Seria 2. Zbieżność rozkładów

1. Twierdzenie Scheffe’go Niech μ będzie miarą σ-skończoną, f_{n}, f funkcjami nieujemnymi i takimi, że miary ν_{n}(A) = ∫_{A} f_{n}dμ, ν(A) = ∫_{A} fdμ są miarami probabilistycznymi. Niech f_{n} ⟶^{p.n.} f względem miary μ. Udwodnić, że

sup_{A} |ν(A) − ν_{n}(A)| ⩽ ∫_{Ω} |f − f_{n}|dμ → 0.

2. (∗) Niech μ, ν będą dwiema miarami probabilistycznymi na (Ω, 𝔽). Zdefiniujmy odleglość między tymi miarami w następujący sposób

∥μ − ν∥_{T V} = sup_{A∈A} |μ(A) − ν(A)|.

Niech dla dowolnej zmiennej X, (Ω, 𝔽) mierzalnej

E_{μ}(X) = E_{μ}(X log X) − E_{μ}(X)(log E_{μ}X).

Przypuśćmy, że mamy zmienną dodatnią X taką, że dν = Xdμ. Niech K(ν, μ) = E_{μ}(X). Udowodnij, że

∥μ − ν∥_{T V} ⩽ \frac{1}{2}K(ν, μ)

3. Sprawdzić, że \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} δ_{\frac{k}{n}} ⟶^{d} λ, gdzie λ - miara Lebesgue’a na (0, 1).

4. Niech P_{α} = N (m_{α}, σ_{α}). Pokaż, że rodzina {P_{α} : α ∈ Λ} jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy

istnieje stała C, taka, że

|m_{α}|, |σ_{α}^{2}| ⩽ C, ∀α ∈ Λ.

5. Udowodnić, że N (m_{n}, σ_{n}) ⟶^{d} N (m, σ) wtedy i tylko wtedy, gdy m_{n} → m, σ_{n} → σ.

6. Udowodnić, że jeśli X_{n} ⟶^{d} X oraz sup_{n} E|X_{n}|^{p} < ∞ wówczas E|X|^{p} < ∞, ale niekoniecznie lim_{n→∞} E|X_{n}|^{p} = E|X|^{p}. Tak jest jesli sup_{n} E|X_{n}|^{p+ϵ} < ∞.

7. Pokaż, że zbieżność według miary ciągu zmiennych losowych X_{n} o wartościach w dowolnej przestrzeni metrycznej (E, d) implikuje zbieżność według miary.

8. Pokaż, że jeśli ciąg X_{n} w (E, d) jest słabo zbieżny do stałej c, wówczas również X_{n} ⟶^{P} c. Czy musi być zbieżny prawie na pewno?

9. Mamy dany okrąg S^{1} = {z ∈ C : |z| = 1}. Wybieramy liczbę α ∈ S^{1}, która nie spełnia równania α^{k} = 1 dla żadnego k ∈ ℤ\{0}. Dla każedego n ∈ ℕ, I-Borelowskiego definiujemy miarę

μ_{n}(I) := \frac{|0 ⩽ k ⩽ n − 1 : α^{k} ∈ I|}{n}.

Pokaż, że μ_{n} ⟶^{d} μ, gdzie μ jest unormowaną miarą Lebesgue’a na S^{1} (jako rozmaitości).

10. (∗) Udowodnić, że X_{n} ⟶^{d} X wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zmienne Xn^{′}, X′ takie, że X_{n} ∼ Xn^{′},

X ∼ X′ oraz Xn^{′} ⟶^{pn} X′.

11. Udowodnić, że jeśli X_{n} ⟶^{d} X, Y_{n} ⟶^{d} Y oraz przy każdym n zmienne X_{n}, Y_{n} są niezależne,

wówczas (X_{n}, Y_{n}) ⟶^{d} (X, Y).

12. Niech rozkłady μ_{1}, ..., μ_{n}, ... będą miarami skupionymi na zbiorze liczb naturalnych. Wykazać, że

μ_{n} ⟶^{d} μ ⟺ ∀k ∈ ℕ μ_{n}({k}) → μ({k}).

13. Udowodnić, że jeśli X_{n}Y_{n} ⟶^{d} X, Y_{n} ⟶^{d} 0, f jest funkcją różniczkowalną w zerze, to X_{n}(f(Y_{n}) −

f(0)) ⟶^{d} f′(0)X.

14. Twierdzenie Cramera Jeśli X_{n} ⟶^{d} X, Y_{n} ⟶^{P} 0, to X_{n}Y_{n} ⟶^{P} 0.

15. (∗) Pokazać, że

d(μ, ν) = inf{ϵ : F_{μ}(t) < F_{ν}(t + ϵ) + ϵ, F_{ν}(t) < F_{μ}(t + ϵ) + ϵ, ∀t ∈ ℝ}

definiuje odległość w rozkładach na ℝ, która zadaje słabą zbieżność.