadek ogólny (dowolne d, m). Oczywiście dowody mają znacznie bardziej skomplikowany zapis.

Istnienie słabych rozwiązań

10.1 Twierdzenie Stroocka-Varadhana

Przypomnijmy klasyczne twierdzenia Prohorowa.

Twierdzenie 26 Niech E będzie przestrzenią polską (zupełna, metryczna i ośrodkowa). Niech P_{i} będzie rodziną mira probabilistycznych na B(E). taką, że dla każdego ε > 0 istnieje zbiór zwarty K ⊂ E taki, że

P_{i}(K) > 1 − ε,

wówczas z każdego ciągu i_{n} ∈ I można wybrać podciąg i_{n_{k}} taki, że P_{i_{n_{k}}} są zbieżne.

Lemat 12 Niech M ∈ M^{2,c} będzie takie, że

|⟨M⟩(t) − ⟨M⟩(s)| ⩽ K|t − s|,

wówczas dla każdego δ > 0, dla każdego u ⩾ 0, dla każdego u ⩽ t ⩽ u + δ zachodzi nierówność

P( sup_{u⩽t⩽u+δ} |M(t) − M(u)| > α) ⩽ 2e^{− \frac{α^{2}}{2Kδ}} .

Dowód. Wiemy, że dla każdego λ ∈ ℝ exp(λM(t) − \frac{1}{2}λ^{2}⟨M⟩(t)) jest martyngałem. Ustalmy u ⩾ 0, dla t ⩾ u, λ > 0 definiujemy

Φ^{λ}(t) := exp(λ(M(t) − M(u)) − \frac{1}{2}(⟨M⟩(t) − ⟨M⟩(u))).

Proces Φ^{λ}(t) dla t ⩾ u jest nadmartyngałem. Zatem

P( sup_{u⩽t⩽u+δ}(M(t) − M(u)) > α) = P(∃_{t∈[u,u+δ]}(M(t) − M(u)) > α) =

= P(∃_{t∈[u,u+δ]}e^{λ(M(t)−M(u))− \frac{λ^{2}}{2} (⟨M⟩(t)−⟨M⟩(u))} > e^{λα− \frac{λ^{2}}{2} (⟨M⟩(t)−⟨M⟩(u))}) ⩽ ⩽ P(∃_{t∈[u,u+δ]}Φ^{λ}(t) > e^{λα− \frac{λ^{2}}{2} K(t−u)}) ⩽

⩽ P( sup_{t∈[u,u+δ]} Φ^{λ}(t) > e^{λα− \frac{λ^{2}}{2} Kδ}) ⩽ e^{−λα+ \frac{λ^{2}}{2} Kδ}EΦ^{λ}(u),

gdzie w ostatniej lini EΦ^{λ}(u) = 1. Pozostaje zatem zminimalizować po λ wyrażenie e^{−λα+ \frac{λ^{2}}{2} Kδ}. Łatwo sprawdzić, że λ_{min} = \frac{α}{Kδ}. Stąd

P( sup_{u⩽t⩽u+δ}(M(t) − M(u)) > α) ⩽ e^{− \frac{α^{2}}{Kδ} + \frac{α^{2}}{2Kδ}} = e^{− \frac{α^{2}}{2Kδ}} .

Jeśli zauważymy, że ⟨M⟩ = ⟨−M⟩, zastosujemy powyższe rozumowanie do −M i dodamy uzyskane nierówności stronami, to

P( sup_{u⩽t⩽u+δ}(M(t) − M(u)) > α) ⩽ 2e^{− \frac{α^{2}}{2Kδ}} .

■

Lemat 13 Istnieje ciąg (v_{N}), v_{N} → 1, że jeśli M jest jak w Lemacie 11.

P(∀_{m⩾N}∀_{p∈ℕ}∀_{0⩽u⩽m} sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(t) − M(s)| ⩽ α_{p}) ⩾ v_{N},

gdzie α_{p} = \sqrt{2(ln 2)mpK2^{−p}}

Dowód. Zauważmy, że zachodzą nierówności

P(∃_{m⩾N}∃_{p∈ℕ}∃_{0⩽u⩽m} sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(t) − M(s)| > α_{p}) ⩽

⩽ ∑_{m=N}^{∞} ∑_{p=1}^{∞} P(∃_{0⩽u⩽m} sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(s) − M(t)| > α_{p}).  (10.1)

Podobnie

P(∃_{0⩽u⩽m} sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(s) − M(t)| > α_{p}) ⩽

⩽ ∑_{j=0}^{m2^{p}} ∑_{x∈{s,t}}(P(∃_{j2^{−p}⩽x⩽(j+1)2^{−p}}|M(s) − M(j2^{−p})| > α_{p}) +

+P(∃_{(j−1)2^{−p}⩽x⩽j2^{−p}}|M(s) − M((j − 1)2^{−p})| > α_{p})) ⩽

⩽ 8 ∑_{j=0}^{m2^{p}} e^{− \frac{α^{2}}{2K} 2^{p}} = 8(m2^{p} + 1)2^{−mp} ⩽ 8(m + 1)2^{p−mp}.

■

Wstawiając to oszacowanie do (10.1) otrzymujemy

P(∃_{m⩾N}∃_{p∈ℕ}∃_{0⩽u⩽m} sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(t) − M(s)| > α_{p}) ⩽

⩽ 16 ∑_{m=N}^{∞}(m + 1)2^{−m+1} = 1 − v_{N},  (10.2)

gdzie w ostatniej lini definiujemy ciąg (v_{N}) taki, że v_{N} → 1. Twierdzenie 27 Niech S będzie zbiorem miar probabilistycznych na przestrzeni kanonicznej (C(ℝ_{+}), B). Załóżmy, że

1. istnieje B ⊂ ℝ zwarty taki, ze dla każdej miary P ∈ S mamy P(Z(0) ∈ B) = 1;

2. dla każdego P ∈ S istnieje V ciągły adaptowalny proces V o wahaniu ograniczonym taki, że V (0) = 0 oraz M := Z − V jest P martyngałem;

3. |⟨M⟩(t) − ⟨M⟩(s)| ⩽ K|t − s|, |V (t) − V (s)| ⩽ K|t − s|, gdzie K nie zależy od

P ∈ S, wówczas S jest relatywnie zwarty. Dowód. Zauważmy, że C(ℝ_{+}) jest przestrzenią polską (metryczną, ośrodkową i zupełną). Wystarczy pokazać, że S jest ciasny. Definiujemy

Γ_{N} := {∀_{m⩾N}∀_{p∈ℕ}∀_{0⩽u⩽m} sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(t) − M(s)| ⩽ α_{p}}.

Z Lematu 13 wynika, że P(Γ_{N}) ⩾ v_{N}. Zatem istnieje N takie, że P(Γ_{N}) > 1 − ε dla każdego P ∈ S. Zauważmy teraz, że

|Z(t) − Z(s)| ⩽ |M(t) − M(s)| + |V (t) − V (s)|.

Stąd i z założenia 3

sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |Z(t) − Z(s)| ⩽ sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(t) − M(s)| +

+ sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |V (t) − V (s)| ⩽ sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |M(t) − M(s)| + K2^{−p}.

Niech teraz

Γ′_{N} := {∀_{m⩾N}∀_{p∈ℕ}∀_{0⩽u⩽m} sup_{u⩽s,t⩽u+2^{−p}} |Z(t) − Z(s)| ⩽ K2^{−p} + α_{p}}.

Oczywiście Γ_{N} ⊂ Γ′_{N}. Zauważmy teraz, że

P({Z_{0} ∈ B} ∩ Γ_{N}) ⩾ 1 − ε.

Zbiór {Z_{0} ∈ B} ∩ Γ_{N} jest domknięty w C(ℝ_{+}). Funkcje, które należą do tego zbioru są wspólnie ograniczone i jednakowo ciągłe na każdym przedziale zwartym [0, n]. Przypomnijmy, że jednakowa ciągłość funkcji ze zbioru F (postaci f : T → S, gdzie (T, d) (S, ρ) są przestrzeniami metrycznymi) oznacza, że

∀_{ε}∃_{δ}∀_{f∈F} d(s, t) < δ ⇒ ρ(f(s), f(t)) < ε.

W naszym przypadku oznacza to po prostu, że sup_{|x−y|<δ} |f(x) − f(y)| < ε. Na mocy twierdzenia Ascoli-Arzeli oraz definicji topologii w C(ℝ_{+}) oznacza to, że zbiór {Z_{0} ∈ B} ∩ Γ_{N} jest zwarty. Korzystając z Twierdzenia 26 dostajemy tezę Twierdzenia.

■

Twierdzenie 28 (Stroocka-Varadhana) Załóżmy, że b, σ są ograniczone mierzalne, b, aciągłe (a = σ^{2}). Równanie (9.1) ma słabe rozwiązanie.

Dowód. Pokażemy, że rozwiązanie problemu martyngałowego ma rozwiązanie. Załóżmy, że |b| ⩽ K, |a| ⩽ K. Istnieją ciągi funkcji b_{n}, σ_{n} spełniające warunek Lipschitza i takie, że b_{n} → b, σ_{n}^{2} → a w sensie zbieżności jednostajnej na zbiorach ograniczonych. Wiemy, że równanie

dX = b_{n}(s, X(s))ds + σ_{n}(s, X(s))dW (s), X_{0} = x

ma dla każdego n ∈ ℕ dokładnie jedno mocne rozwiązanie (jednoznaczne w sensie trajektorii). Zatem problem martyngałowy (x, a_{n}, b_{n}) ma również dokładnie jedno rozwiązanie, które oznaczmy P_{n}. Pokażemy, że zbiór {P_{n} : n ∈ ℕ} jest relatywnie zwarty. Jest jasne, że dla każdego n ∈ ℕ P_{n}(Z(0) = x) = 1. Zatem jako zbiór zwarty B w Twierdzeniu 27 weźmiemy B = {x} Definiujemy

V_{n}(t) = ∫_{0}^{t} b_{n}(s, Z(s))ds.

Ze Stwierdzenia 9 wiemy, że

M_{n} := Z − ∫ b_{n}(s, Z(s))ds = Z − V

jest P_{n} martyngałem, którego nawias skośny jest równy ∫ a_{n}(s, Z(s))ds. Na mocy ograniczoności b, a (a więc również b_{n}, a_{n}) dostajemy, że także założenie 3 w Twierdzeniu 27 jest spełnione. To oznacza, że z ciągu miar P_{n} możemy wybrać podciąg zbieżny do pewnego P. Pokażmy, ze P jest rozwiązaniem problemu martyngałowego (x, a, b). Ustalmy dowolne f ∈ C_{0}^{2}(ℝ). Chcemy pokazać, że

f(Z) − ∫ L_{u}f(Z(u))du

jest P martyngałem, gdzie

L_{u}f(y) = b(u, y)f′(y) = \frac{1}{2}a(u, y)f′′(y).

Niech s < t. Wystarczy pokazać, że dla każdego Γ ∈ B_{s} (B_{s} filtracja na B(ℝ_{+}))

E(1_{Γ}(f(Z(t)) − ∫_{0}^{t} L_{u}f(Z(u))du) = E(1_{Γ}(f(Z(s)) − ∫_{0}^{s} L_{u}f(Z(u))du),

co jest równoważne

E(1_{Gamma}(f(Z(t)) − f(Z(s)))) = E(1_{Γ} ∫_{s}^{t} L_{u}f(Z(u))du).

Jeszcze prościej, wystarczy udowodnić, że dla dowolnej funkcji ciągłej B_{s} mierzalnej ograniczonej φ : C(ℝ_{+}) → ℝ mamy

E(φ(Z)(f(Z(t)) − f(Z(s)))) = E(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}f(Z(u))du).

Wiemy, że dla każdego n ∈ ℕ f(Z) − ∫ L_{u}^{n}f(Z(u))du jest P_{n} martyngałem. Zatem

E^{n}(φ(Z)(f(Z(t)) − f(Z(s)))) = E^{n}(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}^{n}f(Z(u))du).

Ponieważ P_{n} → P, więc dla każdej funkcji F : C(ℝ_{+}) → ℝ ciągłej ograniczonej zachodzi E^{n}(F (Z)) → E(F (Z)). Funkcja F_{1}(g) = φ(g)(g(t) − g(s)) jest taką funkcją, zatem

E^{n}(φ(Z)(f(Z(t)) − f(Z(s)))) → E(φ(Z)(f(Z(t)) − f(Z(s)))).

Z drugiej strony

|E^{n}(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}^{n}f(Z(u))du) − E(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}f(Z(u))du)| ⩽
⩽ |E^{n}(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}f(Z(u))du) − E(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}f(Z(u))du)| +
+|E^{n}(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}^{n}f(Z(u)) − L_{u}f(Z(u))du)|.

Funkcja F_{2}(g) = φ(g) ∫_{s}^{t} L_{u}f(g(u))du jest ciągła i ograniczona. Zatem

E^{n}(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}f(Z(u))du) → E(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}f(Z(u))du).

Pozostaje zauważyć, że |E^{n}(φ(Z) ∫_{s}^{t} L_{u}^{n}f(Z(u)) − L_{u}f(Z(u))du)| ⩽

⩽ sup_{Z} |φ(Z)|(t − s) sup_{u∈[s,t]} sup_{y∈suppf} |L^{n}f(y) − Lf(y)|.

Ponieważ suppf jest zwarty, a b_{n} → b, a_{n} → a na jednostajnie zbiorach zwartych, więc

sup_{y∈suppf} |L^{n}f(y) − Lf(y)| → 0.

To kończy dowód twierdzenia.

■

Powyższe twierdzenie daje istnienie mocnych rozwiązań przy znacznie słabszych założeniach na współczynnik dyfuzji. Twierdzenie 29 (Yamada-Watanabe) Niech b, σ będą ograniczone. Jeśli istnieją stała L > 0, i funkcja δ : ℝ_{+} → ℝ_{+} takie, że

1. δ jest niemalejąca oraz ∫_{0}^{1} \frac{1}{δ^{2}(x)}dx = ∞;

2. b(t, x) − b(t, y) ⩽ L|x − y|;

3. |σ(t, x) − σ(t, y)| ⩽ δ(|x − y|) na [0, T], to równanie (9.1) ma mocne rozwiązanie, jednoznaczne w sensie trajektorii.

Bibliografia

[1] Elliot, R. (1982) Stochastic calculus and applications. Applications of Mathematics, 18, viii+302 pp., Springer, New York

[2] Karatzas, I. and Shreve, S. (1988). Brownian Motion and Stochastic Calculus Graduate Texts in Mathematics, 113, xxiii+470 pp., Springer, New York.

[3] Wentzel, A.D. (1980). Wykłady z teorii procesów stochastycznych. Podręcznik akademicki, 383 pp., PWN, Warszawa.

[4] Revuz, D. and Yor, M. (1999) Continuous Martingales and Brownian Motion Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 293, 599 pp., Springer, New York.

[5] Watanabe, S. and Ikeda, N. (1981) Stochastic differential equations and diffusion processes. North-Holland Mathematical Library, 24, xiv+464 pp., Kodansha, North-Holland.