Seria 5. Funkcje charaktersytyczne

1. Czy sa funkcjami charakerystycznymi:

(a) φ^{2}

(b) Reφ

(c) |φ|^{2}

(d) |φ|.

2. Czy są funkcjami charakterystycznymi:

(a) cos t

(b) cos^{2} t

(c) \frac{1}{4}(1 + e^{it})^{2}

(d) (2 − e^{it})^{−1}.

3. Pokaż, że jeśli ∑ p_{i} = 1, p_{i} > 0, to ∑_{i} p_{i}φ_{i} jest funkjcą charaketrystyczną, jeśli φ_{i} były.

4. Udowodnij CTG w przypadku, gdy X_{1}, X_{2}, ..., jest ciągiem i.i.d takim, że EX_{1} = 0, D^{2}X_{1} = 1. To znaczy, korzystając z funkcji charakterystycznych pokaż, że \frac{X_{1}+...+X_{n}}{\sqrt{n}} →^{d} X, gdzie X ma rozkład N (0, 1).

5. Udowodnij, że jeśli X_{n} →^{d} X, a_{n} → a, b_{n} → b, to a_{n}X_{n} + b_{n} →^{d} aX + b.

6. Pokaż, że jeśli funkcja charakterystyczna ma drugą pochodna w zerze to EX^{2} < ∞.

7. Wykaż, że jeśli X_{n} →^{d} X_{0}, Y_{n} →^{d} Y_{0}, gdzie X_{n}, Y_{n} są niezależne, to X_{n} + Y_{n} →^{d} X_{0} + Y_{0}.

8. Pokaż, że jeśli X = ∑_{n=0}^{∞} U_{n}/2^{n}, gdzie U_{n} jest ciągiem i.i.d Bernouliego, to X ma rozkład jednostajny na [0, 1].

9. Pokaż, że jeśli zmienna X o rozkładzie normalnym jest sumą dwóch zmiennych niezależnych Y i Z, to Y, Z mają rozkład normalny.

10. Pokaż, że φ(x) = \frac{2}{1+e^{x^{2}}} nie jest funkcją charakterystyczną.

11. Udowodnić, że φ(t) = e^{−|t|^{α}}, dla α > 2 nie jest funkcją charakterystyczną.

12. Udowodnić, że każda funkcja φ parzysta, przedziałami liniowa, wypukła na [0, ∞) i taka, że φ(0) = 1 jest funkcją charakterystyczną.

13. Udowodnić, że każda funkcja φ przysta, wypukła na [0, ∞) i taka, że φ(0) = 1 jest funkcją charakterystyczną. W szczególności φ(t) = e^{−|t|^{α}}, α ⩽ 1 jest funkcją charakterystyczną.

14. Na odcinek [−n, n] rzucono losowo (zgodnie z rozkładem jednostajnym) n gwiazd o masach jednostkowych. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu sił grawitacji w punkcie 0 (r/|r|^{β+1}). Dla jakich β istnieje rozkład graniczny (przy n → ∞)

Definition 1 Niech X, X_{1}, X_{2}... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie μ. Rozkład μ nazywamy stabilnym, gdy dla każdego n istnieją stałe a_{n} > 0 i b_{n}, dla których

X_{1} + X_{2} + ... + X_{n} ∼ a_{n}X + b_{n}.

Okazuje się, że a_{n} = n^{1/α}, gdzie α ∈ (0, 2]. Dla danego α rozkład nazywamy α-stabilnym. Np. rozkład Cauchy’ego jest 1-stabilby, rozkład normalny jest 2-stabilny.