Seria 1. Przybliżenia Rozkładu Normalnego

1. Udowodnij przybliżenie Poissona

\binom{n}{k}p_{n}^{k}(1 − p_{n})^{n−k} → \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ},

kiedykowliek p_{n}n → λ, n → ∞.

2. Pokaż że zachodzi nastepujący wzór na jakość przyblizenia Poissona

|P(S_{n} ∈ B) − ∑_{k∈B∩ℕ} π_{k}| ⩽ \frac{λ^{2}}{n} ,

gdzie S_{n} = X_{1} + ... + X_{n}, X_{i} są zmiennymi z rozkladu Poissona z parametrem p oraz pn = λ.

3. Wykaż Lokalne Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a

\binom{n}{k}p^{k}q^{n−k} ≃ (\frac{n}{2πk(n − k)})^{1/2}(\frac{np}{k})^{k}(\frac{nq}{n − k})^{n−k}.

4. Stosując oznaczenie δ_{k} = k − np wykaż, że

(np + δ_{k}) log(1 + δ_{k}/(np)) + (nq − δ_{k}) log(1 − δ_{k}/(nq)) = \frac{δ_{k}^{2}}{2n}(\frac{1}{p} + \frac{1}{q}) − \frac{δ_{k}^{3}}{6n^{2}} (\frac{1}{p^{2}} − \frac{1}{q^{2}} ) + ...

Wywnioskuj stąd, że jeśli δ_{k}^{3}/n^{2} → 0, to

\binom{n}{k}p^{k}q^{n−k} ≃ (\frac{n}{2π(np + δ_{k})(nq − δ_{k})})^{1/2}e^{− \frac{δ^{2}_{k}}{2npq}} .

5. Oznaczając h = (npq)^{−1/2}, x_{k} = \frac{k−np}{(npq)^{1/2}} oraz φ(x) = (2π)^{−1/2}e^{−x^{2}/2} dostajemy

|\frac{\binom{n}{k}p^{k}q^{n−k}}{hφ(x_{k})} − 1| < \frac{A}{n} + \frac{B|x_{k}|^{3}}{n^{1/2}} .

6. Zauważ, że Φ(x_{k+1/2}) − Φ(x_{k−1/2}) = hϕ(ξ_{k}), gdzie ξ_{k} należy do zbioru x_{k} − \frac{1}{2}h < ξ_{k} < x_{k} + \frac{1}{2}h.

Wywnioskuj stąd, że

hφ(x_{k}) = e^{\frac{ξ^{2}_{k}−x^{2}_{k}}{2}} (Φ(x_{k+1/2}) − Φ(x_{k−1/2})).

7. Stosując nierówność

\frac{1}{2}|ξ_{k}^{2} − x_{k}^{2}| < h(|x_{k}| + \frac{1}{4}h) < ε

(zakładamy, że x_{k}^{2}n^{−1/2} → 0), udwodnij, że

P(α ⩽ S_{n} ⩽ β) ≃ Φ(x_{β+1/2}) − Φ(x_{α−1/2}).

8. Niech m kin walczy o n klientów (dla suatlenia uwagi n = 1000, m = 2, 3, 4) oferując im po s miejsc. Jaką należy wybrać wartosć s, żeby ryzyko że klient nie znajdzie w danym kinie miejsca było na poziomie α (np α = 0, 01).

9. Znajdż p-stwo, ze 7 w 10000 niezależnie wybieranych cyfrach pojawi się 968 razy.

10. Jaka jest szansa, ze 1 oczko wypadnie w 12000 niezaleznych rzutach kośćmi do gry pomiezy 1900, a 2150 razy.

11. Udwodnij nierowność Bernstein’a. Pokaż, że jeśli X_{i}-niezależne zmienne takie, że EX_{i} = 0, |X_{i}| ⩽

K, oraz E|X_{i}|^{2} = σ^{2}, to

P(S_{n} > t) ⩽ exp(−\frac{t^{2}}{2(σ^{2}n + tK/2)}).