Seria 8. Twierdzenie Berry-Essena

1. Pokaż, że zmienna losowa X o rozkladzie trojkątnym na odcinku (−T, T) o gęstości (1 − |x|/T)/T dla |x| ⩽ T oraz 0 wpp ma funkcję charkaterystyczną (sin(tT/2)/(tT/2))^{2}. Udowodnij, że

\frac{1}{T} (1 − \frac{|x|}{T}) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−itx} \frac{4 sin^{2}(tT/2)}{(tT)^{2}}dt.

Zauważ, że zmienna Z_{T} o gęstości \frac{1−cos xT}{πT x^{2}} ma funkcję charakterystyczną 1 − \frac{t}{T}, |t|| ⩽ T.

2. Niech U, V będą zmiennymi losowymi o dystrybuantach F_{U}, F_{V} i funkcjach charakterystycznych φ_{U}, φ_{V}. Niech Z_{T} bedzie zmienna niezależną od U, V. Pokaż, że zmienne U + Z_{T}, V + Z_{T} są absolutnie ciągłe (mają gęstosci f_{U+Z_{T}}, f_{V +Z_{T}}) oraz udowodnij równość

f_{U+Z_{T}} (x) − f_{V +Z_{T}} (x) = \frac{1}{2π} ∫_{−T}^{T} e^{−itx}(φ_{U}(t) − φ_{V} (t))φ_{Z_{T}} (t)dt.

3. Udowodnij, że

sup |F_{U+Z_{T}} (x) − F_{V +Z_{T}} (x)| ⩽ \frac{1}{2π} ∫_{−T}^{T} |\frac{φ_{U}(t) − φ_{V} (t)}{t}|dt.

4. Pokaż, że

P(|Z_{T} | > \frac{△}{2A}) ⩽ \frac{8A}{π△T} .

5. Sprawdź, że

F_{U+Z_{T}} (x) − F_{V +Z_{T}} (x) = ∫ (F_{U}(x − y) − F_{V} (x − y))f_{Z_{T}} (y)dy.

6. Wykaż, że jeśli △ = sup_{x∈ℝ} |F_{U}(x) − F_{V} (x)|, △_{T} = sup_{x∈ℝ} |F_{U+Z_{T}} (x) − F_{V +Z_{T}} (x)| oraz A = sup_{x∈ℝ} F′_{V} (x), to

△ ⩽ 2△_{T} + \frac{24A}{πT}.

7. Pokaż, że

P(|Z_{T} | > \frac{△}{2A}) ⩽ \frac{8A}{π△T} .

8. Niech U, V będą zmiennymi losowymi o dystrybunatach F_{U}, F?V i funkcjach charakterystycznych φ_{U}, φ_{V}. Niech nadto F_{V} będzie różniczkowalne oraz A = sup_{x∈ℝ} F′_{V} (x). Pokaż, że zachodzi nierównosć

|F_{U}(x) − F_{V} (x)| ⩽ \frac{1}{π} ∫_{−T}^{T} |\frac{φ_{U}(t) − φ_{V} (t)}{t}|dt + \frac{24A}{πT}.

9. Wykaż twierdzenie Berry Essena. Jeśli X_{n} będą niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie takimi, że EX = 0, EX^{2} = σ^{2} oraz p^{3} = E|X|^{3} < ∞, to

|F_{n}(x) − G(x)| ⩽ C \frac{p^{3}}{σ^{3}\sqrt{n}},

gdzie F_{n} jest dystrybuantą X_{1} + ... + X_{n}, a G jest dystrybuantą w rozkładzie N (0, 1).

10. Pokaż na przykladzie zmiennych Bernouliego, że tempo zbieżności w Twierdzeniu Berry Essena niemoże zostac poprawione bez dodatkowych założeń. Udowodnij, że dla U_{k}, P(U_{k} = ±1) = 1/2, mamy

|P(U_{1} + ... + U_{2n} < 0) − \frac{1}{2}| ≃ \frac{1}{\sqrt{2π}\sqrt{n}}.

11. Udowodnij, że

lim_{n→∞} e^{−n} ∑_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}.

Czy można oszacować |e^{−n} ∑_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} − \frac{1}{2}|?

12. Niech X będzie zmienna losową spełniająca EX^{2} < ∞ oraz jeśli Y, Z są niezależnymi kopiami X, to X ≃ \frac{Y +Z}{\sqrt{2}} . Pokaż, że X ma rozkład normalny.