Seria 9. Martyngały

1. Niech (X_{n}) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, przy czym X_{n} ⩾ 0 p.n. oraz EX_{n} = 1. Dodatkowo, załóżmy, że X_{n} nie są skoncentrowane w 1. Udowodnić, że X_{1}X_{2}...X_{n} → 0 p.n.

2. Dany jest ciąg (ε_{n}) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie P(ε_{n} = ±1) = \frac{1}{2}. Niech F_{n} = σ(ε_{1}, ε_{2}, ..., ε_{n}). Udowodnic, że ciąg

Z_{n} = exp(a(ε_{1} + ... + ε_{n}) − (na^{2}/2)),

gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią, jest nadmartyngałem (F_{n}). Zbadać jego zbieżność prawie na na pewno i w L^{1}.

3. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, ... są niezależne , przy czym dla n ⩾ 1 zmienna X_{n} ma rozkład [−\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n}]. Niech S_{1} = 0 p.n., S_{n} = X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + ... + X_{n−1}X_{n} dla n ⩾ 2. Ponadto niech F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}), n ⩾ 1. Wykazać, że (S_{n}, F_{n}) jest martyngałem (S_{n}, F_{n}) jest martyngałem, który jest zbieżny p.n. przy n → ∞.

4. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, ... są niezależne, przy czym dla n ⩾ 1 zmienna X_{n} ma rozkład wykładnniczy z parametrem n. Wyznaczyć tak ciąg liczbowy (α_{n}), by ciąg

Y_{n} = α_{n} + ∑_{k=1}^{n} X_{k}

był martyngałem względem filtracji F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, ...). Czy ten martyngał jest zbieżny p.n.? Czy jest zbieżny w L_{1}? Czy jest zbieżny L_{2}?

5. W pojemniku jest znajduje się m cząstek. W każdej sekundzie każda z cząstek, niezależnie od pozostałych, może alno zniknąć z prawodopodbieństwem \frac{2}{3}, albo podzieleć się na trzy cząstki z prawodopodbieństwem \frac{1}{3}. Udowodnić, że z prawdopodobieństwem jeden, po pewnym czasie nie będzie w pojemniku ani jednej cząstki.