Seria 6. Funkcje charakterystyczne

1. Niech F (x) bedzie dystrbuantą zmiennej losowej X, a φ jej funkcją charakterystyczną. Załóżmy, że EX^{2} istnieje oraz EX^{2} ≠ 0. Dowieść, że funkcjonał ψ(t) = −φ′′(t)/EX^{2}.

2. Niech dla zmiennej losowej X istnieją wszystkie momenty a_{k} = EX^{k}, k = 1, 2, 3, .... Znaleźć gęstość f(x) zmiennej loswej X w jednym z dwóch przypadków:

(a) a_{k} = δ/(δ + k), δ > 0, k = 1, 2, 3, ....

(b) a_{k} = (n + k)!/k!, k = 1, 2, 3, ... Niech zmienna losowa X ma rozkład Γ(a, b). Znajdź funkcję charakterystyczną w tym rozkładzie. W szczególności zanajdź f.ch. dla rozkladu χ^{2}.

3. Niech funkcja charakterystyczna ma dla pewnego t_{0} ≠ 0 wartość |φ(t_{0})| = 1. Dowieść, że X ma rozkład kratowy o kroku h = 2π/t_{0}.

4. Udowdnić, że jesli zmienna X ma gęstość to φ_{X}(t) → 0, gdy |t| → ∞.

5. Pokaż, że

\frac{sin t}{t} = (∏_{n=0}^{∞} cos \frac{t}{2^{2n−1}} )(∏_{n=1}^{∞} cos \frac{t}{2^{2n}}),

udowodnić, że splot rozkładów singularnych może być rozkladem ciągłym.

6. Pokaż wzór

μ({c}) = lim_{a→∞} ∫_{−a}^{a} e^{−ics}φ(s)ds.

7. Oblicz granicę

lim_{a→∞} \frac{1}{2a} ∫_{−a}^{a} |φ(s)|^{2}ds.

Wywnioskuj że rozkład p-stwa jest bezatomowy wtedy i tylko wtedy gdy powyższa granica jest równa 0.

8. Pokaż oszacowanie:

μ(\{x : |x| ⩾ r\}) ⩽ \frac{r}{2} ∫_{−2/r}^{2/r}(1 − φ_{μ}(t))dr, r > 0.

oraz

μ([−r, r]) ⩽ 2r ∫_{−1/r}^{1/r} |φ_{μ}(t)|dt, r > 0.