Seria 7. CLT

1. Niech n(n) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{/}2}. Pokaż, że

\frac{d^{k}}{dx^{k}} n(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−itx}(−iy)^{k}e^{−y^{2}/2}dy

dla k = 1, 2, .... Definujemy wielomiany Hermite’a

\frac{d^{k}}{dx^{k}} n(x) = (−1)^{k}H_{k}(x)n(x).

Sprawdź, że

H_{1}(x) = x, H_{2}(x) = x^{2} − 1, H_{3}(x) = x^{3} − 3x.

Udowodnij, że

\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} e^{−x^{2}/2}H_{m}(x)H_{n}(x)dx = \begin{matrix}0 & dla & m ≠ n, \\ n! & dla & m = n. \end{matrix}

2. Udowodnij nierowność dla n = 1, 2, ..., t > 0

|e^{it} − 1 − \frac{it}{1!} − ... − \frac{(it)^{n−1}}{(n − 1)!}| ⩽ \frac{t^{n}}{n!} .

3. Niech S_{n} = X_{1} + ...X_{n}, gdzie X_{k} niezależne oraz EX_{k} = 0, EX_{k}^{2} = σ_{k}^{2}. Zatem ES_{n}^{2} = σ_{1}^{2} + ... + σ_{n}^{2} oraz ES_{n} = 0. Powiemy, że spełniony jest warunek Lindeberga jeśli

\frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} E|X_{k}|^{2}1_{|X_{k}|⩾ts_{n}} → 0, n → ∞

dla każdego t > 0. Pokaż, że zmienne niezależne o tym samym rozkładzie, średniej 0 i skończonej wariancji spełniają warunke Lindeberga.

4. Udowodnić, że warunek Lapunowa: dla wszystkich k ∈ ℕ i dla pewnego δ > 0 zachodzi E|X_{k}|^{2+δ} < ∞ oraz

lim_{n→∞} \frac{1}{s_{n}^{2+δ}} ∑_{k=1}^{n} E|X_{k} − EX_{k}|^{2+δ} = 0,

pociąga za sobą warunek Lindeberga.

5. Udowodnić, że gdy X_{1}, X_{2}, ... są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że |X_{k}| ⩽ K < ∞, k = 1, 2, ... oraz s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} D^{2}X_{k} → ∞, to ciąg (X_{k}) spełnia warunek Lindeberga.

6. Pokaż, że warunke Lineberga implikuje w szczegolności, że dla dowolnego ε > 0 istnieje N takie,

że dla każdego n > N

\frac{σ_{k}}{s_{n}} ⩽ ε, k = 1, 2, ..., n.

7. Niech φ_{k} będzie f.ch. zmiennej X_{k}> Pokaż, że

φ_{k}(\frac{t}{s_{n}}) − 1 + \frac{σ_{k}^{2}t^{2}}{2s_{n}^{2}} = ∫_{ℝ}(e^{itx/s_{n}} − 1 − \frac{itx}{s_{n}} + \frac{t^{2}x^{2}}{2s_{n}^{2}} )μ_{k}(dx).

8. Pokaż, że

|φ_{k}(\frac{t}{s_{n}}) − 1| ⩽ \frac{t^{2}σ_{k}^{2}}{2s_{n}^{2}} ⩽ \frac{εt^{2}}{2} .

9. Z rowzinięcia Taylora wydedukuj:

∑_{k=1}^{n} | log(1 + z_{k}) − z_{k}| ⩽ ∑_{k=1}^{n} |z_{k}|^{2} ⩽ ε ∑_{k=1}^{n} |z_{k}|, |z_{k}| ⩽ ε < \frac{1}{2}.

10. Biorąc z_{k} = φ_{k}(t/s_{n}) − 1 pokaż z poprzedniej nierówności, że

− ∑_{k=1}^{n} log φ_{k}(\frac{t}{s_{n}}) ≃ ∑_{k=1}^{n}(1 − φ_{k}(t/s_{n}))

gdy n → ∞.

11. Pokaż, że na przedziale |x| ⩽ rs_{n} mamy ograniczenie

|e^{itx/s_{n}} − 1 − \frac{itx}{s_{n}} + \frac{t^{2}x^{2}}{2s_{n}^{2}} )| ⩽ \frac{|tx|^{2}}{s_{n}^{3}} ⩽ \frac{r|t^{3}|x^{2}}{s_{n}^{2}} .

12. Pokaż, że na przedziale |x| > rs_{n} mamy ograniczenie

|e^{itx/s_{n}} − 1 − \frac{itx}{s_{n}} + \frac{t^{2}x^{2}}{2s_{n}^{2}} )| ⩽ \frac{t^{2}x^{2}}{s_{n}^{2}}

13. Pokaż, że

∑_{k=1}^{n} |φ_{k}(t/s_{n}) − 1 + \frac{σ_{k}^{2}t^{2}}{2s_{n}^{2}} | ⩽ r|t|^{3} + |t|^{2} \frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} ∫_{ℝ} 1_{|x|>rs_{n}}x^{2}μ_{k}(dx).

Wywinoskuj stąd twierdzenie Lindeberga, że rozklady znormalizowane S_{n}/s_{n} zmierazają do rozkładu N (0, 1).